精品解析：甘肃省靖远县第二中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

高考模拟卷·数学 （120分钟 150分） 考生须知： 1.本卷侧重：高考评价体系之综合性. 2.本卷怎么考：①考查同一层面、横向的交互融合的综合能力（题18）；②考查不同层面之间、纵向的融会贯通的综合能力（题11）. 3.本卷典型情境题：题3、16. 4.本卷测试范围：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集概念求出答案. 【详解】由题意，. 故选：B 2. 若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程中的几何意义，即可求得. 【详解】由题意知，故抛物线的标准方程为：， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：. 3. 某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（ ） （若随机变量，则，，） A. 191 B. 137 C. 159 D. 164 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布，求在指定区间概率即可得解. 【详解】由题可知，， . 故200天内团购券的核销量在84到132张的天数大约是. 故选：D 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，计算在点处的切线斜率，从而求出切线方程. 【详解】由，知，又， 故所求切线方程为，即. 故选：C 5. 在等比数列中，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可知，由此可求出，再根据等比数列的通项公式和，计算即可求出结果. 【详解】因为，，所以. 因为，所以. 故选：D 6. 如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件中的平行关系去证明∥，从而根据相似可计算，再计算即可. 【详解】在正方体中， 因为平面∥平面，且平面， 所以∥平面， 因为平面平面，平面， 所以， 又，分别是，的中点，所以∥， 又∥，由平行的传递性可知∥， 因为，所以 所以， 故在直角三角形中，. 故选：C. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断定义域以及奇偶性，再根据函数值的正负可排除错误选项，得出正确结果. 【详解】函数，其中，且，由定义域可以排除B， 因为，该函数为奇函数，所以C错误， 因为，所以D错误，A正确， 故选：A. 8. 在平面直角坐标系中，设是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点若为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出示意图，根据双曲线的定义得到，再由为等边三角形，求得，在中，应用余弦定理求得的关系，得到双曲线的离心率. 【详解】 不妨设在右支，则，又， 则，，，，， ，， 即，由，. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于二项式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中的常数项为 B. 展开式中的常数项为 C. 展开式中的有理项有3项 D. 展开式中的有理项有4项 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二项式的展开式，根据要求求出的值即可判断. 【详解】的展开式的第项 ， 令，则， 常数项为，故正确； 当，，，，展开式中有有理项， 所以有理项有4项，故正确. 故选：. 10. 若（），则（ ） A. z有可能为实数 B. z不可能为纯虚数 C. 的最小值为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的除法运算得，进而，根据实数和纯虚数的概念列方程求解判断AB，根据模的运算判断CD. 【详解】由题意知，，其中. 若z为实数，则（），不合题意，故A不正确； 若z为纯虚数，则（），不合题意，即z不可能为纯虚数，故B正确； 当时，取得最小值，且最小值为，故C正确； 若，则，即（负值已舍去），故D正确. 故选：BCD 11. 某校数学兴趣小组的成员在研究一组数字，已知该组数字均为正整数，总个数为M，其中最大的数字为E（），且在内的每一个整数均出现在该组数字中，该组数字满足如下规律：对该组数字中的任意正整数a（），数字a的个数是所有不小于a的数字的个数的10%.现在从这组数字中任取一个数字，记“数字为n”为事件，“数字不小于n”为事件，其中，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合条件可得即可判断A，得到的关系，即可判断BD，再由等比数列的求和公式即可判断C. 【详解】设正整数的个数为， 由题意，， 则①， ②， 得， 即，故，故A错误； 由， 故，故B正确； 由题意知，故，故C正确； 当时，，故D不正确. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故答案为： 13. 函数，若“”是“取得最大值”的充分条件，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用辅助角公式得到，其中，，从而得到，由诱导公式得到答案. 【详解】，其中，， 由题意知，则， 此时. 故答案为： 14. 已知，则的最大值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】 先化简原式为，再换元设得原式，再换元设得原式可化为，再利用函数单调性得到函数的最大值. 【详解】，设， 所以原式=， 令 所以原式=. (函数在上单调递增) 故答案为： 【点睛】(1)本题主要考查基本不等式，考查函数y=+的图像和性质，考查换元法的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化的能力及数形结合的思想方法；(2)解答本题的关键是两次换元，第一次是设，第二次是设，换元一定要注意新元的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若关于x的方程有两个不同的解，求a的取值范围. 【答案】（1）的极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数判断函数的单调性，据此可得函数极值； （2）转化为方程在上有两个不相等的根，列出不等式组求解. 【小问1详解】 . 当时，，为减函数；当和时，，为增函数. 故函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由，可知， 又由题意知函数的定义域为， 故方程在上有两个不相等的根， 因为图象的对称轴， 则需，解得. 16. 中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）． 关注 没关注 合计 男 女 合计 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 ，其中 （1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为． 【解析】 【分析】（1）根据题意即可完善列联表，计算卡方，根据临界值作出结论； （2）由题意可知随机变量，利用二项分布求分布列期望即可. 【详解】（1）列联表如下： 关注 没关注 合计 男 30 30 60 女 12 28 40 合计 42 58 100 所以， 所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”； （2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为， 又因为，所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 故． 17. 如图，在直三棱柱中，点是的中点，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，记与的交点为点，连接，， 因为三棱柱是直三棱柱， 所以． 因为，所以四边形是正方形，故. 因为，， 所以又因为是的中点， 所以， 所以D. 因为四边形是正方形，所以点是的中点， 所以． 又因为，平面，， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，以及，即可根据线线垂直求证线面垂直， （2）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，，即可利用向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以． 如图，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 因为平面，所以平面的法向量为． 设平面的法向量为， 则即解得取， 得 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，P是直线上的一动点，点Q在椭圆C上. （1）求的值； （2）若的最小值小于，且直线，的斜率之积为，O为坐标原点，请问平面内是否存在定点T，满足恒成立？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦点所在坐标轴进行分类讨论，由离心率列方程来求得的值. （2）根据的最小值确定椭圆的方程，根据直线，的斜率之积以及列方程，化简求得点坐标. 【小问1详解】 若椭圆C的焦点在x轴上，由题意知，解得； 若椭圆C的焦点在y轴上，由题意知，解得. 【小问2详解】 当椭圆C的焦点在x轴上时，，椭圆方程为， 的最小值为， 当椭圆C的焦点在y轴上时，，椭圆方程为， 的最小值为（不合题意）， 故椭圆C的方程为. 设，，则，， 因为直线，的斜率之积为， 所以，所以. 根据对称性可知定点若存在，则一定在轴上， 设，则，， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立. 因为，所以， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以，即存在定点，满足恒成立. 【点睛】思路点睛：分类讨论求离心率：通过考虑椭圆焦点的位置，分两种情况讨论椭圆的离心率，并得出的可能值.设定直线与对称点分析：通过设定直线方程和分析直线斜率的关系，结合恒成立的条件，得出是否存在满足条件的定点.对称性验证：利用几何对称性简化了对定点的求解过程，确保推导过程符合题意. 19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． （1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标； （2）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵； （3）根据定义分别计算、、，证明即可. 【小问1详解】 可求得，设，则，， 设点，， 故 所以. 【小问2详解】 设，，则，，， 故 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为 【小问3详解】 设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证. 【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考模拟卷·数学 （120分钟 150分） 考生须知： 1.本卷侧重：高考评价体系之综合性. 2.本卷怎么考：①考查同一层面、横向的交互融合的综合能力（题18）；②考查不同层面之间、纵向的融会贯通的综合能力（题11）. 3.本卷典型情境题：题3、16. 4.本卷测试范围：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（ ） （若随机变量，则，，） A. 191 B. 137 C. 159 D. 164 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6. 如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，设是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点若为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于二项式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中的常数项为 B. 展开式中的常数项为 C. 展开式中的有理项有3项 D. 展开式中的有理项有4项 10. 若（），则（ ） A. z有可能为实数 B. z不可能为纯虚数 C. 的最小值为 D. 若，则 11. 某校数学兴趣小组的成员在研究一组数字，已知该组数字均为正整数，总个数为M，其中最大的数字为E（），且在内的每一个整数均出现在该组数字中，该组数字满足如下规律：对该组数字中的任意正整数a（），数字a的个数是所有不小于a的数字的个数的10%.现在从这组数字中任取一个数字，记“数字为n”为事件，“数字不小于n”为事件，其中，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 13. 函数，若“”是“取得最大值”的充分条件，则________. 14. 已知，则的最大值是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若关于x的方程有两个不同的解，求a的取值范围. 16. 中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）． 关注 没关注 合计 男 女 合计 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 ，其中 （1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量，求的分布列及数学期望． 17. 如图，在直三棱柱中，点是的中点，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，P是直线上的一动点，点Q在椭圆C上. （1）求的值； （2）若的最小值小于，且直线，的斜率之积为，O为坐标原点，请问平面内是否存在定点T，满足恒成立？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． （1）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $