精品解析：安徽省芜湖市无为市安徽省无为第三中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年第一学期九年级教学评价（一） 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合要求的． 1. 若是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 4. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 函数的图像开口向上 B. 该函数有最大值，最大值是 C. 函数图像的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而增大 6. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若方程有解，那么的取值范围是_____． 12. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为________ m ． 13. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的顶点坐标为_______． 14. 平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 已知关于x的方程有实数根， （1）求k的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． （1）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； （2）如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 18. 如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 20. 某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地、其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成．2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元，求该科技园总收入的月平均增长率． 六、（本大题满分12分） 21. 已知二次函数，若该函数图象的顶点坐标为． （1）求b，c的值． （2）当时，求的取值范围． 七、（本大题满分12分） 22. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （2）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 八、（本大题满分14分） 23. 已知抛物线经过，，三点，与y轴交于点E （1）求这个抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在点P使的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点Q在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级教学评价（一） 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合要求的． 1. 若是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：． 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解： 故选A． 3. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 【答案】A 【解析】 【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得， ∴二次函数解析式为． ∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A． 4. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：当时，方程化为，解得； 当时，则，解得且， 综上所述，的取值范围为． 故选：C． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 函数的图像开口向上 B. 该函数有最大值，最大值是 C. 函数图像的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图像开口方向、顶点坐标以及增减性即可求解． 【详解】解：中， ，函数图像开口向下，A错误； 函数图像的顶点坐标是，当时，函数有最大值，最大值是，B正确，C错误； 函数图像的对称轴为，时随的增大而增大；时，随的增大而减小，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 7. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的性质，由题意可得抛物线的对称轴为直线，根据对称性可知与时的函数值相同，利用抛物线当时，y随x的增大而减小即可判定，的大小，由于当时，函数由最小值可得最小，由此可得结论． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为，当时，函数有最小值， ， 最小， 抛物线是轴对称图形，对称轴为直线， 与时的函数值相同， 抛物线当时，y随x的增大而减小，， ， ， 故选：B． 8. 已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，即可判断A；根据根与系数的关系可得出，结合的值不确定，即可判断B；根据根与系数的关系可得出，即可判断C；由，可得出、异号，即可判断D． 【详解】解：A．， ∴，结论A正确，符合题意； B、∵、是关于的方程的两根， ∴， ∵的值不确定， ∴B结论不一定正确，不符合题意； C、∵、是关于的方程的两根， ∴，结论C错误，不符合题意； D、∵， ∴、异号，结论D错误，不符合题意． 故选：A． 9. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中二次函数的图像及可判断a、b、c的符号，进而可判读①；由二次函数的图象与x轴交于及顶点可得二次函数的图象与x轴另一个交点为当时，，即可判断②；由图象即可判断当时， x的取值范围为，即可判断③；当时，，当时，， ，即可判断④； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为，即． ∴当时，，故②正确； 当时，由图可知，x的取值范围为，故③正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若方程有解，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一个数的平方是非负数，熟练掌握该特征是解题的关键；本题考查因为方程为形式，左边是一个完全平方式，总是大于等于，所以在有解的情况下要求． 【详解】解：依题意，在方程中，， 故． 故答案为： 12. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为________ m ． 【答案】1 【解析】 【分析】设道路的宽度为，根据草坪的面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设道路的宽度为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， ∴道路的宽为， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形中草地面积，列出方程． 13. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】抛物线， 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线． 此时抛物线顶点坐标是． 故答案为：． 14. 平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c， ∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3）， ∴，解得， ∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3， 设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3）， ∵点P是抛物线C上第一象限内一动点， ∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3） =-x2+3x+3 ∴OQ+PQ的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用解法是解决问题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用十字相乘分解因式法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ，即， ， ． 16. 已知关于x的方程有实数根， （1）求k的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）根据所给方程有实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【小问1详解】 解：因为关于x的方程有实数根， 当时，方程为， 此时方程有实数根， 故符合题意． 当时， 此方程为一元二次方程， 则， 解得， 综上所述，k的取值范围是：； 【小问2详解】 因为该方程有两个实数根， 所以此方程为一元二次方程， 则且， 因为该方程的两根为和， 所以，， 因为， 所以， 则， 解得， 经检验，符合题意， 所以k的值为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． （1）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； （2）如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：原方程有两个不相等的实数解 理由：∵是以为斜边的直角三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数解 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理； （1）根据是等边三角形，得出，进而解一元二次方程，即可求解； （2）根据勾股定理得出，进而计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 即， 解得：； 【小问2详解】 略 18. 如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】设，则原方程可变形为，求出a的值，再将还原，求出x的值即可． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得． 经检验，是分式方程的解； 当时，，解得． 经检验，是分式方程的解． 所以原方程的解是． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤，以及解分式方程的方法和步骤． 20. 某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地、其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成．2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元，求该科技园总收入的月平均增长率． 【答案】该科技园总收入的月平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该科技园总收入的月平均增长率为，根据“2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设该科技园总收入的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该科技园总收入的月平均增长率为． 六、（本大题满分12分） 21. 已知二次函数，若该函数图象的顶点坐标为． （1）求b，c的值． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由题意可设二次函数式为，化简即可得出答案； （2）根据二次函数的性质计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵函数图象的顶点坐标为， ∴设该二次函数式为，化简得， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意得，对称轴， ∵， ∴当时，，；，， 即当时，． 七、（本大题满分12分） 22. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （2）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件商品的销售价应定为30元； （2）售价定38元/件时，每天最大利润为768元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式． （1）利用待定系数法可求是y与x之间的函数关系式；再根据等量关系得，解方程即可求解； （2）根据题意得，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 根据题意得：， 整理，得：， 解得：或（舍去）， 答：每件商品的销售价应定为30元； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴售价定38元/件时，每天最大利润为768元． 八、（本大题满分14分） 23. 已知抛物线经过，，三点，与y轴交于点E （1）求这个抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在点P使的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）设点Q在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当三点共线时，的值最小，此时得的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点； （3）设，而， 可得，再由直角三角形的边的关系分类讨论即可． 【小问1详解】 解：将，，代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：存在点P，使得的周长最小， 理由如下：如图，连接，交对称轴于， 令，则， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ， ∴当三点共线时，的值最小，长度固定不变，此时得的周长最小， 设直线的解析式为， 则，解得， ， ∴当时，， ． 【小问3详解】 解：存在点，使得为直角三角形， 理由如下：设，而， ， 当时，，解得， 或； 当时，，解得， ； 当时，，解得， ； 综上所述：点坐标为，，，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $