精品解析：陕西省榆林市榆林市八校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024～2025学年第一学期高一年级八校期中联考试题 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第四章第1节． 一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再结合交集的定义求结论. 【详解】因为集合， 所以， 所以. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出使函数有意义 的自变量范围． 【详解】由，解得或． 用区间表示对应D选项. 故选：D． 3. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】． 故选：D 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】直接由函数的定义代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 5. 若，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特例法判断ABC，利用不等式性质判断D. 【详解】若，，则，A错误； 若，，，则，B错误； 取，，，，满足，，但，C错误； 若，则，所以，即，D正确. 故选：D. 6. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 7. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到，故或或，从而得到. 【详解】由，得，解得， 因此，或， 又因为表示不大于的最大整数，所以.只有选项B满足要求. 故选：B. 8. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，是奇函数，故A正确； 对于B，的定义域为，且，可得是奇函数，故B正确； 对于C，的定义域为，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，的定义域为，且，所以是偶函数，不是奇函数． 故选：AB． 10. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若是一次函数，且，则 C. 函数的图象与轴最多有一个交点 D. 函数在上是单调递减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D. 【详解】A：对于，有，解得， 则的定义域为， 对于，有，解得或， 则的定义域为， 即与的定义域不一致， 所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误； B：设，则， 又，所以，解得或， 所以或，故B错误； C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确； D：函数在上是单调递减函数，故D错误. 故选：ABD 11. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；应用基本不等式及指数幂的运算性质判断C、D. 【详解】A，因为，，当且仅当时等号成立， 所以，即，正确； B，，当且仅当时等号成立， 因为，，所以，正确； C，，当且仅当时等号成立， 所以，所以，错误； D，，当且仅当时等号成立， 所以，正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是______． 【答案】 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案. 【详解】命题“”的否定为“”． 故答案为：. 13. 已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质得到，再结合函数的奇偶性求出答案. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以， 当时，，定义域为，又， 故为奇函数，舍去； 当时，，定义域为，又， 故为奇函数，舍去； 当时，，定义域为，又， 故为偶函数，满足要求， 当时，，定义域为，故不为偶函数，舍去. 故答案为： 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数、一次函数、分段函数的单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】由二次函数、一次函数、分段函数的单调性可知，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2）. 【解析】 【分析】（1）代入集合A，由并集和补集的定义求； （2）由，分和两种类型，列不等式求实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，而， 所以，或. 【小问2详解】 因为， （i）当时，，解得，此时满足； （ii）当时，满足，即需满足或， 解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知二次函数． （1）当时，求y的最小值； （2）若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数性质求最小值； （2）问题化为，恒成立，结合二次函数性质列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 当时，函数， 当时y取到最小值，为． 【小问2详解】 由恒成立，即，恒成立， 当,不恒成立， 只需满足，即，解得， 所以实数a的取值范围为． 17. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过点： （1）求函数的解析式； （2）若函数在上的值域为，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，可设，代入的坐标，列出方程组，求得的值，即可得到函数的解析式； （2）由，得到，根据二次函数的性质可知，得到在上单调递增，结合题意，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：因为二次函数的图象关于直线对称，设， 把点代入可得，解得， 所以，即二次函数的解析式为. 【小问2详解】 解：因为，且在上的值域为， 所以，可得， 由二次函数的性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为在上的值域为，所以，即， 即是方程的两个根， 又因为，解得. 18. “三星堆”考古发掘出大量的古代象牙，博物馆需要设计一个透明且密封的长方体玻璃保护罩，并充入昂贵的保护液，保护出土的这些古代象牙，该博物馆需要支付的总费用由以下两部分构成：①保护液的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少，且每立方米的保护液费用为500元.②保险费，需支付的保险费为（元），保护罩的容积为，与成反比，当容积为时，支付的保险费为4000元. （1）求该博物馆支付的总费用（元）与保护罩容积之间的函数关系式； （2）如何设计保护罩的容积，使博物馆支付的总费用最小? 【答案】（1）； （2）当保护罩的容积为时，博物馆支付的总费用最小. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出反比例系数，再列出函数关系式即得. （2）由（1）的关系式，利用基本不等式求出最小值即得. 【小问1详解】 设需要支付的保险费为，当时，，解得， 所以总费用. 【小问2详解】 由（1）知 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当保护罩的容积为时，博物馆支付的总费用最小. 19. 已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：. 【答案】（1）函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得， 令，则，令，则. 为定义在上的奇函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则， ， . 又， ， 又当时，， ，即，即， 在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函数的奇偶性和单调性，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， 的定义域为且在上是单调递减的， ，解得， 不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期高一年级八校期中联考试题 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第四章第1节． 一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 5. 若，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 6. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若是一次函数，且，则 C. 函数的图象与轴最多有一个交点 D. 函数在上是单调递减函数 11. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是______． 13. 已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是__________. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数． （1）当时，求y的最小值； （2）若，恒成立，求实数a的取值范围． 17. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过点： （1）求函数的解析式； （2）若函数在上的值域为，求的值. 18. “三星堆”考古发掘出大量的古代象牙，博物馆需要设计一个透明且密封的长方体玻璃保护罩，并充入昂贵的保护液，保护出土的这些古代象牙，该博物馆需要支付的总费用由以下两部分构成：①保护液的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少，且每立方米的保护液费用为500元.②保险费，需支付的保险费为（元），保护罩的容积为，与成反比，当容积为时，支付的保险费为4000元. （1）求该博物馆支付的总费用（元）与保护罩容积之间的函数关系式； （2）如何设计保护罩的容积，使博物馆支付的总费用最小? 19. 已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $