精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县第六中学2024-2025学年九年级（五四制）上学期第二次测试数学试卷

初四学年数学试题 2024—2025学年度第一学期第二次测试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列图形中只有两条对称轴的是（ ） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 等边三角形 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A. 1 B. C. D. 或 4. 已知抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（ ） A. B. 3或 C. 3 D. 或1 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 某件羽绒服原价360元，店长需要清空库存，对该件羽绒服进行了连续两次降价，现在售价为200元．设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形，分别取和边的中点，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间．则下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 某细菌的直径0.00000054米，用科学记数法表示为______米． 14. 在实数范围内分解因式：________． 15. 将二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为______； 16. 抛物线与坐标轴交点个数为_____个． 17. 一组2，，y，14中，平均数是12，唯一的众数是14，则数据的中位数是 _______． 18. 方程的根是______． 19. 如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是________． 20. 已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是________． 21. 五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发_____分钟到达澳门口岸． 22. 如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（n为正整数），若M点的坐标是，的坐标是，则的坐标为_____． 三、解答题（共54分） 23. 如图，为的边上的中线，过点作的垂线，垂足为点． （1）仅用圆规在线段上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若的面积为的面积为20，求的面积． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有实数根． （2）若是原方程的两根，且，求的值． 25. 如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形． （2）求的值． 26. 定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． （1）写出一元二次方程的“友好方程 ” ； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； （3）已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 27. 红布李（李子的一种）含有丰富的营养成分，并且具有养生和美颜的功效，所以自古就被冠以“五果之首”，深受人们的喜爱，光明村种植有大片的红布李，某“乡村振兴”电商平台为光明村农户销售红布李，运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克.市场调查发现，每周的红布李销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系如图所示. （1）请直接写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）求当红布李的售价为多少元时，光明村农户一周的收入最大?最大收入是多少元? （3）今年七月下旬天晴少雨，气温持续在上下，红布李成熟非常快，根据光明村这一时期红布李的产量，一周的销售量不少于6000千克，求本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为多少元? 28. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四学年数学试题 2024—2025学年度第一学期第二次测试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列图形中只有两条对称轴的是（ ） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查对称轴，根据对称性及图形的特点确定对称轴条数，即可得到答案． 【详解】解：A.矩形只有两条对称轴，符合题意； B.平行四边形没有对称轴，不符合题意； C.正方形有四条对称轴，不符合题意； D.等边三角形有三条对称轴，不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和合并同类项等计算，根据相关计算法则求解并判断，即可解题． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A. 1 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 4. 已知抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以得到该函数的对称轴和与x轴的一个交点，从而可以得到另一个交点坐标，然后再根据函数图象即可得到当时，x的取值范围． 【详解】解：由函数图象可知， 该函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为． 则该函数与x轴的另一个交点为， 故当时，x的取值范围是或 ， 故选：D． 5. 已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（ ） A. B. 3或 C. 3 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值．本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， ， 解得：，， ， ， ， ， 故选：C． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 7. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 9. 某件羽绒服原价360元，店长需要清空库存，对该件羽绒服进行了连续两次降价，现在售价为200元．设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为200元”可得答案． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 10. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．利用二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】解；由题知：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线距离由远及近为， 故选：B． 11. 如图，正方形，分别取和边的中点，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，先证和全等，得，进而可证，设，则，由勾股定理得，由三角形的面积公式可得，进而可求出，然后证和全等，得，进而得，由此得，据此可得，即可得出答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 四边形为正方形， ，， 点，为，的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积进行计算是解决问题的关键． 12. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间．则下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由时及抛物线的对称轴可判断②，由抛物线对称轴为直线可判断③，由抛物线顶点坐标及顶点坐标公式可判断④，根据抛物线与直线的交点个数判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ， ∵抛物线对称轴为直线， ， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ， ∴，①正确． 由图象可得时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，，②正确． ∵， ∴， ∴，③不正确． 由函数最大值为可得， ∴，④正确． 由图象可得抛物线与直线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，⑤正确． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 某细菌的直径0.00000054米，用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故答案为 14. 在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 15. 将二次函数的图像向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为______； 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即可得出平移后的二次函数的解析式． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 16. 抛物线与坐标轴交点个数为_____个． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点，分别令，即可求得抛物线与y轴，x轴的交点，进而即可解答． 【详解】解：对于抛物线， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点为； 令，则， 即， ∴该方程没有实数解， ∴抛物线与x轴没有交点． 综上所述，在抛物线与坐标轴交点个数为1． 故答案为：1 17. 一组2，，y，14中，平均数是12，唯一的众数是14，则数据的中位数是 _______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数及众数的意义，解题的关键是熟练掌握相关概念并应用求解．先根据数据的平均数为12，得出，再根据唯一众数为14，得出或，然后按照从小到大排列即可得出答案． 【详解】解：数据，，，的平均数是， ，即， 数据，，，唯一的众数是14， 或， 当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：； 当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：； 故答案为：． 18. 方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴，； 故答案为：，； 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题． 19. 如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于、两点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是， 故答案为：． 20. 已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是________． 【答案】24或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理及其逆定理，解题的关键是分类讨论思想的运用．先解出一元二次方程的两个根，然后分两种情况求出三角形的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ①当三角形的三条边长分别为时，， 根据勾股定理的逆定理可知，此时三角形是直角三角形，两条直角的边长为6与8， 因此三角形的面积为：； ②当三角形的三条边长分别为时，此时三角形为等腰三角形（如图） 利用勾股定理可求得等腰三角形底边上的高： 因此，三角形的面积为： ∴三角形的面积为24或． 21. 五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发_____分钟到达澳门口岸． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解分式方程，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 先根据已知图中路程千米可知：两家没出发时，距西人工岛的路程之和为千米，即香港口岸距西人工岛的路程千米，千米，设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分，千米，分别根据时间相等列方程可解决问题． 【详解】如图1， 由题意得：， ， 设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分， 当时，两家同时到达西人工岛，则， 解得：， 设千米，则， ， ∴， 即， 解得：， ∴， ， ， ，， 检验：当时，无意义，故舍去；当时，左边，右边，左边右边， 故原方程的解是． ∴， ∴穿梭巴士的时间， 答：穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸． 故答案为：． 22. 如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（n为正整数），若M点的坐标是，的坐标是，则的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：观察图象可知，点的位置是8个点一个循环， 与的位置都在第三象限，且在直线上， 第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为，…，第n个等腰直角三角形的边长为， 第2023个等腰直角三角形的边长为，可得， ， 故答案为：． 三、解答题（共54分） 23. 如图，为的边上的中线，过点作的垂线，垂足为点． （1）仅用圆规在线段上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若的面积为的面积为20，求的面积． 【答案】（1） 如图，点F即为所求， （2）6 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，平行线的判定，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）过C作的垂线即可； （2）证明，，，进而得出，利用三角形中线的性质可得出，即可求解． 【小问1详解】 解：由作图可知：， 又， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵为的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为的面积为20， ∴， ∴． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有实数根． （2）若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∵无论取何值，， ∴无论取何值，原方程总有实数根； （2）求的值为． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系式，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据方程的系数与根的判别式得到，即可求证； （2）根据根与系数的关系可得到，，结合，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是原方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴求的值为． 25. 如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形． （2）求的值． 【答案】（1） 证明：如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）6． 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 26. 定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． （1）写出一元二次方程的“友好方程 ” ； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； （3）已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 【答案】（1） （2）；；互为倒数 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证，； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程 ” 的两根为，，因此方程的两根，，即，，整理方程得，即得答案． 【小问1详解】 解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于方程， ， 解得，， 根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数；证明如下： 一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根，， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；；互为倒数； 【小问3详解】 解：方程的两根是，， 该方程的“友好方程”的两根为，， 则方程的两根，， 即，， 整理方程得， 关于x 的方程的两根为，． 27. 红布李（李子的一种）含有丰富的营养成分，并且具有养生和美颜的功效，所以自古就被冠以“五果之首”，深受人们的喜爱，光明村种植有大片的红布李，某“乡村振兴”电商平台为光明村农户销售红布李，运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克.市场调查发现，每周的红布李销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系如图所示. （1）请直接写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）求当红布李的售价为多少元时，光明村农户一周的收入最大?最大收入是多少元? （3）今年七月下旬天晴少雨，气温持续在上下，红布李成熟非常快，根据光明村这一时期红布李的产量，一周的销售量不少于6000千克，求本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为多少元? 【答案】（1）， （2）当红布李的售价为元时，光明村农户一周的收入最大，最大收入是55125元 （3）本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为54000元和12元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握待定系数法以及二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）设本周光明村农户一周获得的收入为w元，根据题意列出w关于x的二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解答； （3）设本周光明村农户获得的收入为w元，根据题意列出w关于x的二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：设， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵平台的运营成本为每千克3元，农户的保底收入为每千克3元，且售价不超过15元/千克， ∴； 【小问2详解】 解：设光明村农户一周获得的收入为w元， 由题意得：， ∴当时，w有最大值，最大值为元， ∴当红布李的售价为元时，光明村农户一周的收入最大，最大收入是55125元； 【小问3详解】 设本周光明村农户获得的收入为w元， 由题意得：， ，即， ， ， ，对称轴为直线， ∴当时，w有最大值，最大值为元， ∴本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为54000元和12元． 28. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图1， 作于F，交于E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：设，的中点坐标为 ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设，则： ，， 解得：，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $