第2学期期中综合质量检测卷-【锦上添花】2024-2025学年九年级数学全一册直击考点与单元双测（人教版2012 河南专版）

23　 　 　 　 第二学期期中综合质量检测卷 题　 号 一 二 三 总　 分 得　 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分. 下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1. 反比例函数 y= - 2 x 的图象位于 (　 　 ) A. 第一、二象限　 　 　 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限　 　 D. 第二、四象限 2. 若△ABC∽△A′B′C′,∠A= 30°,∠B= 70°,则∠C′= (　 　 ) A. 30°　 　 B. 70°　 C. 100°　 D. 80° 3. 五线谱是一种记谱法,通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音 乐,如图,一条直线上的三个点 A、B、C 都在五线谱的线上,若 AB 的长为 3,则 AC 的长为 (　 　 ) A. 3　 　 B. 6　 　 C. 9　 　 D. 12 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 4. 如图,△ABC 与△DEF 关于点 O 位似,位似比为 3􀏑4,已知 AC= 3,则 DF 的长等于 (　 　 ) A. 4　 B. 16 3 　 　 C. 28 3 　 D. 3 5. 糖固体溶于水可得到糖水. 现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水,如图,x 轴表示糖水质量,y 轴表示含糖浓 度(含糖浓度:瓶中糖固体质量与糖水质量的比值),其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例 函数的图象上,则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是 (　 　 ) A. 甲　 　 　 　 B. 乙　 　 　 C. 丙　 　 　 D. 丁 6. 如图,在△ABC 中,∠A= 68°,AB= 8,AC= 4,将△ABC 沿图中的线剪开,下列四种剪开的方法中,剪 下的阴影三角形与原三角形相似的是 (　 　 ) A. ①②　 B. ③④　 C. ①③　 　 D. ①③④ 7. 如图,直线 AB 交 x 轴于点 C,交反比例函数 y = a -1 x (a>1)的图象于 A、B 两点,过点 B 作 BD⊥y 轴,垂足为点 D,若 S△BCD = 4,则 a 的值为 (　 　 ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 8. 如图,一次函数 y1 = k1x+b(k1 >0)的图象与反比例函数 y2 = k2 x (k2 >0)的图象相交于 A,B 两点,点 A 的横坐标为 1,点 B 的横坐标为-2,当 y1≥y2 时,x 的取值范围是 (　 　 ) A. x≤-2 或 x≥1　 　 　 　 B. x≤-2 或 0<x≤1 C. -2≤x<0 或 x≥1　 　 　 D. -2≤x<0 或 0<x≤1 9. 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 是边 BA 延长线上一点,CE 交 AD 于点 F,下列各式中可能错误 的是 (　 　 ) A. AE AB =FE FC 　 B. AE AB = AF DF 　 C. AE BE = AF AD 　 D. BE BC =CF DF 10. 如图,在△ABC 中,AB= 6,AC= 8,BC= 10,点 D 在边 AC 上,连接 BD. 按以下步骤作图:(1)以点 A 为圆心,适当长为半径作弧,分别交 AB,AC 于 M,N 两点;(2)再分别以 M,N 两点为圆心,大于 1 2 MN 的长为半径作弧,两弧交于点 P;(3)连接 AP 并延长,分别交 BD,BC 于 E,F 两点. 若 AD= 3DC,连接 DF,则 DF􀏑FC 的值为 (　 　 ) A. 2 3 　 B. 3 4 　 C. 5 6 　 D. 1 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 已知函数 y= (m-2)x m -3 是反比例函数,则 m= 　 　 　 　 . 12. 如图,菱形 OABC 的顶点 C 的坐标为 3 2 ,2( ) ,顶点 A 在 x 轴的正半轴上,反比例函数 y = kx (x>0) 的图象经过顶点 B,则 k 的值为　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 13. 如图,如果△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形( 顶点在格点上),那么 S△DEF 􀏑 S△ABC 的值为 . 14. 《墨子·天文志》记载:“执规矩,以度天下之方圆. ”度方知圆,感悟数学之美. 如图,以面积为 4 的正方形 ABCD 的中心 O 为位似中心,作它的位似图形 A′B′C′D′,若 A′B′􀏑AB= 2􀏑1,则四边形 A′B′C′D′的外接圆的面积为　 　 　 　 . 15. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 8,BC= 6,对角线 AC,BD 相交于点 O,且 BE∥AC,CE∥BD. 连接 AC 与 DE 相交于 F. 则图中四边形 OBEF 的面积为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的点,∠B+∠DEC= 180°. 求证:△ADE∽△ACB. 17. (9 分)如图,在平面直角坐标系中,△AOB 的三个顶点的坐标分别为 A(6,3),O(0,0),B(0,6) . (1) 以原点 O 为位似中心,在第一象限内将△AOB 缩小得到△A1OB1,相似比为 1 2 ,请画出 △A1OB1; (2)直接写出点 A1 的坐标(　 　 　 ,　 　 　 ); (3)求出△A1OB1 的面积. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24　 18. (9 分) 一辆客车从甲地出发前往乙地,平均速度 v(单位:km / h)与所用时间 t(单位:h)的函数关 系如图所示,其中 60≤v≤120. (1)写出平均速度 v 关于所用时间 t 的函数解析式,并求 t 的取值范围; (2)若客车上午 8 时从甲地出发,需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地,求客车平均速度 v 的范围. 19. (9 分)如图,一次函数 y=mx+n(m≠0,m,n 是常数)与反比例函数 y = k x (k≠0)在第二象限的图 象交于点 A( -1,a),B 两点,与 x 轴、y 轴分别交于点 C、点 D,且 OC=OD= 3. (1)求反比例函数的解析式; (2)连接 OA,求△AOC 的面积. 20. (9 分)某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度. 测量方案:在地面上选一点 A,垂直地面竖立标杆 AB,后退 2 m 到 E 处,此时 M、B、E 在同一直线 上;另选一点 C,垂直地面竖立标杆 CD,后退 4 m 到 F 处,此时 M、D、F 三点也在同一直线上. 测量数据:两次测量标杆之间的距离是 50 m,两个标杆的高度均为 1. 5 m,且 N、A、E、C、F 在同一 直线上. 请你根据以上测量数据,帮助兴趣小组求出古塔的高度. 21. (10 分)如图,点 C、D 在线段 AB 上,△PCD 是等腰三角形,PC = PD,∠CPD = 70°,且△ACP∽ △APB. (1)求证:△ACP∽△PDB; (2)求∠APB 的度数; (3)若 AC= 4,CD= 5,BD= 9,求△PCD 的周长. 22. (10 分)如图,平行于 y 轴的直尺(一部分)与反比例函数 y= m x (x>0)的图象交于点 A,C,与 x 轴 交于点 B,D,连接 AC. 点 A,B 的刻度分别为 5,2,直尺的宽度 BD 为 2,OB= 2,设直线 AC 的解析 式为 y= kx+b. (1)请结合图象直接写出不等式 kx+b>m x 的解集; (2)求直线 AC 的解析式; (3)平行于 y 轴的直线 x=n(2<n<4)与 AC 交于点 E,与反比例函数图象交于点 F,当这条直线左 右平移,线段 EF 的长为 1 4 时,求 n 的值. 23. (11 分) 【揭示关系】 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A = 30°,BC = 1,则 AB = 2,AC = 3 . 即 BC􀏑AC􀏑AB = 1􀏑 3 􀏑2. 因此,对于含 30°角的直角三角形的三边关系,可以作为问题解决的条件直接使用. 【问题解决】 (1)如图 2,在 Rt△AOB 中,∠AOB= 90°,∠OAB= 30°,点 C 在边 OB 上,点 D 在 AO 边上,∠OCD = 30°,点 E、F 分别为 OA、AC 的中点. 则EF OD = 　 　 　 　 ,OE OB = 　 　 　 　 ; (2)将△OCD 绕点 O 逆时针旋转 α(90°<α<180°)后,得到△OC′D′,点 C,D 的对应点分别为点 C′,D′,连接 AC′,BD′,得到图 3. 若点 M 是 AC′的中点,连接 OM. ① 求证:△EOM∽△OBD′; ② 线段 OM 和 BD′之间存在怎样的数量关系和位置关系? 写出你的结论,并进行证明. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43　 ( -3,1)代入 y= k x ,得 k = -3×1 = -3,∴ 反比例函数的表达 式为 y= - 3 x ; (2) ∵ 一次函数 y = x+4 的图象与 y 轴交于点 C,∴ C(0, 4),OC= 4,∵ B( -1,3)、A( -3,1),∴ S△AOB = S△AOC -S△BOC = 1 2 ×4×3- 1 2 ×4×1 = 4; (3)作 B 点关于 x 轴的对称点 B′,连接 AB′交 x 轴于 P 点, 则 B′( -1,-3),∵ PA+PB=PB′+PA=AB′,∴ 此时 PA+PB 的 值最小,设直线 AB′的解析式为 y = mx+n,把点 B′( - 1, -3),A( -3,1)的坐标代入 y = mx+n,得 -m+n= -3, -3m+n= 1,{ 解得 m= -2, n= -5,{ ∴ 直线 AB′的解析式为 y = -2x-5,当 y = 0 时,x = - 5 2 ,∴ 点 P 的坐标为 - 5 2 ,0( ) . 23. 解:(1)把 D( -4,1)代入 y = k x ,得 1 = k -4 ,解得 k = -4,∴ k 的值为-4; (2)∵ D( -4,1),AD = 3,∴ A( -4,4),∵ C 为 AO 中点,∴ C ( -2,2),设直线 CD 对应的函数解析式为 y = tx+b,把 C ( -2,2),D( -4,1)代入,得 -2t+b= 2, -4t+b= 1,{ 解得 t= 1 2 , b= 3, ì î í ïï ï ∴ 直线 CD 对应的函数解析式为 y= 1 2 x+3; (3)设 E m, 1 2 m+3( ) ,则 F m,- 4m( ) ,∴ EF = 1 2 m+ 3 + 4 m , ∴ S△OEF = 1 2 EF· xE = 1 2 × 1 2 m+3+ 4 m( ) ×( -m)= - 1 4 (m+ 3) 2 + 1 4 ,∵ - 1 4 <0,∴ 当 m = -3 时,S△OEF 取最大值,最大值 为 1 4 ,∴ △OEF 面积的最大值是 1 4 . 第二十七章　 相似 1. D　 2. A　 3. C　 4. C　 5. B　 6. C　 7. D　 8. D　 9. B 10. B　 【解析】①如图,过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N,交 BC 于 M,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∠ABC = 90°,AD = BC,∴ ∠EAC= ∠ACB,∵ BE⊥AC 于点 F,∴ ∠ABC = ∠AFE = 90°,∴ △AEF∽△CAB,故①正确;②∵ AD∥BC,∴ △AEF ∽△CBF,∵ AE = 1 2 AD = 1 2 BC,∴ AE BC = AF FC = 1 2 ,∴ CF = 2AF,故②正确;③∵ DE∥BM,BE∥DM,∴ 四边形 BMDE 是 平行四边形,∴ BM=DE= 1 2 BC,∴ BM =CM,CN =NF,∵ BE ⊥AC 于点 F,DM∥BE,∴ DN⊥CF,∴ DN 垂直平分 CF, ∴ DF=DC,故③正确;④∵ CF = 2AF,∴ S△ABC = 3S△ABF,故④ 不正确;其中正确的结论有 3 个. 故选:B. 11. ∠ADC= ∠ACB(答案不唯一)　 12. 4􀏑9 13. 18　 14. 20 7 m 15. 3 或 4 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABF = ∠FDE = 45°, 依 题 意, 得 BD = AB2 +AD2 = (3 2 ) 2 +(3 2 ) 2 = 6,设 BF= x,则有 DF= 6-x. ∵ E 为 DC 中点,DC = 3 2 ,∴ DE = 1 2 DC = 3 2 2 ,①当△ABF∽△FDE 时, BA DF = BF DE ,即 3 2 6-x = x 3 2 2 ,解得 x1 = x2 = 3;②当△ABF∽ △EDF 时, BF DF = BA DE ,即 x 6-x = 3 2 3 2 2 ,解得 x = 4. 综上所述,BF 的值为 3 或 4. 故答案为:3 或 4. 16. 证明:∵ ∠EAC= ∠DAB,∴ ∠EAC+∠BAE= ∠DAB+∠BAE, ∴ ∠BAC= ∠DAE,又∵ AB AD =AC AE ,∴ △ABC∽△ADE. 17. 解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求; (2)由图象可知:B′(4,8),C′(8,2),S△A′B′C′ = 6×8- 1 2 ×2×8 - 1 2 ×6×2- 1 2 ×6×4 = 22. 18. 解: ( 1) 根据作图过程可知 CD ⊥ AB, ∴ ∠BDC = 90°, ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠BDC = ∠ACB,又 ∵ ∠CBD = ∠ABC, ∴ △CDB∽△ACB; (2) 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = 5,AC = 12,∴ AB = BC2 +AC2 = 52 +122 = 13,由 ( 1) 可知△CDB∽ △ACB, ∴ BC BA =BD BC ,即 5 13 =BD 5 ,∴ BD= 25 13 . 19. 解:如图,过点 E 作 EW⊥AB 于点 W,交 CD 于点 J. ∵ AB⊥ BF,EF⊥BF,EW⊥AB,∴ ∠EWB = ∠WBF = ∠BFE = 90°, ∴ 四边形 BFEW 是矩形,∴ EW=BF= 121 m,∵ CD∥AB,EW ⊥AB,∴ EW⊥CD,△ECD∽ △EAB,∴ CD AB = EJ EW ,∴ 0. 16 AB = 0. 3 121 ,∴ AB≈64. 5(m) . 答:大雁塔的高度 AB 约为 64. 5 m. 20. 解: ( 1 ) 证明: ∵ BD 平分 ∠ABC, ∴ ∠ABC = 2 ∠ABD, ∵ ∠ADB = 2 ∠ABD, ∴ ∠ADB = ∠ABC, ∵ ∠A = ∠A, ∴ △ADB∽△ABC,∴ AB AC =AD AB ,∴ AB2 =AD·AC; (2)∵ △ADB∽△ABC,∴ ∠ABD = ∠C,∵ ∠ABD = ∠DBC, ∴ ∠C= ∠DBC,∵ DC= 2AD= 2,∴ AD= 1,DB=DC= 2,∴ AC = AD+DC = 1+2 = 3,∵ AB2 = AD·AC = 1×3 = 3,AD2 = 12 = 1, DB2 = 22 = 4,∴ AB2 +AD2 =DB2 = 4,∴ △ABD 是直角三角形, 且∠A= 90°,∴ ∠A 的度数是 90°. 21. 解:(1) ∵ 四边形 DFCE 是平行四边形,∴ DE∥BC,DF∥ AC,DE=CF,∴ △ADE∽△ABC,∴ AE AC = DE BC = 2 5 ,∵ AC = 25, ∴ AE= 10,∴ CE = 25-10 = 15,∵ DE BC = CF BC = 2 5 ,∴ BF BC = 3 5 , ∵ DF∥AC,∴ △BFG∽△BCE,∴ GF CE =BF BC = 3 5 ,∴ GF= 9; (2) ∵ △BFG ∽ △BCE, BF BC = 3 5 , ∴ S△BFG S△BCE = 3 5( ) 2 = 9 25 , ∵ S△BFG+S四边形GFCE = S△BCE,∴ S四边形GFCE S△BCE = 25 -9 25 = 16 25 ,∵ 四边形 GFCE 的面积为 48,∴ S△BCE = 75,∵ AE AC = 2 5 ,AE+CE = AC, ∴ CE AC = 3 5 ,∴ S△BCE S△ABC = 3 5 ,∴ S△ABC = 125. 22. 解:(1)证明:连接 AC,立杆 AB,CD 相交于点 O,∴ ∠AOC= ∠EOF. 又∵ OA OE =OC OF = 51 34 = 3 2 ,∴ △AOC∽△EOF,∴ ∠A = ∠OEF,∴ AC∥EF; (2)如图,过点 A 作 AM⊥BD 于点 M,过点 O 作 ON⊥EF 于 点 N. ∵ OE=OF = 34 cm,∴ △OEF 是等腰三角形. ∵ ON⊥ EF,EF= 32 cm,∴ EN= 16 cm. 在 Rt△OEN 中,根据勾股定 理可得 ON = OE2 -EN2 = 342 -162 = 30(cm),∵ AB = CD = 136 cm,OA=OC= 51 cm,∴ OB=OD= 85 cm,∴ OE OB = OF OD = 34 85 = 2 5 ,又∵ ∠EOF = ∠BOD,∴ △EOF∽△BOD,∴ ∠OEF = ∠OBD,又∵ ∠ONE = ∠AMB = 90°,∴ △EON∽△BAM, ∴ OE AB =ON AM ,∴ 34 136 = 30 AM ,解得 AM= 120. 答:利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于 120 cm 时,连衣裙才不会拖在地面上. 23. 解:(1)AD⊥BE; (2)(1)中的结论成立. 理由如下:如图 2,延长 BE 交 AC 于 点 H, 交 AD 于 N, ∵ ∠ACB = ∠DCE = 90°, ∴ ∠ACD = ∠BCE,又∵ BC AC = CE CD = m, ∴ △ECB∽ △DCA, ∴ ∠DAC = ∠EBC,∵ ∠CAB+∠ABE+∠CBE = 90°,∴ ∠CAB+∠ABE+ ∠DAC= 90°,∴ ∠ANB= 90°,∴ AD⊥BE; (3)如图 3,当点 E 在线段 AD 上时,连接 BE,由( 2) 知 △ECB∽△DCA,∴ BE AD =BC AC =m= 3 ,∴ BE = 3 AD= 3 (4+ AE),∵ AD⊥BE,∴ AB2 = AE2 +BE2,∴ (4 7 ) 2 = AE2 +3(4+ AE) 2,∴ AE= 2 或 AE= -8(舍去),∴ BE= 6 3 ;如图 4,当点 D 在线段 AE 上时,连接 BE,同理△ECB∽△DCA,∴ BE AD = BC AC =m= 3 ,∴ BE = 3 AD = 3 (AE-4),∵ AD⊥BE,∴ AB2 =AE2 +BE2,∴ (4 7 ) 2 = AE2 +3(AE-4) 2,∴ AE = 8 或 AE = -2(舍去),∴ BE= 4 3 . 综上所述:BE= 6 3或 4 3 . 图 2 　 　 图 3 图 4 第二学期期中综合质量检测卷 1. D　 2. D　 3. C　 4. A　 5. B　 6. C　 7. B　 8. C　 9. D 10. B 　 【解析】 ∵ AB = 6,AC = 8,BC = 10,∴ AB2 +AC2 = BC2, ∴ △ABC 为直角三角形,∠BAC = 90°,由作法得 AF 平分 ∠BAC,∴ 点 F 到 AB、AC 的距离相等,∴ S△ABF􀏑S△ACF = AB 􀏑AC=BF􀏑CF,即 BF􀏑CF = 6􀏑8 = 3􀏑4,∵ AD = 3DC,AC = 8,∴ AD = 6 = AB,∵ AF 平分∠BAC,∴ ∠BAF = ∠DAF, ∵ AF=AF,∴ △BAF≌△DAF(SAS),∴ BF =DF,∴ DF􀏑CF = 3􀏑4 = 3 4 . 故选:B. 11. -2　 12. 8　 13. 2 　 14. 8π 15. 18　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC,BD 相交于 点 O,且 BE∥AC,CE∥BD,∴ BE∥OC,CE∥OB,∴ 四边形 OBEC 是平行四边形,又∵ OC = OB,∴ 四边形 OBEC 是菱 形,∴ CE=OB=OD = 1 2 BD,∵ CE∥OD,∴ △CFE∽△OFD, ∴ CF OF = CE OD = 1,∴ CF=OF= 1 2 OC,∵ ∠BCD= 90°,CD= AB = 8,BC= 6,∴ S△BCD = 1 2 CD·BC = 1 2 × 8 × 6 = 24,∴ S△COD = 1 2 S△BCD = 1 2 ×24 = 12,∴ S△DOF = 1 2 S△COD = 1 2 ×12 = 6,∵ OF∥ BE,∴ △DOF ∽ △DBE, ∴ S△DOF S△DBE = OD BD( ) 2 = 1 2( ) 2 = 1 4 , ∴ S△DBE = 4S△DOF = 4×6 = 24,∴ S四边形OBEF = S△DBE -S△DOF = 24- 6 = 18. 故答案为:18. 16. 证 明: ∵ ∠DEC + ∠AED = 180°, ∠B + ∠DEC = 180°, ∴ ∠AED= ∠B,又∵ ∠A= ∠A,∴ △ADE∽△ACB. 17. 解:(1)如图所示,△A1OB1 即为所求; (2) 3, 3 2( ) ; (3)△A1OB1 的面积为 1 2 ×3×3 = 9 2 . 18. 解:(1)设 v 与 t 的函数关系式为 v = k t ,将(4,60)代入 v = k t ,得 60 = k 4 ,解得 k= 240,∴ v 与 t 的函数表达式为 v= 240 t (2≤t≤4); (2)当 t= 8 3 h 时,v= 90 km/ h,当 t = 3 h 时,v= 80 km/ h,∴ 客 车平均速度 v 的范围为 80 km / h≤v≤90 km / h. 19. 解:(1)∵ 一次函数 y =mx+n 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 点 C,点 D,OC=OD= 3,∴ C( -3,0),D(0,3),把 C,D 坐标 代入 y= mx+n,得 -3m+n= 0, n= 3,{ 解得 m= 1, n= 3,{ ∴ 一次函数解 析式为 y= x+3,当 x= -1 时,y= 2,∴ A( -1,2),∵ 点 A 是一 次函数 y = x+3 的图象与反比例函数 y = k x (k≠0)的图象 的交点,∴ k= xy= -1×2 = -2,∴ 反比例函数的解析式为 y = - 2 x ; (2)∵ A( -1,2),∴ S△AOC = 1 2 OC×yA = 1 2 ×3×2 = 3. 20. 解:由题可知,AB⊥FN,MN⊥FN,CD⊥FN,∴ ∠N = ∠BAE = ∠DCF = 90°, ∵ ∠BEA = ∠MEN, ∴ △BEA ∽ △MEN, ∴ AB MN = EA EN ,即 1. 5 MN = 2 2+AN ①,同理△FDC∽FMN,∴ DC MN = FC FN ,即 1. 5 MN = 4 4+50+AN ②,联立①②解得,AN = 50,MN = 39. ∴ 古塔的高度为 39 米. 21. 解:( 1) 证明:∵ △ACP∽ △APB,∴ ∠APC = ∠B,∵ PC = PD,∴ ∠PCD = ∠PDC,∵ ∠PCD+ ∠ACP = 180°,∠PDC + ∠PDB= 180°,∴ ∠ACP= ∠PDB,∴ △ACP∽△PDB; (2)∵ ∠CPD= 70°,∴ ∠PCD = ∠PDC = 55°,∴ ∠A+∠APC = 55°,∴ ∠A+∠ABP= 55°,∴ ∠APB= 125°; (3) ∵ △ACP∽ △PDB, ∴ AC PD = PC BD , ∵ PC = PD, ∴ PC2 = AC·BD= 4 × 9 = 36, ∴ PC = PD = 6, ∴ PC +PD +CD = 17, ∴ △PCD 的周长为 17. 22. 解:(1) 2<x<4; (2)将 A(2,3)代入 y = m x ,得 m = xy = 2×3 = 6,∴ y = 6 x ;又 OD= 4,∴ C(4,1. 5),将 A(2,3)和 C(4,1. 5)分别代入 y = kx+b,得 2k+b= 3, 4k+b= 1. 5,{ 解得 k= - 3 4 , b= 9 2 , ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 AC 的解析式为 y= - 3 4 x+ 9 2 ; (3)当 x= n 时,点 E 的纵坐标为- 3 4 n+ 9 2 ,点 F 的纵坐标为 6 n ,依题意,得- 3 4 n+ 9 2 - 6 n = 1 4 ,解得 n= 8 3 或 n= 3. 23. 解:(1) 3 2 , 3 2 ; (2) ① 证明:∵ 点 E,M 分别是 OA,AC′的中点,∴ EM 是 △AOC′的中位线, ∴ EM∥OC′,EM = 1 2 OC′, ∴ ∠OEM + ∠AOC′ = 180°, ∵ ∠AOB = ∠C′ OD′ = 90°, ∴ ∠BOD′ + ∠AOC′= 180°,∴ ∠OEM = ∠BOD′,∵ ∠OAB = ∠OC′D′ = 30°,∴ EO EM = 1 2 OA 1 2 OC′ = OA OC′ = 3OB 3OD′ = OB OD′ , ∴ EO OB = EM OD′ , ∴ △EOM∽△OBD′; ② 结论:OM= 3 2 BD′,OM⊥BD′. 证明:如图 3,延长 MO 交 44　 BD′于 N,由①可知,△EOM∽△OBD′,∴ ∠EOM = ∠OBD′, OM BD′ =EO OB = 1 2 OA OB = 3 2 OB OB = 3 2 ,∴ OM = 3 2 BD′,∵ ∠AOB = 90°,∴ ∠EOM + ∠BON = 180° - ∠AOB = 90°, ∴ ∠OBD′ + ∠BON= 90°,∴ ∠BNO= 180°-90° = 90°,∴ OM⊥BD′. 图 3 第二十八章　 锐角三角函数 1. C　 2. A　 3. D　 4. D　 5. B　 6. D　 7. C　 8. B　 9. B 10. A　 【解析】由题知,BF 平分∠ABC,过点 F 作 AB 的垂线, 垂足为 M,在 Rt△ABC 中,cos A= AC AB = 12 13 ,令 AC= 12x,AB = 13x,则(12x) 2 +52 = (13x) 2,解得 x = 1(舍负),∴ AC = 12, BC= 13. ∵ BF 平分∠ABC,∠C = 90°,FM⊥AB,∴ CF =MF, 则 S△ABC = S△ABF+S△BCF,即 1 2 ×5×12 = 1 2 ×5·CF+ 1 2 ×13· CF,所以 CF= 10 3 . 故选:A. 11. 30　 12. 20　 13. 80 3 　 14. 15 6 15. -16 3 9 , 16 9( ) 　 【解析】由题意,OA1 = 2A1A0 = 2,OA2 = OA1 ÷ cos 30°,OA3 = OA1 ÷ cos 230°,…,OA5 = OA1 ÷ cos 430° = 2 ÷ 3 2( ) 4 = 32 9 ,即 A5 - 16 3 9 , 16 9( ) . ∴ 与△OA11A12 位似的三角 形的 直 角 顶 点 A5 的 坐 标 为 - 16 3 9 , 16 9( ) . 故 答 案 为: -16 3 9 , 16 9( ) . 16. 解:(1)原式= 2× 3 2( ) 2 -1+4× 1 2 = 3 2 -1+2 = 5 2 ; (2)原式= 3 × 1 2 + 2 2× 2 2 -2 1 2 -1 = 3 2 +1-1 = 3 2 . 17. 解:(1)∵ sin B= b c = 6 2 3 = 2 2 ,∴ ∠B= 45°; (2)∵ c= 12,sin A= 1 3 = a c ,∴ a= 4,∴ b= c2 -a2 = 8 2 . 18. 解:(1)∵ BD⊥AC,∴ ∠ADB = 90°,在 Rt△ABD 中,AB = 6, ∠A= 30°,∴ BD=AB·sin A= 6×sin 30° = 3,AD = AB·cos A = 6× 3 2 = 3 3 ; (2)∵ AC= 5 3 ,AD= 3 3 ,∴ CD=AC-AD= 2 3 ,在Rt△CBD 中,∠CDB = 90°,BD = 3,CD = 2 3 , ∴ BC = BD2 +CD2 = 21 ,∴ sin C= BD BC = 3 21 = 21 7 . 19. 解:由题意,得∠BCD= 60°,CE = OB = 1. 58 米,CB⊥AD,在 Rt△BCD 中,BC= 7. 20 米,∴ BD=BC·tan 60° = 7. 2× 3 ≈ 12. 47(米),∵ AO = 0. 50 米,∴ AB = BO-OA = 1. 58 - 0. 5 = 1. 08(米),∴ AD=AB+BD≈1. 08+12. 47≈13. 6(米) . 答:学校旗杆高度约为 13. 6 米. 20. 解:(1)在 Rt△ACD 中,∠CAD= 30°,CD= 6 米,则 AC = 2CD = 2×6 = 12(米) . 答:新坡面 AC 的长度为 12 米; (2)在 Rt△BCD 中,∠CBD = 45°,CD = 6 米,∴ BD = CD = 6 米,∵ NB = 8 米, ∴ ND = NB + BD = 8 + 6 = 14 ( 米), 在 Rt△ACD 中,∠CAD = 30°,CD = 6 米,则 AD = CD tan∠CAD = 6 3 (米),∴ NA=ND-AD= (14-6 3 )米. 答:新坡面底部点 A 到建筑物 MN 的距离为(14-6 3 )米. 21. 解:(1)45,50; (2)由题意可知,BC = 3 km,在 Rt△BOC 中,∠CBO = 45°, ∴ OC=BC= 3 km,在 Rt△DOC 中,∠D = 50°,∴ OD = OC sin D = 3 sin 50° ≈3. 9(km). 答:点 D 到灯塔 O 的距离约为 3. 9 km; (3)在 Rt△DOC 中,CD = OC tan D = 3 tan 50° ≈2. 5( km),∴ BD =BC+ CD = 3 + 2. 5 = 5. 5 ( km), ∵ 轮船的航行速度为 20 km / h,∴ 轮船在 BD 段航行了 5. 5 20 ≈0. 3(h) . 答:轮船在 BD 段航行了约 0. 3 h. 22. 解:(1)过点 B 作 BK⊥AD 于点 K,图略,∵ AB = 130 cm, sin∠BAD= 12 13 ,∴ BK AB = BK 130 = 12 13 ,∴ BK = 120,即遮阳棚上的 B 点到墙面 AD 的距离为 120 cm; (2)过点 C 作 CH⊥DG 于点 H,设直线 CE 交 DG 于点 F,图 略,由 勾 股 定 理, 得 AK = AB2 -BK2 = 1302 -1202 = 50(cm),∴ DK=AD-AK = 240-50 = 190( cm),∴ BH = DK = 190 cm,又 ∵ BC = 30 cm, ∴ CH = 190 - 30 = 160 ( cm ), 又∵ ∠CFH= 53°,∴ tan∠CFH = CH FH = 4 3 ,∴ CH FH = 160 FH = 4 3 , ∴ FH = 120,由( 1) 知,BK = 120 cm,∴ DH = BK = 120 cm, ∴ FH=DH,∴ 该商铺的落地窗方案可行. 23. 解:(1)≠; (2)如题图 1,在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°,AC = 4,BC = 3, ∴ AB = AC2 +BC2 = 5. ∴ AD = AB = 5, ∴ ∠D = ∠ABD, ∴ ∠BAC= 2∠D,CD = AD+AC = 9,∴ tan 1 2 A( ) = tan D = BC CD = 3 9 = 1 3 ; (3)如图 2,作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 E,连接 BE. 则 AE=BE,∠A= ∠ABE,∴ ∠BEC = 2∠A,∵ Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC= 3,tan A = 1 3 ,∴ BC = 1,AB = AC2 +BC2 = 10 . 设 AE= x,则 EC= 3-x,在 Rt△EBC 中,x2 = (3-x) 2 +1,解得 x= 5 3 ,即 AE=BE = 5 3 ,EC = 4 3 . ∴ tan(2A) = tan∠BEC = BC EC = 3 4 . 第二十九章　 投影与视图 1. A　 2. D　 3. D　 4. C　 5. A　 6. B　 7. C　 8. C　 9. C　 10. C 11. 灯光　 12. 4　 13. S3 <S2 <S1 　 14. 6　 15. x 2 +3x+2 16. 解:(1)8; (2)作图如下: 17. 解:(1)由圆柱的三视图可知,圆柱的底面直径为 4,高为 6,圆柱的表面积:π× 4 2( ) 2 ×2+π×4×6 = 8π+24π = 32π,故 这个圆柱的表面积是 32π; (2)圆柱的体积:π× 4 2( ) 2 ×6 = π×4×6 = 24π,故这个圆柱 的体积是 24π. 18. 解:(1)中心投影; (2) ∵ AB⊥CP,PO⊥PC,∴ OP∥AB,∴ △ABC∽ △OPC, ∴ AB OP = BC PC ,即 2 OP = 3 3+4. 5 ,解得 OP = 5,∴ 路灯的高度为 5 m. 19. 解:(1)B; (2)所画的主视图、左视图如下: 20. 解:(1)如图,点 O 为灯泡所在的位置,线段 FH 为小亮在 灯光下形成的影子; (2)由已知可得, AB OD = CA CD ,∴ 1. 6 OD = 1. 4 1. 4+2. 1 ,∴ OD = 4,∴ 灯 泡的高为 4 m. 21. 解:(1)如图 2 所示; 图 2 (2)选择①. 这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积 为 2×6×2-2×2 = 24-4 = 20; 选择②. 这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为 2× 3m·m-m2 = 6m2 -m2 = 5m2,∴ 这个鲁班锁的表面积为 6× 5m2 = 30m2 . 22. 解:(1)5. 1,4. 2; (2)如图,设 AB 为丙树的高度,BC = 2. 4,CD = 3. 2,∵ 四边 形 AECF 是平行四边形,∴ AE = CF,由题意,得 BE BC = BE 2. 4 = 1 0. 8 ,解得 BE = 3, CF 3. 2 = 1. 6 2 ,解得 CF = 2. 56,∴ AE = CF = 2. 56 米. 故丙树的高度 AB=AE+BE=BE+CF= 5. 56 米. 23. 【画图操作】光源 S 的位置及第三根旗杆在该灯光下的影 长 MN 如图 1 所示; 图 1 【数学思考】D; 【解决问题】∵ CD∥EF∥AB,∴ △CDF∽△ABF,△ABG∽ △EFG,∴ CD AB =DF BF , EF AB =GF BG ,又∵ CD=EF,∴ DF BF =GF BG ,∵ DF = 3 m,FG = 4 m,∴ 3 BD+3 = 4 BD+7 ,∴ BD = 9 m,BF = 9 + 3 = 12(m),∴ 1. 6 AB = 3 12 ,解得 AB = 6. 4 m,∴ 灯杆 AB 的高度为 6. 4 m. 第二学期期末综合质量检测卷(一) 1. A　 2. D　 3. D　 4. B　 5. D　 6. C　 7. C　 8. C　 9. D 10. B　 【解析】甲:∵ △ABP 与△PCQ 相似,∠B = ∠C = 90°, ∴ 分△ABP∽△PCQ 与△ABP∽△QCP 两种情况求解. ① 当△ABP∽△PCQ 时,设 BP = x,则 PC = 15-x,∴ AB PC = BP CQ , 即 9 15-x = x 4 ,解得 x = 3 或 x = 12,②当△ABP∽△QCP 时, 设 BP= x,则 PC = 15-x,∴ AB QC = BP CP ,即 9 4 = x 15-x ,解得 x = 135 13 ,综上所述,当 CQ= 4,在 BC 上存在 3 个点 P,使△ABP 与△PCQ 相似,故甲错误;乙:∵ AP⊥PQ,∴ ∠APQ = 90°, ∴ ∠APB+∠CPQ= 90°,又∵ ∠APB+∠BAP = 90°,∴ ∠CPQ = ∠BAP,∴ △ABP∽△PCQ,∴ AB PC = BP CQ ,设 BP = x,则 PC = 15-x,即 9 15-x = x CQ ,∴ CQ = (15-x)x 9 = - 1 9 x- 15 2( ) 2 + 25 4 , ∵ -1<0,∴ 当 x = 15 2 时,CQ 最大,且 CQ = 25 4 ,故乙正确. 故 选:B. 11. 中心投影　 12. y1 >y2 　 13. (2,-2)　 14. 5 15. 7 4 或 25 8 　 【解析】∵ CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线,AB = 10,∴ CD= 1 2 AB= AD =BD = 5,∵ BC = 6,∴ AC = AB2 -BC2 = 8, 当 △DEF ∽ △DBC 时, ∠DEF = ∠B, ∴ ∠EDF = ∠BDC,∠DFE= ∠DCB,∵ CD=BD,∴ DE =DF,∴ ∠DFE = ∠DEF,∴ ∠DFC= ∠DEA,∴ △DFC≌△DEA(AAS),∴ CF =AE,∵ ∠DCA = ∠A,∠DEF = ∠B = ∠DCB,∠A + ∠B = 90°,∴ ∠DCA + ∠DEF = 90°,∴ ∠CDE = 90°,∴ ∠CDE = ∠ACB= 90°,∵ ∠DCE = ∠A,∴ △DCE∽ △CAB,∴ CE AB = CD AC ,∴ CE 10 = 5 8 ,∴ CE = 25 4 ,∴ CF = AE = AC-CE = 8- 25 4 = 7 4 ; 当△DEF∽△CBD 时,∠DFE = ∠BDC,∵ ∠DFE = ∠FCD+ ∠FDC,∠BDC = ∠FCD+∠A,∴ ∠FDC = ∠A,∵ ∠DCF = ∠ACD,∴ △DFC∽△ADC,∴ DC AC = CF CD ,∴ 5 8 = CF 5 ,∴ CF = 25 8 ,综上所述:CF 的长为 7 4 或 25 8 . 故答案为: 7 4 或 25 8 . 16. 解:(1)原式= 2× 1 2 - 3 2 × 3 2 +1 = 1- 3 4 +1 = 5 4 ; (2)原式= 3 +9× 3 3 -8× 3 2 -2× 2 2 = 3 +3 3 -4 3 - 2 = - 2 . 17. 解:(1)该几何体的主视图、左视图和俯视图如下: (2)2. 18. 证明:( 1) ∵ ∠BCE = ∠ACD,∴ ∠BCE+ ∠ACE = ∠ACD+ ∠ACE,∴ ∠DCE = ∠ACB, 又 ∵ ∠A = ∠D, ∴ △ABC ∽ △DEC; (2)∵ △ABC∽△DEC,∴ S△ABC S△DEC = CB CE( ) 2 = 4 9 ,∴ BC CE = 2 3 ,又 ∵ BC= 6,∴ CE= 9. 19. 解:选择 CD= 1. 6 m,BD = 4 m,∠ACE = 67°. 过 C 作 CE⊥ AB 于 E,则四边形 BDCE 是矩形,∴ BE = CD = 1. 6 m,CE = BD= 4 m,在 Rt△ACE 中,∵ ∠ACE= 67°,∴ tan∠ACE= AE CE , ∴ AE 4 ≈2. 36,∴ AE≈9. 4 m,∴ AB = AE+BE = 9. 4 + 1. 6 = 11. 0(m) . 答:建筑物 AB 的高度约为 11. 0 m. 20. 解:(1)证明:∵ 四边形 ABCD,CEFG 都是正方形,∴ ∠HCD = 90°, ∠CEF = ∠DEF = 90°, ∴ ∠DEF = ∠HCD = 90°, ∴ ∠HDC+ ∠DHC = 90°,又 ∵ DH⊥ DF, ∴ ∠HDF = 90°, ∴ ∠HDC+ ∠EDF = 90°, ∴ ∠EDF = ∠DHC, ∴ △DEF ∽ △HCD; (2)∵ 点 H 为 BC 的中点,∴ HC = 1 2 a,∵ CD = a,CE = EF = b,∴ DE = a - b,由 ( 1) 可知△DEF∽ △HCD, ∴ DE HC = EF CD , ∴ a-b 1 2 a = b a ,∴ a= 3 2 b,即 a 与 b 满足的关系式为 a= 3 2 b. 21. 解:(1)∵ AB⊥y 轴于点 B,∴ ∠OBA = 90°,∵ OB = 2AB = 4, ∴ A(2,4),∵ 点 A 在反比例函数 y = k x ( x> 0) 的图象上, ∴ k= 4×2 = 8,∴ 反比例函数的解析式为 y= 8 x ; (2)如图,过 A 作 AF⊥x 轴于 F,∴ ∠AFD= 90°,∵ ∠ADO= 45°,∴ ∠FAD = 45°, ∴ AF = DF = OB = 4, ∵ OF = AB = 2, ∴ OD= 6,∴ D(6,0),设直线 AC 的解析式为 y = ax+b,∵ 点