精品解析：山东省济宁市嘉祥县第一中学2025届高三第三次考试数学试题

2025届高三第三次考试数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前n项和为．若，，则（ ） A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､下底面边长分别为，高为3，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 是图象的一条对称轴 C. 是图象的一个对称中心 D. 在区间内单调递减 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（    ） A. B. 若互为共轭复数，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，则（ ） A. 直线AB与CD所成角的大小为45° B. 二面角的大小为60° C. 三棱锥的体积为 D. 直线CD与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为__________. 14. 函数，对任意的时，都有，则______，函数的最小值是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 数列中，，记，是公差为1的等差数列. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 某学校对高三（1）班50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，，其中（，且）分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. （1）求与的样本相关系数； （2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值，试估计该校共1600名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中，； ②样本相关系数；③； ④若，则. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，． （1）求证：平面MQB⊥平面PAD； （2）若二面角M-BQ-C的大小为60°，求QM的长． 18. 设，. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：； （3）证明：. 19. 若函数的定义域为，且存在非零常数，使得对任意，都有，则称是类周期为的“类周期函数”. （1）若函数是类周期为1的“类周期函数”，证明：是周期函数； （2）已知是“类周期函数”，求的值及的类周期； （3）若奇函数是类周期为的“类周期函数”，且，求的值，并给出符合条件的一个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第三次考试数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析A集合为大于等于0的偶数集，求解B集合，计算补集，再求交集. 【详解】集合，因为集合A为大于等于0的偶数集，集合或， 所以，. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题. 2. 已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列定义以及等差中项性质对充分性和必要性分别进行判断即可得结论. 【详解】判断充分性： 因为，所以， 令，则，所以数列的偶数项成等差数列， 令，则，所以数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3； 所以“”不是“数列为等差数列”的充分条件； 再判断必要性： 若数列是等差数列，则， 所以，所以“”是“数列为等差数列”的必要条件； 综上，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对等式进行变形得，再运算数量积的运算求解即可. 【详解】设，由题得， 所以， ，所以， 所以，又， 所以， 故选:D. 4. 已知数列的前n项和为．若，，则（ ） A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可根据奇偶项分别为等差数列，分组求和，或者利用为等差数列，即可由等差求和公式求解. 【详解】方法一： ∵①，∴当时，②， ①-②得当时，， ∴中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2． ∵，∴当n为奇数时，； 当n为偶数时，． ∴． 方法二： ∵，∴，， ∴数列是以7为首项，4为公差的等差数列， ∴． 故选：C． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】由题意知， 可得，可得， 又由. 故选：C. 6. 已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､下底面边长分别为，高为3，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果；法二：应用排除法得答案． 【详解】法一：正四棱台的对角面的外接圆为其外接球的大圆（如下图）， 对角面为等腰梯形，其上下底边长分别为2，4，高为3， 由正四棱台的对称性可知，球的球心在梯形上下底的中点连线所在直线上， 设，则，球半径为， 由，可得，解得， 所以所求的球的表面积为， 法二：下底的外接圆不大于球的大圆，故球半径（下底对角线长的一半），表面积排除D； 对角面等腰梯形的对角线长，故球半径，表面积，排除C； 若，则，易求球心到的距离为，球心到的距离为， 无法满足，或，排除A. 故选：B. 7. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 是图象的一条对称轴 C. 是图象的一个对称中心 D. 在区间内单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】法一：利用排除法，取特值检验即可；法二：根据周期性的定义判断A；根据对称性的定义判断BC；利用导数判断在区间内单调性，进而判断D. 【详解】法一：（排除法）因为， ， 即，所以不是的一个周期，故A错误； 且，所以不是图象的一个对称中心，故C错误； 又因为， 即，所以在区间内不单调递减，故D错误； 法二：A：因为 即，所以不是的一个周期，故A错误； B：因为， 即，所以是图象的一条对称轴，故B正确； C：因为， 即，所以不是图象的一个对称中心，故C错误； D：因为 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间内不单调递减，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：对于复杂的函数性质问题，可以通过举反例的形式说明其错误，这样可以简化计算和推理. 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数性质可得当时，，最后应用分组求和即可. 【详解】当时，，，， 所以， 则 . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分析得，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（    ） A. B. 若互为共轭复数，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设,，分别计算，比较即得；对于B，取一对共轭复数，求其模长易得；对于C，通过举反例即可排除；对于D，先由推得，再证和，可得即可. 【详解】对于A,令,， 则 而 ，即，故A正确； 对于B，令，则，由可得，故B正确； 对于C，不妨取，满足， 根据复数的乘法运算可知：， ，即，故C错误； 对于D，由，可得，故， 设，则， 因，同理， 由可得，故，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可. 【详解】对于A：∵，∴，令，即，解得：x=0或x=2，故有“巧值点”. 对于B：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”. 对于C：∵，∴，令，即，由和 的图像可知， 二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点”. 对于D：∵，∴，令，即，可得，无解，故没有“巧值点”. 故选：AC 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 11. 如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，则（ ） A. 直线AB与CD所成角的大小为45° B. 二面角的大小为60° C. 三棱锥的体积为 D. 直线CD与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线所成角、二面角、线面角定义，在图形中作出直线AB与CD所成角、二面角的平面角、直线CD与平面所成角，结合已知条件计算判断各项正误. 【详解】过A作且，连接，则四边形ABDE是平行四边形，如图， 所以且，故是直线AB与CD所成角或其补角， 因，，则，而，面， 于是面，面，则， 故，则，A正确； 因，即，而，则是二面角的平面角，又， 因此，，即为正三角形，，B正确； 因面，，则面，在面内过C作于O，于是， 又，而， 所以，C错误； 连接而，则是直线CD与所成角，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】21 【解析】 【分析】对两边求导，再利用赋值法，令，可得，原式中令，可求得，即可求解. 【详解】对两边求导可得： ， 令，可得， 即， 又，令，可得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用两角差正弦公式及辅助角公式化简后结合正弦函数性质判断参数范围. 【详解】因为 ,有且仅有2个零点， 则, 即. 故答案为：. 14. 函数，对任意的时，都有，则______，函数的最小值是______. 【答案】 ①. －1 ②. －36 【解析】 【分析】易得，是的两个零点，由可得，也是的两个零点，代入即可求出；令通过换元将函数转化为二次函数的最值问题即可. 【详解】依题意， 因为， 则，是的两个零点， 又，则，也是的两个零点， 故，则，故； 又，故， 令，则或，故， 对称轴是，故当时，即时，函数取得最小值－36.， 故答案为：-1；-36. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 数列中，，记，是公差为1的等差数列. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式即可得到结果； （2）根据题意，由错位相减法即可得到结果. 【小问1详解】 当时， 所以 所以 当时， 所以 又符合 所以. 【小问2详解】 由（1）得 所以① 所以② ①-②得 所以. 16. 某学校对高三（1）班50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，，其中（，且）分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. （1）求与的样本相关系数； （2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值，试估计该校共1600名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中，； ②样本相关系数；③； ④若，则. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的求法求得正确答案. （2）先求得，然后根据正态分布的对称性求得正确答案. 【小问1详解】 由关于的线性回归方程为知， 即， 又由，可得， 所以与的样本相关系数： . 【小问2详解】 由，解得，所以， 又由， 及可得： ， 于是估计该校1600名高三学生中， 数学成绩位于区间的人数约为人. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，． （1）求证：平面MQB⊥平面PAD； （2）若二面角M-BQ-C的大小为60°，求QM的长． 【答案】（1） ∵ADBC，，Q为AD的中点， ∴四边形BCDQ为平行四边形， ∴CDBQ ∵∠ADC＝90°， ∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD， 平面，∴BQ⊥平面PAD， ∵平面MQB， ∴平面MQB⊥平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形BCDQ为平行四边形，进而得到QB⊥AD，再根据面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，再根据面面垂直的判定证明即可； （2）以Q为原点建立空间直角坐标系，设，利用二面角的向量求法可得，再根据空间向量的模长公式求解QM的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵PA＝PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD， ∴PQ⊥平面ABCD， 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，且0≤λ≤1，得， 所以，， 设平面MBQ法向量为， 由，得， 令，则， 由题意知平面BQC的一个法向量为， ∵二面角M-BQ-C为60°， ∴，即，，解得， ∴，则， ∴． 18. 设，. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：； （3）证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知为定义在上的偶函数，下取， 可知，令， 因为，则， 则在内单调递增，可得， 即在内恒成立，可知在内单调递增， 所以在内的最小值为， 结合偶函数性质可知：. （3）证明：由（2）可得：当时，，当且仅当时，等号成立， 即，令，则， 当时，， 即，则有： ，，，， 相加可得：， 因为，则，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，分和两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值； （2）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明； （3）由（2）可得：，分和两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 下取， 当时，，则， 当时，则，可知在内单调递增， 当时，令，则， 可知在内单调递增， 因为，则，使得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 则在内恒成立，可知在内单调递减； 综上所述：在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为， 又因为为偶函数，所以在内的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 19. 若函数的定义域为，且存在非零常数，使得对任意，都有，则称是类周期为的“类周期函数”. （1）若函数是类周期为1的“类周期函数”，证明：是周期函数； （2）已知是“类周期函数”，求的值及的类周期； （3）若奇函数是类周期为的“类周期函数”，且，求的值，并给出符合条件的一个. 【答案】（1） 证明：因为是类周期为1的“类周期函数”， 所以，① 用代换得，② ①+②得，所以， 所以，所以是周期为6的周期函数. （2）的类周期为2 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用“类周期函数”的定义，即可证明； （2）利用已知条件是“类周期函数”以及奇函数的性质，即可证明； （3）利用已知条件，求出的关系，进而求出T的值，进行作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是“类周期函数”， 所以存在非零常数，使得对任意，都有， 即， 整理得， 所以所以， 所以的类周期为2. 【小问3详解】 因为奇函数是类周期为的“类周期函数”， 所以，且， 取，得，所以， 取，得， 所以， 因为，所以（负值舍去）， 所以， 设，则，整理得， 所以，取. 【点睛】关键点点睛:此题重点在于把握理解新定义“类周期函数”，并结合周期函数、三角函数的性质解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $