精品解析：山东省聊城颐中外国语学校2025届高三上学期第一次月考数学试题

2022级高三上学期第一次自我检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若角的终边经过点，则等于（ ） A B. C. D. 3. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（ ）米． A. B. C. D. 7. 函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 10. 已知角第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 以下函数在区间上为单调增函数的有（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个定义域为，周期为的偶函数________．（答案不唯一） 13. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________. 14. 已知，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值. 16. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上最大值为，求的最小值. 17. 如图为一个公路隧道，隧道口截面为正弦曲线，已知隧道跨径为8.4m，最高点离地面4.5m． （1）若设正弦曲线的左端为原点，试求出该正弦曲线的函数解析式； （2）如果路面宽度为4.2m，试求出公路边缘距隧道顶端的高度． 18. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 19. 已知． （1）求f（x）的单调递减区间； （2）若，求的值； （3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上有唯一零点，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022级高三上学期第一次自我检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可求得结果. 【详解】. 故选：D. 2. 若角的终边经过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数定义可得. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以， 所以. 故选：A 3. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，根据正弦函数的性质即得. 【详解】∵函数， ∴函数为最小正周期为的奇函数. 故选：A. 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所求式子的分子、分母同时除以，转化成关于的齐次式，再将的值代入即可得到答案. 【详解】因为， 所以，解得：， 因为，所以， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查正切的倍角公式、同角三角函数基本关系，考查转化与化归思想和运算求解能力. 5. 若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将平移变换后函数图象求出来，再由奇函数列出等式求解即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位后得到， 因为平移后的函数是奇函数， 所以， 解得，因为， 所以当时，. 故选：D. 6. 筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，即，又，所以， 所以， 则当时， 即当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米. 故选：B 7. 函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性排除D；根据特殊区间上函数值的符号排除BC可得答案. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 又因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确； 当时，，则，故B不正确； 当时，，故，故C不正确. 故选：A 8. 关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到乙和丁的判断只有一个正确，分丁的判断正确和乙的判断正确，结合三角函数的符号和正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且， 若丁的判断正确，即，则， 此时丙的判断错误，不符合题意； 若乙的判断正确，即，此时满足，且， 此时甲、丙都正确，符合题意. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，结合分类讨论的正负即可求解. 【详解】当时，则得 所以； 当时，得 所以； 综上所述，， 故选：AB 10. 已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】由所在的象限求出的范围，再求出的范围，最后对分类讨论，即可判断； 【详解】解：因为角是第一象限角，所以，，所以，， 当，时，，，位于第一象限，当，时，，，位于第二象限，当，时，，，位于第三象限，综上可得位于第一、二、三象限； 故选：ABC 11. 以下函数在区间上为单调增函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 先利用辅助角、二倍角以及同角三角函数的商数关系化简各选项中的函数解析式，然后利用正弦函数和正切函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，由此可得出结论. 【详解】对于A选项，，当时，， 所以，函数区间上不单调； 对于B选项，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增； 对于C选项，，当时，， 所以，函数在区间上不单调； 对于D选项，当时，，所以，函数区间上单调递增. 故选：BD. 【点睛】本题考查三角函数单调性的判断，解题的关键就是将三角函数解析式化简，并利用正弦、余弦和正切函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个定义域为，周期为的偶函数________．（答案不唯一） 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的特征可得结论. 【详解】函数的定义域为，最小正周期为的偶函数，符合题意. 故答案为：. 13. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为， 则扇形的面积，解得：， 此扇形所含的弧长. 故答案为：. 14. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及余弦的两角差公式，即可求解． 【详解】由得，， 又，则 则，， 所以. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式化简即可； （2）由诱导公式得出，再由平方关系得出，进而得出. 【详解】（1） ； （2）是第三象限角，且 ， 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用诱导公式以及平方关系化简求值. 16. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围. 【详解】（Ⅰ）， 所以的最小正周期为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知. 因为，所以. 要使得在上的最大值为， 即在上的最大值为1. 所以，即. 所以的最小值为. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 17. 如图为一个公路隧道，隧道口截面为正弦曲线，已知隧道跨径为8.4m，最高点离地面4.5m． （1）若设正弦曲线的左端为原点，试求出该正弦曲线的函数解析式； （2）如果路面宽度为4.2m，试求出公路边缘距隧道顶端的高度． 【答案】（1） （2）m. 【解析】 【分析】（1）由题可设，结合条件即求； （2）将代入函数解析式即得. 【小问1详解】 根据题意，设该正弦曲线的解析式为， 则，，， ∴， 故该正弦曲线的解析式为. 【小问2详解】 根据题意，将代入函数解析式得： ， 即公路边缘距隧道顶端的高度为m. 18. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求； （2）先根据，，求出，再根据求解即可. 【详解】（1）∵且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ， 所以. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题. 19. 已知． （1）求f（x）单调递减区间； （2）若，求的值； （3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上有唯一零点，求实数k的取值范围． 【答案】（1）函数的单调递减区间为[]（k∈Z）;（2）;（3）或. 【解析】 【分析】(1)由正余弦二倍角公式和正弦两角和公式对原式进行化简;然后利用正弦型函数的单调性求解; (2)利用余弦二倍角公式化简,然后由诱导公式得,代入计算即可; (3)由图像平移得函数,然后结合数形结合的思想将所求问题转化成函数与图像有一个交点来求解参数的取值范围. 【详解】(1)由于， 令（k∈Z）,整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）． (2)由题意,则,即, 由,则 (3)由函数的图象向右平移个单位得到的图象, 由于,所以,则函数在上有唯一零点，即得函数与图像在上只有一个交点,所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点,则由或,解得或, 即当或时,函数在上有唯一零点. 【点睛】本题是一道综合性的试题,考查了正余弦二倍角公式的应用,考查了三角函数和差公式的应用,考查了图像平移以及利用图像解决函数零点的问题,属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$