精品解析：山东省菏泽市郓城第一中学（文苑校区）2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

郓城一中文苑校区高二上学期开学摸底考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知i是虚数单位，则复数，在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某车间从生产一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间内的零件应抽取（ ） A. 30个 B. 40个 C. 60个 D. 70个 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. D. 事件与事件不相互独立 4. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题： ①若，，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（　　） A. B. C. D. 5. 若非零向量、满足，且，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 6. 灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ） A. 45米 B. 50米 C. 55米 D. 60米 7. 已知圆锥的高为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在三棱锥中，能推出的条件是（ ） A. ， B. ， C. 平面平面， D. 平面 10. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人 B. 图中值为0.020 C. 估计全校学生成绩中位数约为86.7 D. 估计全校学生成绩的80%分位数为95 11. 在中，下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则为锐角三角形. C. 等式恒成立. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________. 13. 如图，在中，点在边上，，是等边三角形，且面积为，则______． 14. 在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，，是边上一点，，，. （1）求的长； （2）求的面积. 16. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形. （1）证明：平面PAE⊥平面PBF； （2）求二面角的正弦值； （3）若，求四棱锥的体积. 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求角C； （2）求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围. 18. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.9，第一组和第五组的频率相同． （1）求，的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）； （3）若先用分层随机抽样的方法从面试成绩在段的候选者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自同一分数段的概率． 19. 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. （3）求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郓城一中文苑校区高二上学期开学摸底考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知i是虚数单位，则复数，在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算和的性质可得答案. 【详解】复数，在复平面内对应的点， 所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2. 某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间内的零件应抽取（ ） A. 30个 B. 40个 C. 60个 D. 70个 【答案】C 【解析】 【分析】由分层抽样按比例计算． 【详解】设质量指标在区间内的零件应抽取个，则 ，解得， 故选：C． 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. D. 事件与事件不相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】由互斥事件的定义判断A；应用列举法计算，判断BC；利用独立事件的定义判断D. 【详解】显然事件A与事件B可以同时发生，事件与事件不互斥，A错误； 抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种：， ，， ，， ， 事件B的样本点为 ，共18种， 事件C的样本点为，共12种， 事件的样本点为，共6种， 因此，B错误；，C正确； 而，于是，则事件B与事件C相互独立，D错误. 故选：C 4. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题： ①若，，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假． 【详解】①若，，，如图，则与不一定垂直，故①为假命题； ②若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故②为真命题； ③若，则，故③为真命题； ④若，如图，则与可能相交，故④为假命题． 故选B． 【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键． 5. 若非零向量、满足，且，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义和运算法则即可计算. 【详解】， ， ∴， . 故选：B. 6. 灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ） A. 45米 B. 50米 C. 55米 D. 60米 【答案】B 【解析】 【分析】设，进而可得，由余弦定理得：，可求． 【详解】设米，在中，，则， 在中，，则， 因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米). 故选：B 7. 已知圆锥的高为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用扇形的弧长公式和面积公式计算即可. 【详解】由题意知， 设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l， 则，底面圆周长为， 又扇形的弧长为， 所以，解得，得， 所以底面圆的面积为，扇形面积为， 所以圆锥的表面积为. 故选：A 8. 如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,,利用余弦定理即可求解. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则有. 当三点共线时，则即为的最小值. 在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即 在三角形中，，，由勾股定理可得：,且. 同理可求： 因为，所以为等边三角形，所以， 所以在三角形中，,, 由余弦定理得：. 故选B. 【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在三棱锥中，能推出的条件是（ ） A. ， B. ， C. 平面平面， D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定与性质及面面垂直的性质，即可得出结论． 【详解】解：对于A， ，，不能证明，不能推出； 对于B，，，，则平面，，能推出； 对于C，平面平面，平面平面，，平面，，能推出； 对于D，平面，，能推出； 故选：BCD． 10. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人 B. 图中的值为0.020 C. 估计全校学生成绩的中位数约为86.7 D. 估计全校学生成绩的80%分位数为95 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由频率分布直方图求出的频率，再乘以400可得结果，对于B，由各组的频率和为1可求得结果，对于C，先判断中位数所在的区间，再列方程求解，对于D，根据百分位数的定义求解. 【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确； 由，得，故B错误； 由于前3组的频率和，前4组的频率和，所以中位数在第4组，设中位数为，则，得，故C正确； 低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数为， 则，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形. C. 等式恒成立. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理可得即结合同角三角函数基本关系可判断A；由余弦定理可判断为锐角，而角和角无法确定即可判断B；由正弦定理以及两角和的正弦公式可判断C；求出角，，，由正弦定理可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：在中，若，则，由正弦定理可得， 所以，即，所以，可得， 故选项A正确； 对于B：由余弦定理可得只能判断角为锐角，而角和角无法确定是什么角，所以得不出为锐角三角形，故选项B不正确； 对于C：由正弦定理可得，右边等于左边显然成立，故选项C正确； 对于D：因为，，所以，， 由正弦定理可得，故选项D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________. 【答案】且． 【解析】 【分析】由数量积大于0，再除去共线的值即可参数范围． 【详解】由题意，， 又，时，两向量相等，夹角为0， 所以的范围是且． 故答案为：且． 13. 如图，在中，点在边上，，是等边三角形，且面积为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，，再利用余弦定理求解. 【详解】解：因为是等边三角形，且面积为，所以，解得，所以．因为，所以， 由题得， 在中，由余弦定理得， 即，解得． 故答案为： 14. 在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，建立坐标系，运用向量的数量积公式，计算夹角余弦值，即可． 【详解】 结合题意，绘制图形，建立坐标系，得到点的坐标分别为： 故 ，所以 【点睛】本道题考查了向量数量积公式，考查了异面直线所成角余弦值计算方法，难度中等． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，，是边上一点，，，. （1）求长； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理求出的长； （2）在中，求出，由余弦定理求出，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由已知， 则中，； （2）中，，，， 由余弦定理得：，解得， 所以的面积为. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题. 16. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形. （1）证明：平面PAE⊥平面PBF； （2）求二面角的正弦值； （3）若，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定证结论； （2）连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点，根据二面角的定义找到其对应的平面角，根据题设求该角正弦值即可； （3）根据已知求得PH，结合PH⊥平面ABFE，棱锥的体积公式求体积. 【小问1详解】 由题设，易知，又为等腰直角三角形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以平面PAE⊥平面PBF； 【小问2详解】 如图，连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点， 由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB， ∴GH⊥AB，故∠PGH为二面角的平面角， 由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE， 又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE， 设，则，，，， 故二面角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，则， 故四棱锥的体积为1. 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求角C； （2）求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和角公式得出角C； （2）由正弦定理得出，由正弦定理的边化角公式得出，结合三角函数的性质得出△ABC的周长的取值范围. 【小问1详解】 由题，因为 所以由正弦定理可得 即 在△ABC中，，且，B， 又，所以，则 【小问2详解】 由正弦定理得，所以 由（1）知，， 所以 因为，所以 则 即△ABC的周长的取值范围为 18. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.9，第一组和第五组的频率相同． （1）求，的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）； （3）若先用分层随机抽样的方法从面试成绩在段的候选者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自同一分数段的概率． 【答案】（1）， （2）69.4 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值； （2）由于第一、二组的频率之和为0.3而第三组的频率为0.45，所以中位数在第三组，根据比例即可求解中位数； （3）根据分层抽样，在段和段的候选者分别有1人和5人，列举出这6人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自同一分数段的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可． 【小问1详解】 因为第二、三、四组的频率之和为0.9， 所以，解得． 再由第一组、第五组的频率之和为， 即，得． 【小问2详解】 根据频率分布直方图可知，第一、二组的频率之和为0.3，第三组的频率为0.45， 所以中位数在第三组，且为． 【小问3详解】 由（Ⅰ）可得面试成绩在段和段的候选者分别有5人和25人，若用分层随机抽样的方法从中抽取6人，则需在段中抽取1人，设为，在段中抽取5人，分别设为，，，，． 该试验的样本空间为，共有15个样本点． 设“从这6人中随机抽取2人，这2人来自同一分数段”为事件，则，有10个样本点， 故． 19. 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，只需证明即可，由中位线定理结合线面平行的判定定理即可得证. （2）只需证明，即可，由等腰直角三角形性质，线面垂直性质以及判定定理即可得证. （3）利用转换法，只需求点到平面的距离和三角形的面积，由（2）的结论、点为的中点以及解直角三角形知识即可求解. 【小问1详解】 如图， 连接，， 四边形为矩形，为中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. 【小问2详解】 直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又面， 平面. 【小问3详解】 由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$