精品解析：吉林省长春市朝阳区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024—2025学年度（上学期）期中质量监测・九年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】、是一元一次方程，原选项不符合题意； 、是二元二次方程，原选项不符合题意； 、是分式方程，原选项不符合题意； 、是一元二次方程，原选项符合题意； 故选：． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的加法乘除运算，根据二次根式的性质，二次根式的加法乘除运算法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 5. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 6. 如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：在中， ∵， ∴米， 故选：D． 7. 如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（   ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了位似图形性质，相似三角形的判定和性质．根据位似图形性质，相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的性质求解，即可解题． 【详解】解： 与位似，点为位似中心， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 【详解】解：如图，，， ∴，故A选项不符合题意； 如图，∵，， ∴，故B选项不符合题意； 如图，，，但不是的邻边成比例，不能得到三角形相似，故C选项符合题意； 如图，，， ∴，故D选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 11. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．一种四四拍的五线谱如图所示，直线与五线谱的横线的交点分别为点、、，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点A，B作，垂足分别为点C，E，则，，可得，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A，B作，垂足分别为点C，E，则，， ∴， ∴． 故答案为： 12. 如图，的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．点、、均在格点上，连结．则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，取格点D，连接，在中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】解：取格点D，连接， 在中，， 故答案为：． 13. 《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为______． 【答案】300步 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正方形性质，相似三角形的性质和判定，设正方形城池的边长为步，利用正方形性质证明，利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设正方形城池的边长为步， 由题知，步，步， 步，， ， 由正方形性质可知，， ， ， ， 即，解得， 经检验是方程的解， 故答案为：步． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，连接，过点作于点，交边于点，连接．给出下面四个结论： ①． ②在不添加辅助线和其它字母的前提下，图中相似三角形只有6对． ③若，，则． ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质利用两角对应相等的两个三角形全等判断①；然后得到，即可得到，判断②；然后根据勾股定理计算长，然后根据，判断③；设，则，，计算长，然后过点D作于点M，得到，即可得到和长，即可求出判断④． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， 即图中相似三角形只有6对，故②正确； ∵，， ∴， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 即，故③错误； 设，则，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 过点D作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的为：①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先根据二次根式性质化简，然后合并同类二次根式即可； （）将特殊角的三角函数值代入求解即可； 本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则和几个特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）当该方程有两个相等实数根时，直接写出该方程的根． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）求出的值，进而根据的值即可求证； （）根据求得的值，进而得到方程，再根据方程即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：当方程有两个相等实数根时，， ∴， ∴一元二次方程为， 即， ∴． 18. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．若每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率． 【答案】前三季度生产量的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据平均增长率问题列方程求解即可． 【详解】解：设前三季度生产量的平均增长率为， ， 解得：，（舍去）， 答：前三季度生产量的平均增长率为． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画一个格点，并作直线． （2）在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． （3）在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）如图所示，取格点D，作直线，则直线和点即为所求； （2）如图所示，格点E即为所求； （3）如图所示，格点F即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，直线和点即为所求； 可证明，则， 可证明，则可证明； 【小问2详解】 解：如图所示，格点E即为所求； 可证明，再由即可证明； 【小问3详解】 解：如图所示，格点F即为所求； 可证明， 由勾股定理的逆定理可证明，则可证明． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 20. 如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先根据等边对等角得到，再利用三角形外角的性质和已知条件证明，由此即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到 ，据此代值计算即可． 【小问1详解】 证明： ∵, ∴, ∵, ∴, ∴； 【小问2详解】 ∵， ， ∵, , , ， ∴． 21. 如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测量黄龙塔的高度的过程中，绘制了如图②的示意图．在处用高为的测角仪测得塔顶端的仰角为，再向黄龙塔方向前进到达距处的处，又测得塔顶端的仰角为．求黄龙塔的高度（结果精确到）．【参考数据：，，】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了解直角三角形．延长交于点F，根据题意得：，，，在中，可设，则，然后在中，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F， 根据题意得：，，， 在中，， ∴可设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴． 即黄龙塔的高度为． 22. 【教材原题】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、，其他条件不变． （1）若，则四边形的周长为________． （2）若，且，则四边形的面积为________． 【答案】 教材原题：证明：如图① ， ∵分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴； 应用：（）；（） 【解析】 【分析】教材原题：运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； 应用：（）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案； （）同理（）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，进而即可求解． 【详解】解：教材原题：略 应用：（）如图②， ∵分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形PMQN的周长为， 故答案为：； （）如图③ ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形判定，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 23. 解决问题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准备素材 小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示． 设计方案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒． 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标达成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究． 初步应用 小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是，求这个储物盒的容积． 储物收纳 小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒． 【答案】初步应用：储物盒的容积为 储物收纳：这个玩具不能完全放入该储物盒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程． 初步应用：设裁去小正方形边长为，根据底面积，列出方程求解即可； 储物收纳：设裁去小长方形长为，宽为，推出，根据底面积得出，将n的代数式代入，求出m的值，再得出制作储物盒长为cm，高为，宽为，即可解答． 【详解】初步应用： 解：设裁去的正方形的边长为， ， 解得：（舍去），， ∴这个储物盒的容积为． 储物收纳： 解：设减去的长方形的长为，宽为， 则， 解得， ∵， ∴， 解得：（舍去），， 即高为， ∴储物盒的底面的两边长为cm，， ∵，，， ∴这个玩具不能完全放入该储物盒． 24. 如图，在中，，，．动点在折线上运动．当点不与点重合时，以为腰作等腰三角形，使，且底边在的内部． （1）的长为________． （2）当点在边上时，求的长． （3）连结，当直线将分成面积相等的两部分时，求的长． （4）设边与边的交点为点，当点将边分成两部分时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）或5 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）当点在边上时，角度推导可得；当点在边上，可证明 ，则，即可求解； （3）可知点D在的中线上，则，当点P在边上，过点D作于点M，由得，设，由，得到，求解即可；当点在上时，过点作于点，同上可求解； （4）当点在边上时，，过点作交于点，过点作于点，连接，则，同（2）可得，则，由，得，求得，显然，则，由，得，设，则由，得：，解得：，由即可求解；当点在边上时，，则，过点作于点，角度推导得到，由，可求，那么． 【小问1详解】 解：中，，，， ∴， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：当点在边上时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在边上，如图： 由，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或； 【小问3详解】 解：∵直线将分成面积相等的两部分 ∴点D在的中线上， ∴， 如图：当点P在边上，过点D作于点M， 则， 由得， ∴设， 则由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：， ∴， 当点在上时，过点作于点， 则， 由得 ∴设，则由勾股定理得， 同理可证明：， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：或； 【小问4详解】 解：当点在边上时，， 过点作交于点，过点作于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同（2）可得， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设， 则由，得：， 解得：， ∴； 当点在边上时，，则，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，注意分类讨论的思想在本题的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（上学期）期中质量监测・九年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 6. 如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（   ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算的结果是________． 10. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 11. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．一种四四拍的五线谱如图所示，直线与五线谱的横线的交点分别为点、、，则的值是________． 12. 如图，的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．点、、均在格点上，连结．则的值为________． 13. 《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为______． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，连接，过点作于点，交边于点，连接．给出下面四个结论： ①． ②在不添加辅助线和其它字母的前提下，图中相似三角形只有6对． ③若，，则． ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程：． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）当该方程有两个相等实数根时，直接写出该方程的根． 18. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．若每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画一个格点，并作直线． （2）在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． （3）在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 20. 如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 21. 如图①，位于农安镇城西门的黄龙塔至今已有千年历史，亦称辽塔．某校数学兴趣小组在测量黄龙塔的高度的过程中，绘制了如图②的示意图．在处用高为的测角仪测得塔顶端的仰角为，再向黄龙塔方向前进到达距处的处，又测得塔顶端的仰角为．求黄龙塔的高度（结果精确到）．【参考数据：，，】 22. 【教材原题】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、，其他条件不变． （1）若，则四边形的周长为________． （2）若，且，则四边形的面积为________． 23. 解决问题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准备素材 小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示． 设计方案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒． 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标达成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究． 初步应用 小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是，求这个储物盒的容积． 储物收纳 小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒． 24. 如图，在中，，，．动点在折线上运动．当点不与点重合时，以为腰作等腰三角形，使，且底边在的内部． （1）的长为________． （2）当点在边上时，求的长． （3）连结，当直线将分成面积相等的两部分时，求的长． （4）设边与边的交点为点，当点将边分成两部分时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $