精品解析：吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

白城市实验高级中学2024-2025学年度高二上学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B. 已知，平面内到两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C. 平面内到两点的距离之和等于点到的距离之和的点的轨迹是椭圆 D. 平面内到点距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及限制条件可判断. 【详解】对于A，，则平面内到两点距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误； 对于B，平面内到两点的距离之和等于6，小于，这样的点不存在，所以B错误； 对于C，点到两点的距离之和为，则所求动点的轨迹是椭圆，所以C正确； 对于D，平面内到距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，所以D错误. 故选：C. 【点睛】本题考查对椭圆定义的理解，属于基础题. 2. 若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为 A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以设弦长为，则，即. 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由两直线平行求得参数的值，再进行充要条件判断即得. 【详解】直线和平行，则， 等价于，即， 故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 过，且在轴上的截距比在轴上的截距大1的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出在轴上的截距，即可知在轴上的截距，进而可写出直线方程，再把点代入直线方程中，可求出，即可求得答案. 【详解】设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线方程为，在直线上，或，则直线为或. 故选：B. 5. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为， 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 6. 若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（ ） A. 183 B. 182 C. 181 D. 180 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点坐标可利用两点式求直线的方程，代入即可求解. 【详解】因为直线l过点和，由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即.由于点直线l上，所以，解得. 故选:A. 7. 设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值. 详解：由①得到，，故①无解， 所以直线与抛物线是相离的. 由， 而为到准线的距离，故为到焦点的距离， 从而的最小值为到直线的距离， 故的最小值为，故选A. 点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解. （2023·天津市河北区期中） 8. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案. 【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，，，则，， 所以. 又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　） A. 曲线是黄金双曲线 B. 如果双曲线是黄金双曲线，那么（c为半焦距） C. 如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 D. 过双曲线的右焦点且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若，则双曲线C是黄金双曲线 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据双曲线的离心率以及黄金双曲线的定义分别计算即可一一判断； 【详解】解：对于A：，，，所以，所以，故A错误； 对于B：双曲线是黄金双曲线，所以，由，所以，故B正确； 对于C：双曲线的一条渐近线，则到其距离，而由B可知，，故C错误； 对于D：当时，，令，，则，，所以，则，由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确； 故选：BD 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 10. 过点且的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分焦点在x轴上和焦点在轴上两种情况讨论，求出对应的标准方程即可. 【详解】∵，∴， 当焦点在轴上时，设，代入点，得， 此时双曲线方程为， 同理求得焦点在轴上时，双曲线方程为， 故选AC. （2023·江西省赣西外国语学校期中） 11. 已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出弦长的取值范围即可判断得解. 【详解】当直线的斜率存在时，设过点斜率存在的直线方程为：， 由消去y，并整理得，恒成立， 设，则， ， 当直线的斜率不存在时，因此， 所以弦长可能是，. 故选：BC 12. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C 直线与圆相交 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线恒过定点的求解方法，直线垂直的斜率关系，直线与圆的位置关系判断方法，以及直线截圆所得弦长的最值求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对：由可得，， 令，即，此时，所以直线恒过定点，故A错误； 对：因为直线的斜率为，所以当时，直线的斜率为， 此时直线与直线垂直，满足题意，正确； 对C:因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆相交，正确； 对:直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） （2023·山东省滨州市惠民县期中） 13. 已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】以为空间一组基底， 由于三个向量共面，所以存在， 使得， 即， 整理得， 所以，解得. 故答案为： 14. 已知与垂直，且与垂直，则＝________. 【答案】60°## 【解析】 【分析】根据向量垂直化简数量积，由两式可得且，由向量夹角公式求解即可. 【详解】， ， 两式相减得：， ， 代入上面两个式子中的任意一个，得， ， 又， . 故答案为： 15. 已知，，三点，这三点__________（填“是”或“否”）在同一直线上． 【答案】是 【解析】 【分析】通过计算斜率来进行判断. 【详解】由题意可知直线的斜率， 直线的斜率. 因为， 即两条直线的斜率相同， 并且它们过同一点， 所以，，三点在同一直线上． 故答案为：是 （2023·江西省宜春市丰城市东煌学校期中） 16. 已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为， 所以，，故． 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程组求得两直线的交点，再在直线上取点，设点关于直线的对称点为，得出方程组，求得点点的坐标为，进而求得直线的方程. 【详解】联立方程组，解得所以直线与相交，且交点为， 可得点也在直线上． 再在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 可得，解得，即点的坐标为， 则直线斜率为， 所以直线的方程为，即， 故直线的方程为. 18. 如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，证出，且，根据线面垂直的判定定理即可证明. （2）假设存在，利用线面垂直的定义证出即可. 【详解】（1）证明：因为四棱锥底面是正方形，且平面， 以点为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图 所示空间直角坐标系. 则， ， 因为是的中点， 所以， 所以， 所以，且. 所以，，且. 所以⊥平面. （2）假设在线段上存在点，使得//平面. 设， 则. 因为//平面，⊥平面， 所以. 所以. 所以，在线段上存在点，使得//平面.其中. 【点睛】本题考查了用空间向量证明线面垂直，线面平行，考查了线面垂直判定定理，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题. 19. 已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，求圆的方程． 【答案】或 【解析】 【分析】假设圆方程，根据两圆圆心距等于半径之和、点在圆上和圆心与切点连线与切线垂直可构造方程组求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径为； 设圆的方程为：，则圆心为，半径为， 则，解得：或， 圆的方程为：或. 20. 若，又三点，，共线，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】将三点共线转化为以三点确定的两条直线重合，其斜率相同，利用两点的斜率公式列出方程求出. 【详解】试题分析： ∵、、三点共线，∴直线、的斜率相等， ∴， 解之得：． 21. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）直线与圆相交； （2）直线的方程为或 【解析】 【分析】（1）先求出直线l过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l必与圆相交； （2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l的距离，以此列方程求解m的值，即可求出直线l的方程. 【小问1详解】 直线，整理得， 令，解得 即直线l过定点 将P点坐标代入圆C方程得， 故P点在圆C内，直线与圆相交. 【小问2详解】 圆，整理得 即，. 因为， 所以圆心C到直线l的距离为. 又， 所以 故直线的方程为或. 22. 如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 【答案】 【解析】 【分析】以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】 以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则 所以, 设CM和所成角为，则, 所以CM和所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 白城市实验高级中学2024-2025学年度高二上学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B. 已知，平面内到两点距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C. 平面内到两点的距离之和等于点到的距离之和的点的轨迹是椭圆 D. 平面内到点距离相等的点的轨迹是椭圆 2. 若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为 A. B. 1 C. D. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 过，且在轴上的截距比在轴上的截距大1的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 A. 2 B. C. D. 6. 若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（ ） A. 183 B. 182 C. 181 D. 180 7. 设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 A. 2 B. C. D. 3 （2023·天津市河北区期中） 8. 如图，在直三棱柱中，D为棱中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 我们把离心率为椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　） A. 曲线是黄金双曲线 B. 如果双曲线是黄金双曲线，那么（c为半焦距） C. 如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 D. 过双曲线的右焦点且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若，则双曲线C是黄金双曲线 10. 过点且的双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. （2023·江西省赣西外国语学校期中） 11. 已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（ ） A. 1 B. C. D. 3 12. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C. 直线与圆相交 D. 直线被圆截得的最短弦长为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） （2023·山东省滨州市惠民县期中） 13. 已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______. 14 已知与垂直，且与垂直，则＝________. 15. 已知，，三点，这三点__________（填“是”或“否”）在同一直线上． （2023·江西省宜春市丰城市东煌学校期中） 16. 已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 求直线关于直线对称的直线的方程． 18. 如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，求圆的方程． 20. 若，又三点，，共线，求的值． 21. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程. 22. 如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$