精品解析：山东省聊城颐中外国语学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年高二数学第一次教学质量检测 数学试卷 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B 2. 已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】 对于A：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于B：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于C：记,则. 因为，所以点在平面α上 对于D：记,则. 因为，所以点不在平面α上. 故选：D 3. 如图，在三棱锥中，设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解. 【详解】解：， ， ， ， 故选：A 4. 已知点，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据法向量的求法求得正确答案. 【详解】，设平面的法向量为， 则，则，只有A选项符合. 故选：A 5. 设，向量 且，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以， 又， 所以设，即， 所以， 故选：B. 6. 设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，所以或 【详解】，，， 则有， 又是直线l的方向向量，是平面α的法向量，所以或. 故选：B 7. 已知点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线距离的向量表示可直接求得答案. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以点C到直线AB的距离=， 故选：C． 8. 已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，此时异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，建立空间直角坐标系， 求出向量的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解. 【详解】记的 中点分别为，因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 二、多项选择题： 本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 给出下列命题，其中正确命题有（ ） A. 空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B. 已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底 C. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 D. 是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的概念，逐项分析即可. 【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确； 选项中，根据空间基底的概念，可得不正确； 选项中，因为所以与任何向量都共面，故不能构成一个空间基底，所以正确； 选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点，可得四点共面，所以正确. 故选：ACD. 10. 已知，，，则（ ） A B. C. 若向量，则 D. 若向量，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量加法和模长的坐标运算、向量共线与垂直的坐标表示依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正四棱柱中，为四边形对角线的交点，点在线段上运动（不含端点），下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 点到平面的距离为 C. 线段上存在点，使得平面 D. 正四棱柱外接球的表面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】构建空间直角坐标系，向量法求线线角、点面距离，判断线面位置关系，根据正四棱柱外接球半径是体对角线的一半，应用球体表面积公式求表面积. 【详解】构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，则， 所以直线与直线所成角的余弦值为，A对； 由，则，若是面一个法向量， 故，令，则，而， 所以点到平面的距离，B对； 由且，则，显然不可能与平行，C错； 由正四棱柱的外接球半径为体对角线的一半，即为，故外接球的表面积为，D错. 故选：AB 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知点，若点的坐标为，且点四点共面，则实数m的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间共面向量定理求解即可. 【详解】∵,, ∴,，， ∵四点共面，故根据空间向量基本定理 可知存在实数，使得， 则有 ，解得， 故答案为：. 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量定义结合空间向量的坐标运算公式计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 14. 已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出的坐标，根据空间点到平面的距离的向量求法，即可求得点到平面的距离. 【详解】由题意可得， 又是平面的法向量， 则点到平面的距离为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，，，设 （1）求和的夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 【答案】（1）． （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用计算即可； （2）利用求解即可． 【小问1详解】 由已知，， 所以， 【小问2详解】 因为，， 因为与垂直， 所以，即，解得或． 所以或． 16. 如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量关系即可证明. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则可得， ，， 平面，平面. 17. 如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，为的中点. 【解析】 【分析】根据题意，建立适当的空间直角坐标系，设点的坐标，结合面面平行的向量证明方法，即可求解. 【详解】当为的中点时，平面平面． 证明如下：设符合题意．连接，，． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴平面的一个法向量为． 若平面平面，则也是平面的一个法向量． ∵， ∴，∴， 又， ∴当为的中点时，平面平面． 18. 如图，在长方体中，，点是的中点． （1）求点到直线距离： （2）求证：平面平面． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图建系，求出相关点和向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式计算即得； （2）通过证明和，推出平面，利用面面垂直的判定方法即可证得. 【小问1详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则,于，,, 则与同方向单位向量为， 于是点到直线距离为； 【小问2详解】 在矩形中，因是的中点，， , 则由可得， 因平面，平面,故， 因,故得平面, 又平面,故平面平面. 19. 已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点． （1）求证：⊥平面； （2）已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三线合一得到线线垂直，进而由平面，得到，证明出线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，由点到平面距离公式得到方程，求出线段的长. 小问1详解】 因为是正三角形，为的中点， 所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以⊥平面； 【小问2详解】 连接，因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 因为底面是边长为4的正方形，则两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 则到平面的距离为， 解得，故，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学第一次教学质量检测 数学试卷 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱锥中，设，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 5. 设，向量 且，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 6. 设向量是直线l方向向量，是平面α的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 7. 已知点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，此时异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题： 本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 给出下列命题，其中正确命题有（ ） A. 空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B. 已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底 C. 已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 D. 是空间四点，若不能构成空间一个基底，则共面 10 已知，，，则（ ） A. B. C. 若向量，则 D. 若向量，则 11. 如图，在正四棱柱中，为四边形对角线的交点，点在线段上运动（不含端点），下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角余弦值为 B. 点到平面的距离为 C. 线段上存在点，使得平面 D. 正四棱柱外接球的表面积为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知点，若点的坐标为，且点四点共面，则实数m的值为________. 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 14. 已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知空间三点，，，设 （1）求和的夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 16. 如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面． 17. 如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在长方体中，，点是的中点． （1）求点到直线距离： （2）求证：平面平面． 19. 已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点． （1）求证：⊥平面； （2）已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$