精品解析：四川省遂宁中学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

遂宁中学校介福校区高2027届高一（上）半期适应性考试数学试卷 满分：150分，时间：120分钟 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，那么的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，当为上增函数时，实数a的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 0 6. 已知函数，若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则，， ，中最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于对称，且对，，当，且时，成立，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的跟随区间，则b=1 B. 函数存在跟随区间 C. 若函数存在跟随区间，则 D. 二次函数存在“2倍跟随区间” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 不等式的解集是__________. 13. 已知函数，若，则__________. 14. 已知，，下面四个结论： ①；②若，则的最小值为4；③若，则；④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上） 四、解答题 本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. （1）已知，，且的取值范围是，若，，，求的最大值； （2）已知一元二次不等式的解是，且，，，求的最小值. 17. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）画出函数的图象； （2）求函数的解析式（写出求解过程）． （3）求，的值域． 18. “绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. （1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？ （2）该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？ 19. 已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. （1）求，的值； （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂宁中学校介福校区高2027届高一（上）半期适应性考试数学试卷 满分：150分，时间：120分钟 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集概念进行求解. 【详解】. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定形式可得. 【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题可知， 命题“，”的否定是“，”． 故选：C． 3. 已知，那么的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为， 所以只有A选项是的一个必要不充分条件. 故选：A. 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求出的定义域，再可求出的定义域 【详解】由，得， 所以的定义域为， 由，得， 所以的定义域为， 故选：D 5. 设函数，当为上增函数时，实数a的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质及分段函数的单调性列式求解. 【详解】由题，对称轴， 因为函数是R上的增函数， 所以，解得. 故选：C. 6. 已知函数，若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象，分类讨论即可求解值域求解. 【详解】，且，， 当，此时在单调递减，此时值域为，不符合要求， 当，此时在单调递减，此时值域为，符合要求， 当，此时在单调递减，在单调递增，此时值域为，符合要求， 当，此时在单调递减，在单调递增，此时值域为，而，不符合要求， 综上可得：， 故选：C 7. 已知，，则，， ，中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 8. 已知函数的图象关于对称，且对，，当，且时，成立，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得函数为偶函数，且在上为单调递增函数，题意转化为对任意恒成立，分类讨论当时，得到，利用基本不等式，当时，符合题意，即可得出答案． 【详解】解：函数的图象关于对称， 函数的图象关于对称，即函数为偶函数， 又当，且时，成立， 函数在上为单调递增函数， 又对任意恒成立，则对任意恒成立， 当时，恒成立； 当时，， ，当且仅当时，即时，等号成立， ，即实数的取值范围为，故D正确，A、B、C错误． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次不等式解集可知，且方程的两根分别为2，3，结合韦达定理可得之间的等量关系，分别代入各个选项即可得出结果. 【详解】解：因为的解集为， 所以，且方程的两根分别为2，3， 由韦达定理可知：，结合， 解得，所以， 所以选项A、B正确； 因为，所以选项C正确； 因为，所以选项D错误. 故选：ABC 10. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案. 【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项. 函数，均为偶函数. 又二次函数在上为增函数. ，当时，函数可化为，在上为增函数. 故选项B，D满足条件. 故选：BD 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的跟随区间，则b=1 B. 函数存在跟随区间 C. 若函数存在跟随区间，则 D. 二次函数存在“2倍跟随区间” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数“跟随区间”的定义，结合选项中每个函数的单调性和自变量的取值范围，可列出相应的方程组，如果解得存在区间符合题意，则判断该选项正确，如果解得方程的解不符合题意，可判断该选项错误. 【详解】对于A,由题意可知，为的单调递区间，函数值域为， 若为的跟随区间，则，则或 （舍去），A正确； 对于B：函数中x的取值范围为 ， 若存在跟随区间（ ），则必有或， 又因为函数在区间上递减， 则有 ，即得 ，不合题意，B错误； 对于C,由已知函数可得，函数在上单调递减， 若存在跟随区间（ ）， 则有,即,两式作差得：， 即， 又，所以，故， 所以，设，则 ， 即是的一个根； 同理也是的一个根， 即在区间上有两个不相等的实数根， 只需： ，解得 ，C正确； 对于D，若函数存在2倍跟随区间， 设定义域为 ，值域为， 当 时，函数在定义域上单调递增，则， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或 ， 故存在定义域为 使得值域为 ，D正确， 故选： ． 【点睛】关键点点睛：解决这类给出函数新定义的题目时，关键是要正确准确地理解定义的含义，并能根据该定义去进行解答，特别是在判断C选项时，要注意整理变式，采用换元法，将问题转化为一元二次方程在给定区间上有解的问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由，得， 则，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 13. 已知函数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】代入，求出，得到. 【详解】，故， 所以， 则. 故答案为： 14. 已知，，下面四个结论： ①；②若，则的最小值为4；③若，则；④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，由，得，然后变形后判断，对于②，变形后利用基本不等式判断，对于③，由不等式的性质判断，对于④，将展开由基本不等式可推导出结果 【详解】对于①，因为，所以，即， 因为，，所以，所以①正确， 对于②，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，，即时取等号，所以②错误， 对于③，因为，所以，因为，所以，所以③正确， 对于④，因为， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以④正确， 故答案为：①③④ 四、解答题 本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解； （2）由得到，再分和求解. 【小问1详解】 解：由得， 所以. 【小问2详解】 由得， 当，则； 当，则； 综上，. 16. （1）已知，，且的取值范围是，若，，，求的最大值； （2）已知一元二次不等式的解是，且，，，求的最小值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，然后利用基本不等式即可求解； （2）解一元二次不等式可得，，利用“1”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，则， 所以，， 则，因为，，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以当，时，取最大值； （2）因为，所以， 所以，，则， 所以， 因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取最小值. 17. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）画出函数的图象； （2）求函数的解析式（写出求解过程）． （3）求，的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象，即可得结论； （2）根据奇函数的定义求解析式； （3）由函数图象得函数的单调性，从而可得最大值和最小值，即得值域． 【小问1详解】 先作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象： 【小问2详解】 是奇函数，时，，， 所以， 所以； 【小问3详解】 由（1）可知在和上是增函数，在上是减函数， ，，，，因此最大值为1，最小值为， 所以的值域为． 18. “绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. （1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？ （2）该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？ 【答案】（1）500 （2）不能获利，该市政府需要补贴元 【解析】 【分析】（1）由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可； （2）由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 所以每吨二氧化碳的平均处理成本为元， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该企业每月处理量为500吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低. 【小问2详解】 设该企业每月的利润为， 则， 因为， 所以当时，函数取得最大值，即， 所以该企业每月不能获利，该市政府至少需要补贴元才能使该企业在该措施下不亏损. 19. 已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. （1）求，的值； （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【小问1详解】 由， 则， 又当时，， 则， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $