精品解析：北京市丰台区2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习 高一数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则当取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 9. 2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过15的部分 2.07元/ 超过15但不超过21.67的部分 4.07元/ 超过21.67的部分 6.07元/ 若某户居民希望本月缴纳的水费不超过元，则此户居民本月用水最多为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 10. 已知定义域为的函数满足为偶函数．当时，，且当时，．对，都有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___． 12. 设集合，若，则实数的值为___． 13. 能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为___． 14. 设函数，若，则的值域是_______；若的值域是，则实数的取值范围是_______. 15. 已知的定义域为，对，，若同时满足以下两个条件：（i）；（ii），则称具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为的四个函数： ①； ②； ③； ④． 其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是___． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知是定义域为的偶函数，当时，. （1）求的值； （2）的部分图象如下图，请将的图象补充完整，并写出的单调递减区间； （3）若关于的方程恰有6个实数根，则实数的取值范围是________． 18. 设函数，． （1）若为奇函数，求实数的值； （2）根据定义证明在区间上单调递增； （3）若对，，使得，求实数的取值范围． 19. 设函数. （1）若______（从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知）， 求实数的值，并以此时的图象与坐标轴的交点为三角形的顶点，求该三角形的面积； 条件①：关于的方程有两个实数根，且； 条件②：，都有； 条件③：的最小值为，且. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （2）求关于的不等式的解集. 20. 某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过台，每台售价为万元. 每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为万元，每月生产台时需要投入的可变成本为（单位：万元），每月的利润为（单位：万元），其中利润是收入与成本之差．当每月产量不超过台时，；当每月产量超过台时，．假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄． （1）求关于的函数解析式； （2）如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？ 21. 给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质. （1）设集合，，请直接写出，是否具有性质； （2）若集合具有性质，求的值； （3）若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习 高一数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义计算即可. 【详解】由题意. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】根据含有一个量词的否定， 命题“，”的否定是“，”， 故选：A. 3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【详解】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 4. 已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义可判断；根据图象一一分析函数的定义域和值域，即可判断其它选项. 【详解】对于，直线与图象有两个交点，不符合函数的定义，故不正确； 对于，函数的定义域为，值域为，符合题意，故正确； 对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确； 对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确. 故选：. 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为二次不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， 则，解得，则. 故选：A. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的性质以及充分不必要条件即可求解. 【详解】因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则当取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在在同一坐标系中，画出的图象，从而得到的图象，进而得解. 【详解】令，得到或， 在同一坐标系中，画出与的图象，如图， 因为，所以图中实线部分为的图象， 由图可知，当时，取到最大值. 故选：C. 8. 已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性计算即可； 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减； ， 所以，即， 故选：C. 9. 2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过15的部分 2.07元/ 超过15但不超过21.67的部分 4.07元/ 超过21.67的部分 6.07元/ 若某户居民希望本月缴纳的水费不超过元，则此户居民本月用水最多为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，分段求出关于的函数解析式，再令，解出的值，从而得解. 【详解】依题意，设用户的用水量为，缴纳的水费为元， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，令，解得，则此户居民本月用水量为. 故选：B. 10. 已知定义域为的函数满足为偶函数．当时，，且当时，．对，都有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可求得当，，，时的函数解析式，并且计算当时，的解，结合图象求的最小值. 【详解】因为定义域为的函数满足为偶函数， 所以函数关于对称， 因为当时，，当时，， 所以当时，，则， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 如图，画出函数图象 当时，令，解得或， 对，都有， 结合图象，得，的最小值为 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求得当，，，时的函数解析式后，结合函数的图象是本题的关键. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数定义域的要求直接构造不等式组求解即可. 【详解】由题意知：，解得：且， 的定义域为. 故答案为：. 12. 设集合，若，则实数的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，建立关于的方程，解方程及验证得解. 【详解】集合，且， （i）当时，，，违反集合元素的互异性， （ii）当时，解得或， ①当时，不满足集合元素的互异性，舍去， ②当时，，满足题意，则实数的值为. 故答案为：. 13. 能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为___． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】举例说明“若，则”是假命题即可求解. 【详解】当一组实数的值依次为时，满足，但， 故一组实数的值依次为符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 设函数，若，则的值域是_______；若的值域是，则实数的取值范围是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，利用二次函数与反比例函数的性质即可得解；第二空，作出二次函数与反比例函数的图象，分析的取值范围，数形结合即可得解. 【详解】第一空：当时，， 当时，， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以的值为； 当时，函数为单调递减函数，其值域为， 综上，的值域是； 第二空：作出函数与的图象，如图， 因为的值域是， 当时，， 若，由图象可知可取得无穷小，不满足题意， 由第一空可知也不满足题意，则必有， 所以，得，则， 当时，，， 且当时，解得或， 即，，结合图象可知， 综上，，即实数a的取值范围是. 故答案为：；. 15. 已知的定义域为，对，，若同时满足以下两个条件：（i）；（ii），则称具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为的四个函数： ①； ②； ③； ④． 其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是___． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据的单调性结合作差法判断的正负，然后逐项分析可得结果. 【详解】①：在上单调递减，故（i）满足； 因为，且，， 所以，所以，故（ii）满足； 所以具有“丰彩”性质； ②：在上单调递增，故（i）不满足； 所以不具有“丰彩”性质； ③：在上单调递减，故（i）满足； 因为，且，， 所以， 所以， 所以具有“丰彩”性质； ④：的对称轴且开口向下， 所以在上单调递减，故（i）满足； 因为， 又因为，，所以，所以，故（ii）不满足； 所以不具有“丰彩”性质； 故答案为：①③. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据交集、并集以及补集运算，求解即可； （2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围． 【小问1详解】 由得，，所以． 因为，所以或， 所以或． 【小问2详解】 因为，所以， 当时，可得，解之可得， 此时，故不满足舍弃， 当时，可得，故． 综上可知的取值范围为. 17. 已知是定义域为的偶函数，当时，. （1）求的值； （2）的部分图象如下图，请将的图象补充完整，并写出的单调递减区间； （3）若关于的方程恰有6个实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】（1） （2）作图见解析，，， （3） 【解析】 【分析】（1）结合分段函数，根据由内到外的计算方法求值即可； （2）根据偶函数的图象特征作图即可，结合函数图象得出函数的单调递减区间； （3）关于的方程恰有个实数根，函数的图象与函数的图象有个公共点，结合图象即可求解. 【小问1详解】 由已知，得， 所以； 【小问2详解】 的单调递减区间为，，； 【小问3详解】 关于的方程恰有个实数根， 所以函数的图象与函数的图象有个公共点， 结合图象可知的取值范围为. 18. 设函数，． （1）若为奇函数，求实数的值； （2）根据定义证明在区间上单调递增； （3）若对，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：，且， 则 ， 由，得，，， 于是，即， 所以在区间上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义结合求解出的值； （2）先分析的正负，再结合单调性定义证明单调性即可； （3）根据条件将问题转化为，结合（2）以及幂函数的单调性求解出的取值范围. 【小问1详解】 由已知，得的定义域为，， 又因为是奇函数， 所以，即， 解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知，得， 由（2）知，在区间上单调递增， 所以， 因为在区间上单调递增， 所以， 所以． 19. 设函数. （1）若______（从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知）， 求实数的值，并以此时的图象与坐标轴的交点为三角形的顶点，求该三角形的面积； 条件①：关于的方程有两个实数根，且； 条件②：，都有； 条件③：的最小值为，且. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）据题意列出关于的方程，确定函数解析式，即可求出其与坐标轴的交点，进而得到三角形面积； （2）由于方程的两根为，，故分，，，四种情况讨论解不等式. 【小问1详解】 选择条件①：关于的方程有两个实数根，且, 所以，解得， 此时， 设的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点， 令，解得，，所以，， 又因为，所以， 所以三角形的面积. 选择条件②：，都有， 所以的对称轴为，即，解得， 此时， 设的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点， 令，解得，，所以，， 又因为，所以， 所以三角形的面积. 选择条件③：因为的最小值为，且， 所以，且在对称轴处取得最小值， 即，解得或（舍去）， 此时， 设的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点， 令，解得，，所以，， 又因为，所以， 所以三角形的面积. 【小问2详解】 因为，所以方程的两根分别为，. 当时，有，解得； 当时，有，解得或； 当时，有，解得或； 当时，有，解得. 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 20. 某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过台，每台售价为万元. 每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为万元，每月生产台时需要投入的可变成本为（单位：万元），每月的利润为（单位：万元），其中利润是收入与成本之差．当每月产量不超过台时，；当每月产量超过台时，．假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄． （1）求关于的函数解析式； （2）如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每月生产台电子设备可以使月利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】（1）根据利润是收入与成本之差可构造分段函数解析式； （2）根据二次函数最值、基本不等式分别求解每一段上的最大值，对比可得总体最大值并确定最大值点. 【小问1详解】 由题意知：， . 【小问2详解】 当时，为开口方向向下，对称轴为的抛物线， 此时； 当时，（当且仅当时取等号）； ，该公司每月生产台电子设备可以使月利润最大，最大利润是万元. 21. 给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质. （1）设集合，，请直接写出，是否具有性质； （2）若集合具有性质，求的值； （3）若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合． 【答案】（1）集合具有性质，集合不具有性质 （2） （3），，，， 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足； （2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解； （3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解. 【小问1详解】 因为集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质， 集合中的，， 所以集合不具有性质， 所以集合具有性质，集合不具有性质； 【小问2详解】 记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以， 不妨设，则，且， 令，， 则，且，且， ①当时，显然， 因为，所以， 所以，解得， 此时，具有性质； ②当时，则， 因为且， 所以，， 所以，解得， 此时，与题意不符（舍）， 综上，， 故； 【小问3详解】 记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以， 不妨设，， 此时， 若，显然， 所以， 由集合具有性质， 所以，， 因为且与互为相反数， 所以，两个数中必然一正一负， 所以中有0，有正数也有负数， 下面对中元素的正负个数进行讨论： （1）当中有1个负数，4个正数时， 不妨设，， 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （2）当中有4个负数，1个正数时， 不妨设时，， 因为均小于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （3）当中有2个负数，3个正数时， 不妨设时，，， 因为， 所以， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以， 即，① 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以，， 因为，， 所以，，， 故，，，， 所以，，，② 由①②，得， 于是：. （4）当中有3个负数，2个正数时， 由（3），同理可得， 由此，当恰有6个元素，且时，可得符合条件的集合有5个， 分别是，，， ，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $