精品解析：天津市河东区第七中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期九年级数学学科期中考试试卷 一、单选题（本大题共12小题，共36分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键． 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可． 【详解】解：∵点关于坐标原点的对称点是点， ∴点的坐标为， 故选A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 【详解】解：A、错误．弦不一定是直径． B、错误．弧是圆上两点间的部分． C、错误．优弧大于半圆． D、正确．直径是圆中最长的弦． 故选D． 【点睛】圆的认识． 4. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数是二次函数，故本选项符合题意； C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数． 5. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 6. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 7. 如图，是的直径，弦于点E，若，则弦的长是（　　） A. B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 8. 若函数的图象过点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求得抛物线的对称轴为，进而可得关于对称轴的对称点的坐标为：，再根据抛物线的开口向上，且，即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为：， 关于对称轴的对称点的坐标为：， 抛物线的开口向上，且， ， 故选A． 9. 如图，将绕点C按照顺时针方向旋转得到，交于点D．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点C按照顺时针方向旋转得到 ∴， ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键． 10. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃圆，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（　　） A. y=x（40﹣x） B. y=x（18﹣x） C. y=x（40﹣2x） D. y=2x（40﹣2x） 【答案】C 【解析】 【详解】垂直于墙的一边的长为x米，所以平行于墙的边的长度则为（40-2x）米， 由题意则有：y=x(40-2x)， 故选C. 11. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 12. 如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，抛物线过，，，再设二次函数的关系式为 ，进而建立方程组求出即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米），故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为米，故可判断①． 【详解】解：由题意，抛物线过，，， 设二次函数的关系式为 ， ． ． 函数的表达式为，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线， 铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为米，故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米），故①正确． 综上，正确的有①②共个． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 设是方程的两个根，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：、，是方程的两个根， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 14. 二次函数的对称轴为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式 ，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为： ， ∴二次函数的对称轴为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数 的对称轴公式是解题的关键． 15. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】根据题意得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 16. 、是直径为26的中的两条平行弦，且，，则这两条平行弦之间的距离为_________． 【答案】7或17##17或7 【解析】 【分析】当两条弦在圆心同侧时，根据垂径定理和勾股定理求出，，再根据得出答案；当两条弦在圆心异侧时，根据垂径定理和勾股定理求出，，再根据得出答案． 【详解】如图，过点O作，并延长交于点F，连接，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，． 在中，． 则， 所以这两条平行线之间的距离是7； 如图，过点O作，并反向延长交于点F，连接，． 由上述可知，，． 则， 所以这两条平行线之间的距离是17． 故答案为：7或17． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，注意：分情况讨论，不能丢解． 17. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，掌握垂径定理是解题的关键． 先求得，如图：过O作于F，连接，则、 ，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， 如图：过O作于F，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小； 【详解】解：如图,取AB的中点E,连接CE,PE． ∵∠ACB＝90°,∠A＝30°, ∴∠CBE＝60°, ∵BE＝AE, ∴CE＝BE＝AE, ∴△BCE是等边三角形, ∴BC＝BE, ∵∠PBQ＝∠CBE＝60°, ∴∠QBC＝∠PBE, ∵QB＝PB,CB＝EB, ∴△QBC≌△PBE（SAS）, ∴QC＝PE, ∴当EP⊥AC时,QC的值最小, 在Rt△AEP中,∵AE＝,∠A＝30°, ∴PE＝AE＝, ∴CQ的最小值为． 【点睛】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得，． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围． 【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围． 试题解析： （1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0， 解得m≤4； （2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1， 而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20， 解得m≥3， 而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4． 21. 已知：抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，求二次函数值的取值范围，正确把解析式化为顶点式是解题的关键． （1）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据题意可得当时，随的增大而减小，再求出当时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线解析式为， 该抛物线的顶点坐标是． 【小问2详解】 抛物线解析式为， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，的取值范围是． 22. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D． （1）求证AC＝BD； （2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是　 　． 【答案】 （1）证明：作CH⊥CD于H，如图，∵OH⊥CD，∴CH=DH，AH=BH，∴AH﹣CH=BH﹣DH，∴AC=BD； （2） 【解析】 【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH=DH，AH=BH，利用等量减等量差相等可得到结论； （2）连接OC，如图，设CH=x，利用勾股定理得到OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，则42﹣x2=62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长． 【详解】（1）略； （2）连接OC，如图，设CH=x．在Rt△OCH中，OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2．在Rt△OAH中，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，∴42﹣x2=62﹣（3+x）2，解得：x=，∴CD=2CH=． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 23. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可； （3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由题意得：， 整理得， 解得， 答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克； （3）设当天的销售利润为w元，则： ， ∵﹣2＜0， ∴当时，w最大值=800． 答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 24. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，可得，再由，得出，得出； （2）设，由，正方形的边长为3，得，，得到，利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点直线与拋物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求地物线的解析式； （2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）的面积的最大值为，． （3）的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．根据，所以的值最大值时，的面积最大，求出的最大值即可． （3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，作点关于的对称点，设交轴于点，则，分别求出直线，直线的解析式即可解决问题． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于、两点， 解得： 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 ∵点，在抛物线上， ∴ ∴， 直线经过、 设直线的解析式为， 则， 解得，， 直线的解析式为； 如图1中，过点作轴交于点．设，则． ， 的值最大值时，的面积最大， ， ， 时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，． 【小问3详解】 如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴，， ∴，，， ∴ ∴ 又∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 在与中， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴， 设交轴于点，则， ， 设直线的解析式为 ∴ 解得： 直线的解析式为，当时， ， 作点关于的对称点， 设直线的解析式为 ∴ 解得： 则直线的解析式为， 设交轴于点，则，当时， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九年级数学学科期中考试试卷 一、单选题（本大题共12小题，共36分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 4. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，弦于点E，若，则弦的长是（　　） A. B. C. 6 D. 8 8. 若函数的图象过点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点C按照顺时针方向旋转得到，交于点D．若，则（　　） A. B. C. D. 10. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃圆，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（　　） A. y=x（40﹣x） B. y=x（18﹣x） C. y=x（40﹣2x） D. y=2x（40﹣2x） 11. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 设是方程的两个根，则___________； 14. 二次函数的对称轴为____________． 15. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 16. 、是直径为26的中的两条平行弦，且，，则这两条平行弦之间的距离为_________． 17. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为____． 18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1） ； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围． 21. 已知：抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，求的取值范围． 22. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D． （1）求证AC＝BD； （2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是　 　． 23. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点直线与拋物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求地物线的解析式； （2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $