精品解析：广西北海市合浦县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 4. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，3 C. 1，2， D. 1，， 6. 下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点P是线段的黄金分割点，，那么为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 10. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个圆 C. 两个菱形 D. 两个等腰三角形 11. 在反比例函数图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 20米 二、填空题（每小题2分，共12分） 13. 若反比例函数 的图象经过点，则k的值是_______________． 14. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为________． 15. 如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则____． 16. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 17. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________． 18. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 三、解答题（第19、20题每题6分，第21-26题每题10分，共72分） 19. 用适当的方法解方程： 20. 已知点，，都在反比例函数的图象上，试比较a，b，c的大小． 21. 某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： （1）请写出这一反比例函数的解析式； （2）当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 22. 水果店小华以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出100斤，为保证每天至少售出260斤，小华决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤？（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，小华需将每斤的售价降低多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； （3）求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 24. 为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度． 25. 如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）求证：． 26. 在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）分别用含t的代数式表示与； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出． 由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， A、； B、； C、； D、， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式．根据一元二次方程的一般形式，进行化简即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 方程无实数根． 故选C． 4. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方即可． 【详解】解： ∴； 故选A． 5. 用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，3 C. 1，2， D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查公式法，先将原方程变形为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的公式法即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C 6. 下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 7. 已知点P是线段的黄金分割点，，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例为是解题的关键． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且 ∵， 故选：B． 8. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解决问题的关键．根据两内项之积等于两外项之积，逐一验证各选项是否与原等式一致即可． 【详解】A、 由得，即，与原式不符，错误； B、 由得，即，与原式完全一致，正确； C、 由得，与原式矛盾，错误； D、 由得，即，同样与原式不符，错误． 故选：B． 9. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 10. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个圆 C. 两个菱形 D. 两个等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的识别，对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和矩形不相似，不符合题意； B、两个圆一定相似，符合题意； C、两个菱形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和正方形不相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，例如等腰直角三角形和等边三角形不相似，不符合题意； 故选B． 11. 在反比例函数图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限都随的增大而减小；当时，图象在二、四象限都随的增大而增大；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故选：C 12. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 20米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可． 【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例， ∴，即：， 解得：； 故选B． 二、填空题（每小题2分，共12分） 13. 若反比例函数 的图象经过点，则k的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，将点的坐标代入反比例函数解析式即可确定的值． 【详解】解：把已知点，代入 可得，， ∴． 故答案为：． 14. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程的一个根得到的值，进而解答即可．本题考查了一元二次方程的根，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程的根的概念是解题的关键 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴解得：， ∴一元二次方程的一般式为， ∴解得，， ∴这个方程的另一个根为， 故答案为． 15. 如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．因为，所以，由，得到，利用相似三角形的性质，即得答案． 【详解】， ， ， ， ． 16. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 17. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，再利用相似即可求解. 【详解】∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠C=30°， 又∵AD⊥AC，AD=3 ∴∠DAC=90°，CD=6 勾股定理得AC=AB=3， 由图可知△ABD∽△BCA， ∴BC=9 【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形，属于简单题．证明相似是解题关键. 18. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 三、解答题（第19、20题每题6分，第21-26题每题10分，共72分） 19. 用适当的方法解方程： 【答案】，. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 20. 已知点，，都在反比例函数的图象上，试比较a，b，c的大小． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】因为，所以反比例函数的图象位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 因为点，在第三象限，且， 所以， 因为点在第一象限，所以，所以． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 21. 某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： （1）请写出这一反比例函数的解析式； （2）当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 【答案】（1） （2）米/秒 【解析】 【分析】（1）根据图形，设与之间的函数关系式为，从图形中取一组数据代入计算即可求解； （2）将牛代入反比例函数表达式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：把牛，代入（米/秒）， ∴汽车的速度为米/秒． 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握反比例函数表达式的意义及计算方法是解题的关键． 22. 水果店小华以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出100斤，为保证每天至少售出260斤，小华决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤？（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，小华需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】（1）； （2）小华需将每斤的售价降低元或元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“售价每降低元，每天可多售出斤”结合售价为4元时每天销售100斤，即可得出售价降低元时的每天销售量； （2）根据“盈利总金额每斤利润每天销量”结合（1）的结论，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，售价每降低元，每天可多售出斤，即售价每降低元，每天可多售出斤， ∴售价降低元时，每天销售量为：； 【小问2详解】 解：由题意得： 整理得：， 解得：，， 答：销售这种水果要想每天盈利元，小华需将每斤的售价降低元或元． 23. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； （3）求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）9 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 24. 为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2米，观察者目高CD＝1.5米，则树AB的高度． 【答案】AB＝6米． 【解析】 【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答． 【详解】解：根据题意，得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB， 则△ABE∽△CDE， 则，即， 解得：AB＝6米． 答：树AB的高度为6米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答． 25. 如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：，点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解； （2）由（1）可求出，代入设直线的解析式为，即可求解； （3）根据，点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证． 【小问1详解】 解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． 【小问2详解】 解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为； 【小问3详解】 略 26. 在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）分别用含t的代数式表示与； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用．关键是熟练掌握线段长的表达式，矩形面积公式，三角形面积公式． （1）依据点P和点Q运动的速度和时间可求得的长，然后依据可求得的长； （2）中，依据勾股定理可得到关于t的方程，从而可求得t的值； （3）先求得矩形的面积，然后由五边形的面积可求得，然后依据列出关于t的方程，从而可求得t的值． 【小问1详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动， ∴． ∵， ∴． ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动， ∴． 【小问2详解】 在中，依据勾股定理得：． 即． 解得： （不合题意舍去），． 故当秒时，的长度等于． 【小问3详解】 存在秒，使得五边形的面积等于．理由如下： ∵长方形的面积是：，五边形的面积等于， ∴的面积为：． ∴． 解得：（不合题意舍去），． 故当秒时，使得五边形的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $