精品解析：上海市市西中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

市西中学2024学年第一学期期中考试 高三数学 2024.10 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分） 1. 集合且的真子集的个数是________． 2. 函数的定义域是___________． 3. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长______． 4. 记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为______. 5. 已知平面向量，满足，则_____． 6. 已知数列为等比数列，，，则__________. 7. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是____. 8. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了____%.（参考数值） 9. 函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是______. 10. 数列满足：为正整数，，若，则______. 11. 已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 12. 对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是_____. 二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共计18分） 13. a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ） A. ab＝0 B. ab>0 C. a2＋b2＝0 D. a2＋b2>0 14. 下列四个命题： ①若，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15. 已知函数，现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为； 乙：该函数图象可以由的图象向右平移个单位长度得到； 丙：该函数在区间上单调递增； 丁：该函数满足． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 三、解答题（共5题，共计78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. 18. 已知数列的前项和为，满足，. （1）证明：是等比数列； （2）若，求的最小值. 19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 20. 已知函数. （1）若，求的值； （2）设，求函数的极值； （3）若在区间上无零点，求的取值范围. 21. 的定义域为，若满足对任意，，当时，都有，则称是连续的. （1）请写出一个是连续的函数（不必说明理由）； （2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的； （3）当时，（，），且是连续的，求，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市西中学2024学年第一学期期中考试 高三数学 2024.10 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分） 1. 集合且的真子集的个数是________． 【答案】15 【解析】 【分析】由题意可得，即可求出真子集的个数. 【详解】由题意知，，集合A含有4个元素， 所以真子集的个数是. 故答案为：15. 2. 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】对数的真数大于零. 【详解】求函数的定义域满足 所以函数的定义域为 故答案为： 3. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长______． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的弧长公式即可求解. 【详解】 故答案为： 4. 记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，，则，得到， 又，所以，则复数的虚部为， 故答案为：. 5. 已知平面向量，满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】把两边平方可得，计算可求. 【详解】由，可得，所以， 所以，又，所以， 所以. 故答案为：. 6. 已知数列为等比数列，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由数列为等比数列，结合已知数据，可求得进而可得解. 【详解】已知数列为等比数列，，， 故 故答案为:． 7. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】需对和两种情况进行讨论在上的单调性，从而可确定的取值范围. 【详解】若，则，这是一个一次函数，斜率为， 在上不是单调递增的，故， 若，函数是一个二次函数，其对称轴为， 因为在上的单调递增，所以该函数开口向上，则， 同时必须在区间的左侧或者和重合， 所以，解之可得 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 8. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了____%.（参考数值） 【答案】10 【解析】 【分析】 将信噪比从1000提升至2000时，大约增加了，利用对数的运算法则计算得答案． 【详解】解：将信噪比从1000提升至2000时， 大约增加了 ， 大约增加了． 故答案为：10． 9. 函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在最小值， 所以，解得， 所以实数的最小值是. 故答案为：. 10. 数列满足：为正整数，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用递推关系式可推得数列是周期为的周期数列，从而利用数列的周期性即可得解. 【详解】因为，， 所以，，，， 以此类推，可知，即数列是周期为的周期数列， 所以 . 故答案为：. 11. 已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分，和进行讨论，去绝对值后采用参变分离求出的范围，再取交集即可. 【详解】解：当时，， 则不等式 所以在上恒成立 所以 当时，， 则不等式 所以在上恒成立 所以 当时，， 则不等式 所以在上恒成立 由双勾函数性质易知：函数在上单调递减，在上单调递增 所以 函数在单调递增，所以 所以 综上所述： 故答案为. 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，主要用到了分类讨论和参变分离法，综合性较强. 12. 对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定定义结合向量夹角的运算性质求解即可. 【详解】设向量与的夹角为，由题意可知则 因为 所以 因为所以 因为是整数，所以所以 而即所以 因为 所以即 故的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查向量新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后求出最后得到所要求的取值范围即可． 二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共计18分） 13. a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ） A. ab＝0 B. ab>0 C. a2＋b2＝0 D. a2＋b2>0 【答案】D 【解析】 【分析】，ab＝0是非充分非必要条件；是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件；，是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；,是a，b中至少有一个不为零的充要条件.即得解. 【详解】，ab＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件； ab>0是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件； ，a2＋b2＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件； ，a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.所以a2＋b2>0是a，b中至少有一个不为零的充要条件. 故选：D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 下列四个命题： ①若，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】结合不等式的性质，对四个命题逐个分析，可得出答案. 【详解】①，，故正确； ②，∴，∵，∴，则，不能比较之间的大小关系，即②不正确； ③取，，，，满足，，但是，故③不正确； ④，，，， ，，故正确. 综上可知：只有①④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理能力，属于基础题. 15. 已知函数，现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为； 乙：该函数图象可以由的图象向右平移个单位长度得到； 丙：该函数在区间上单调递增； 丁：该函数满足． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】分别分析化简四人的结论，假设乙是真命题，可得乙与丙矛盾，所以乙、丙中有一个假命题，分情况讨论，可得答案. 【详解】甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，即； 乙：将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象； 令,故. 丙：函数在区间上单调递增； 丁：函数满足，即函数图象关于点中心对称. 由于只有乙条件最具体，所以从乙入手， 若乙正确，此时函数的单调递增区间为，与丙的结论矛盾， 所以这个唯一的假命题只能是乙或丙， 若乙为真命题，则，令，，可得，，所以是该函数的对称中心，所以甲、丁为真命题，丙为假命题； 若丙为真命题，则甲、丙、丁三个命题为真，由函数图象关于点中心对称，且， 可知在点左侧且距离最近的图象的对称轴为， 又，所以函数在区间不单调，与丙为真命题矛盾，不成立， 综上所述，甲、乙、丁为真命题，丙为假命题， 故选：C. 16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知函数的图象关于点对称，从而判断A，再分析得的图象关于直线对称，从而举反例逐一分析判断BCD，由此得解. 【详解】对于A，因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称， 又的定义域为，所以，故A正确； 对于BCD：因为函数是偶函数，则， 可知的图象关于直线对称； 取，则，满足上述函数要求， 此时，故B错误； 不为奇函数，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 三、解答题（共5题，共计78分） 17. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，再由线面垂直的判断定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，求得，，再利用线线角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，， 得到，， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. 【点睛】 18. 已知数列的前项和为，满足，. （1）证明：是等比数列； （2）若，求的最小值. 【答案】 （1）因为，即，所以， 所以， 显然，即， 所以，而， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）5 【解析】 【分析】（1）依题意可得，进而得到，即可得证； （2）由（1）得，利用分组求和法求得，进而得到，即可得到的最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， ∴， 由，即， 因为，所以， 所以时，的最小值为. 19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】（1）3千米 （2）6千米． 【解析】 【分析】（1）在中，根据余弦定理解三角形即可； （2）设，由正弦定理得，，可得，根据可得其最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， ，得， 所以线段的长度为3千米． 【小问2详解】 设，因为， 所以，在中，由正弦定理得， ， 所以，， 因此 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值6． 所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． 20. 已知函数. （1）若，求的值； （2）设，求函数的极值； （3）若在区间上无零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）的极小值为，没有极大值 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求得的导数，再代入即可得解； （2）利用导数与函数极值的关系直接求解即可得解； （3）根据题意，将问题转化为在上无解，构造函数，利用导数分析得其图象，再数形结合即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，又， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以有极小值，为，没有极大值. 【小问3详解】 令，得， 因为在区间上无零点，所以在上无解， 令，则与的图象没有交点， 而，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又当时，，则恒成立， 所以，则在上的大致图象如下， 数形结合可得或， 所以或. 【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图象的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 21. 的定义域为，若满足对任意，，当时，都有，则称是连续的. （1）请写出一个是连续的函数（不必说明理由）； （2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的； （3）当时，（，），且是连续的，求，的值. 【答案】（1） （2）证明：因为是连续的，由定义可得对任意， 当时，有， 所以有 ， 且， 所以， 所以， 即是连续的， 可得， 两式相减可得， 即是连续的. （3）或或. 【解析】 【分析】（1）根据“{1}连续”的定义，只要写出一个满足条件的函数即可. （2）要证明是连续且是连续的，需要根据“连续”的定义，通过合理的变量代换和推导来证明. （3）根据前面的定义以及已知条件，结合函数表达式，通过分析取值范围来确定，的值. 【小问1详解】 可以取.因为对于任意，当，即时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知是连续的， 则由（2）可得是连续的， 进一步有，,是连续的. 由已知时，， 若时，， 则，不满足. 又对任意，当时，有， 因为是连续的，所以， 又，所以， 所以， 即对任意，当时，都有， 故是连续的． 由上述分析可得， 则当，，其中， 有， 所以恒成立． 设，对称轴为. 当时，，不等式恒成立，满足题意； 当时，由恒成立，， 则，即，则． 由，且，则或， 所以与时，都满足题意； 综上所述，或或. 【点睛】关键点点睛：新定义题型的关键在于理解定义，此题中对是连续的定义的理解关键在于三个方面：一是不等关系的应用，结合不等式同向可加性，如（2）问中从上、下界两角度构造不等式，从而得到等量关系；二是相等关系的应用，等式叠加又得等式，如第（3）问中的分析；三是数形结合思想的应用，对是连续的理解，从形入手考虑切线的斜率变化，研究函数单调性与导数也是很重要的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $