第1学期期中综合质量检测卷(二）-【锦上添花】2024-2025学年九年级数学全一册直击考点与单元双测（人教版2012 河南专版）

9　 　 　 　 第一学期期中综合质量检测卷(二) 题　 号 一 二 三 总　 分 得　 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分. 下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1. 下列方程中,是关于 x 的一元二次方程的是 (　 　 ) A. ax2 +bx+c= 0(a 是实数)　 B. (x+1)(x+2)= (x+1) 2 C. x2 + 1 x -3 = 0　 D. 2x2 -1 = 0 2. 在平面直角坐标系中,点 P(2,-4)关于原点对称的点的坐标是 (　 　 ) A. (2,4) B. ( -2,4) C. ( -2,-4) D. ( -4,2) 3. 在平面直角坐标系中,将二次函数 y= (x-1) 2 +1 的图象向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个 单位长度,所得函数的解析式为 (　 　 ) A. y= (x-3) 2 -2 B. y= (x+1) 2 -2 C. y= (x+1) 2 +4 D. y= (x-3) 2 +4 4. 若 x= 2 是关于 x 的一元二次方程 x2 -mx+8 = 0 的一个解. 则 m 的值是 (　 　 ) A. 6 B. 5 C. 2 D. -6 5. 如图,在平面直角坐标系中,点 A(3,0),点 B(0,1),连接 AB,将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°得 到线段 AC,连接 OC,则线段 OC 的长度为 (　 　 ) A. 4　 B. 3 2 　 　 C. 2 5 　 D. 5 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图是某地下停车场的平面示意图,停车场的长为 40 m,宽为 22 m. 停车场内车道的宽都相等,若 停车位的占地面积为 520 m2 . 求车道的宽度(单位:m). 设停车场内车道的宽度为 x m,根据题意 所列方程为 (　 　 ) A. (40-2x)(22-x)= 520 B. (40-x)(22-x)= 520 C. (40-x)(22-2x)= 520　 　 　 D. (40-x)(22+x)= 520 7. 根据表格中二次函数 y=ax2 +bx+c 的自变量 x 与函数值 y 的对应值,可以判断方程 ax2 +bx+c= 0 的 一个解 x 的范围是 (　 　 ) x 0 0. 5 1 1. 5 2 y=ax2 +bx+c -1 -0. 5 1 3. 5 7 A. 0<x<0. 5 　 B. 0. 5<x<1 　 C. 1<x<1. 5 　 D. 1. 5<x<2 8. 如图,正方形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上,点 D(5,3)在边 AB 上,以 C 为中心,把 △CDB 旋转 90°,则旋转后点 D 的对应点 D′的坐标是 (　 　 ) A. (2,10)　 B. ( -2,0) C. (2,10)或( -2,0)　 D. (10,2)或( -2,0) 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图是一款抛物线型落地灯筒示意图,防滑螺母 C 为抛物线支架的最高点,灯罩 D 距离地面 1. 5 m,最高点 C 距灯柱的水平距离为 1. 6 m,灯柱 AB= 1. 5 m,若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶 几到灯柱的距离 AE 为 (　 　 ) A. 3. 2 m　 　 B. 0. 32 m　 C. 2. 5 m　 D. 1. 6 m 10. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4,BC= 3,CE= 2BE,EF= 2,连接 AF,将线段 AF 绕着点 A 顺时针旋转 90°得到 AP,则线段 PE 的最小值为 (　 　 ) A. 2 5 　 B. 34 -1　 C. 4　 D. 34 -2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 写出一个经过原点的抛物线解析式为　 　 　 　 . 12. 关于 x 的一元二次方程(m-1)x2 -2x+1 = 0 无实数根,则 m 的取值范围是　 　 　 　 . 13. 行驶中的汽车刹车后,由于惯性的作用,还会继续向前滑行一段距离,这段距离称为“刹车距 离” . 某车的刹车距离 s( m)与车速( km / h)之间的函数关系式是 s = 0. 01x+ 0. 002x2,则在限速 100 km / h 的高速公路上,该车的正常刹车距离最大为　 　 　 　 m. 14. 要建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物 线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高,高度为 3 米,水柱落地处离池中心 3 米,水 管长应为　 　 　 　 米. 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 将△ABC,△ADC 按如图所示摆放,AC 边重合,其中∠DAC= ∠D = 60°,∠B = 90°,∠BAC = 45°,保 持△ABC 不动,将△ADC 绕点 A 顺时针旋转 α(0°<α<180°),在旋转过程中,当 α= 　 　 　 　 时, △ADC 的 DC 边与△ABC 的某一边平行. 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)嘉嘉解方程 x2 +2x-3 = 0 的过程如表所示. 解方程:x2 +2x-3 = 0 解:x2 +2x= 3……第一步 (x+1) 2 = 3……第二步 x1 = 3 -1,x2 = - 3 -1……第三步 (1)嘉嘉是用　 　 　 　 (填“配方法”“公式法”或“因式分解法”)来求解的;从第　 　 　 　 步开始 出现错误; (2)请你用不同于(1)中的方法解该方程. 17. (9 分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点都在边长均为 1 个单位长度的正方形网格的格 点上. (1)画出△ABC 关于原点对称的图形△A1B1C1,并写出点 C1 的坐标; (2)画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的图形△A2B2C2,并写出点 B2 的坐标; (3)写出△A1B1C1 经过怎样的旋转可直接得到△A2B2C2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10　 18. (9 分)已知关于 x 的一元二次方程(a+c)x2 +2bx+(a-c)= 0,其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长. (1)如果 x= -1 是方程的根,试判断△ABC 的形状,并说明理由; (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 19. (9 分)河南樱桃,半壁江山在新安. 新安因樱桃产量大、品质优、成熟早,被誉为“中国樱桃之 乡” . 村民以原价 30 元 /千克对外销售. 为了减少库存,决定降价,经过两次降价后,售价为每千 克 19. 2 元. (1)求平均每次降价的百分率; (2)因天气原因,现按照(1)的百分率进一步降价促销,求再次降价后的售价. 20. (9 分)某景区商店销售一种纪念品,这种商品的成本价 10 元 /件,已知销售价不低于成本价,且 物价部门规定这种商品的销售价不高于 16 元 /件,市场调查发现,该商品每天的销售量 y(件)与 销售价 x(元 / 件)之间的函数关系如图所示. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)求每天的销售利润 W(元)与销售价 x(元 / 件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少 元时,每天的销售利润最大? 最大利润是多少? 21. (10 分)掷实心球是中招体育考试的选考项目,如图 1 是一名女生掷实心球,实心球行进路线是 一条抛物线,行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系如图 2 所示,掷出时起点处高度 为 5 3 m,当水平距离为 3 m 时,实心球行进至最高点 3 m 处. (1)求抛物线的表达式; (2)根据中招体育考试评分标准(女生),投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等 于 7. 80 m,此项考试得分为满分 10 分,该女生在此项考试中是否得满分,请说明理由. 图 1 　 　 　 　 图 2 22. (10 分)如图 1,O 是等边△ABC 内一点,连接 OA、OB、OC,且 OA = 3,OB = 4,OC = 5,将△BAO 绕 点 B 顺时针旋转后得到△BCD,连接 OD. (1)求:① 旋转角的度数 ; ② 线段 OD 的长 ; ③ 求∠BDC 的度数; (2)如图 2 所示,O 是等腰直角△ABC( ∠ABC = 90°)内一点,连接 OA、OB、OC,将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,连接 OD. 当 OA、OB、OC 满足什么条件时,∠ODC = 90°? 请给出 证明. 图 1 　 　 　 　 图 2 23. (11 分)如图,已知抛物线 y= ax2 +bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x = -1,且抛物线经过 A(1,0), C(0,3)两点,与 x 轴交于点 B. (1)若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴 x= -1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求出 点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x= -1 上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 40　 边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BAD = 90°,即∠BAN+∠DAN = 90°,∴ ∠BAN + ∠BAE = 90°,即∠EAN = 90°, ∵ ∠MAN = 45°,∴ ∠MAE = ∠EAN-∠MAN = 90°- 45° = 45°,在△AEM 和△ANM 中, AE=AN, ∠MAE= ∠MAN= 45°, AM=AM, ì î í ïï ïï ∴ △AEM≌ △ANM (SAS); (3)设正方形 ABCD 的边长为 x,则 BC = CD = x,∵ BM = 3, DN= 2,∴ CM=BC-BM= x-3,CN=CD-DN = x-2,由旋转的 性质,得 BE=DN= 2,∴ ME=BE+BM= 2+3 = 5,由(2)已证: △AEM≌△ANM,∴ MN=ME= 5,又∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ ∠C= 90°,则在 Rt△CMN 中,CM2 +CN2 =MN2,即(x- 3) 2 +(x-2) 2 = 52,解得 x= 6 或 x = -1(不符题意,舍去) . 故 正方形 ABCD 的边长为 6. 23. 解:(1)B; (2) ∠QEP = 60°. 证明: ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AC = BC,∠ACB= 60°,∵ 线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线 段 CQ,∴ CP=CQ,∠PCQ= 60°,∴ ∠ACB+∠BCP = ∠BCP+ ∠PCQ, 即 ∠ACP = ∠BCQ, 在 △ACP 和 △BCQ 中, CA=CB, ∠ACP= ∠BCQ, CP=CQ, ì î í ïï ïï ∴ △ACP ≌ △BCQ ( SAS ), ∴ ∠APC = ∠Q,∵ ∠BFP= ∠CFQ,∴ ∠QEP= ∠PCQ= 60°; (3)BQ= 4 6 -4 2 . 　 【解析】作 CH⊥AD 于 H,如图 3,同理 可得:△ACP≌△BCQ,∴ AP = BQ,∵ ∠DAC = 135°,∠ACP = 15°,∴ ∠APC = 30°,∠PCB = 45°,∠HAC = 45°,∴ △ACH 为等腰直角三角形,∵ AC = 8,∴ AH = CH = 2 2 AC = 4 2,在 Rt△PHC 中,PC = 2CH,PH= PC2 -CH2 = 3CH= 4 6,∴ PA =PH-AH= 4 6 -4 2,∴ BQ= 4 6 -4 2 . 图 3 第一学期期中综合质量检测卷(一) 1. D　 2. C　 3. C　 4. B　 5. D　 6. B　 7. A　 8. B　 9. B 10. B　 【解析】①由图象可得,该抛物线与 x 轴有两个交点,则 b2 -4ac>0,故①正确;②∵ 抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴相交 于点 A(-2,0)、B(6,0),∴ 该抛物线的对称轴是直线 x = -2+6 2 = 2,∴ - b 2a = 2,∴ 4a+b = 0,故②正确;③由图象可得, 当 y>0 时,x<-2 或 x>6,故③错误;④当 x = 1 时,y = a+b+c <0,故④正确. 故选:B. 11. 0　 12. 40°　 13. 18　 14. x1 = -1,x2 = 5 15. 5+5 2 　 【解析】∵ 将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 90°得到 △BAE,∴ AE= CD,BE = BD,∠DBE = 90°,∴ AE+AD = AD+ CD=AC,△DBE 是等腰直角三角形,∴ DE= 2BD,∴ 当 BD 取最小值时,DE 的值最小,则△AED 周长的值最小,当 BD ⊥AC 时,BD 的值最小,∵ △ABC 是等腰直角三角形,BC = 5,∴ AC = 2 BC = 5 2 ,∴ BD = 1 2 AC = 5 2 2 ,∴ DE = 5, ∴ △AED 周长最小值是 AC +DE = 5 2 + 5. 故答案为:5 + 5 2 . 16. 解:(1)方程整理,得 x2 -4x = 1,配方,得 x2 -4x+4 = 5,( x- 2) 2 = 5,开方,得 x-2 = ± 5 ,解得 x1 = 2+ 5 ,x2 = 2- 5 ; (2)方程整理,得(x-1) 2 = 8,开方,得 x-1 = ±2 2 ,解得 x1 = 1+2 2 ,x2 = 1-2 2 . 17. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,△D1EF1 即为所求; (3)(0,1) . 18. 解:(1)证明:∵ a = 1,b = -( k+1),c = 2k- 3,∴ Δ = [ -( k+ 1)] 2 -4(2k-3)= k2 -6k+13 = (k-3) 2 +4,而(k-3) 2 ≥0,∴ Δ >0. ∴ 对任意实数 k,方程有两个不相等的实数根; (2)∵ 方程的一个根是 3,∴ 32 -3(k+1) +2k-3 = 0,解得 k = 3,∴ 原方程为 x2 -4x+3 = 0,解得 x1 = 1,x2 = 3. 即 k 的值为 3,方程的另一个根是 1. 19. 解:(1)证明:∵ ∠CAF = ∠BAE,∴ ∠BAC = ∠EAF. ∵ 将线 段 AC 绕 A 点旋转到 AF 的位置,∴ AC = AF. 在△ABC 和 △AEF 中, AB=AE, ∠BAC= ∠EAF, AC=AF, ì î í ïï ïï ∴ △ABC≌△AEF(SAS),∴ EF =BC; (2)∵ AB= AE,∠ABC = 62°,∴ ∠BAE = 180°-62°×2 = 56°, ∴ ∠FAG= ∠BAE = 56°. ∵ △ABC≌△AEF,∴ ∠F = ∠C = 29°,∴ ∠FGC= ∠FAG+∠F= 56°+29° = 85°. 20. 解:(1)∵ 抛物线与 x 轴交于点 A(1,0),B(3,0),可设抛物 线解析式为 y= a(x-1)(x-3),把 C(0,-3)代入得 3a= -3, 解得 a= -1,故抛物线解析式为 y = -( x-1) ( x-3),即 y = -x2 +4x- 3, ∵ y = - x2 + 4x - 3 = - ( x - 2) 2 + 1, ∴ 顶点坐标 (2,1); (2)先向左平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位,得到的抛 物线的解析式为 y = -x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落 在直线 y= -x 上(答案不唯一) . 21. 解:(1)3t cm, 2t cm; (2)依题意,得 1 2 [(16-3t) +2t] ×6 = 33,整理,得 16-t= 11, 解得 t= 5. 答:当 t 为 5 时,四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2; (3) 过点 Q 作 QE⊥AB 于点 E,则 PE = (16-3t) -2t = 16-5t ,图略. 依题意,得 16-5t 2 +62 = 102,即(16-5t) 2 = 82,解得 t1 = 8 5 ,t2 = 24 5 . 答:当 t 为 8 5 秒或 24 5 秒时,点 P 和点 Q 的距离为 10 cm. 22. 解:(1)由题意,得 y= (x+60-40)(300-10x)= -10x2 +100x +6 000; (2)y= -10x2 +100x+6 000 = -10(x-5) 2 +6 250,∵ -10<0, 故抛物线开口向下,当 x = 5 时,y 取得最大值为 6 250 元. ∴ 销售该商品第 5 天时,日销售利润最大,最大日销售利 润为 6 250 元; (3)14 天. 　 【解析】令 y= -10x2 +100x+6 000 = 5 440,解得 x=-4 或 x=14,故当月有 14 天的日销售利润不低于 5 440 元. 23. 解:(1)BE = AD. 证明:∵ △C′DE 绕点 C 按顺时针方向旋 转 30°,∴ ∠BCE= ∠ACD= 30°,∵ △ABC 与△C′DE 是等边 三角形, ∴ CA = CB,CE = CD, ∴ △BCE≌ △ACD ( SAS), ∴ BE=AD; (2)BE=AD. 证明:∵ △C′DE 绕点 C 按顺时针方向旋转的 角度为 α,∴ ∠BCE = ∠ACD = α,∵ △ABC 与△C′DE 是等 边三角形,∴ CA = CB,CE = CD,∴ △BCE≌△ACD( SAS), ∴ BE=AD; (3)当 α 为 180°时,线段 AD 的长度最大,等于 a+b;当 α 为 0°(或 360°)时,线段 AD 的长度最小,等于 a-b. 第一学期期中综合质量检测卷(二) 1. D　 2. B　 3. B　 4. A　 5. D　 6. B　 7. B　 8. C　 9. A 10. D　 【解析】如图,连接 AE,过点 A 作 AG⊥AE,截取 AG = AE,连接 PG,GE,∵ 将线段 AF 绕着点 A 顺时针旋转 90°得 到 AP,∴ AF = AP,∠PAF = 90°,∴ ∠FAE+∠PAE = ∠PAE+ ∠PAG= 90°,∴ ∠FAE = ∠PAG. 又∵ AG = AE,∴ △AEF≌ △AGP(SAS),∴ PG=EF= 2. ∵ BC = 3,CE = 2BE,∴ BE = 1. ∴ 在 Rt △ABE 中, AE = AB2 +BE2 = 17 . ∵ AG = AE, ∠GAE= 90°,∴ GE = 2 AE = 34 . ∵ PE≥GE-PG,且当点 G,P,E 三点共线时取等号,∴ PE 的最小值为 GE -PG = 34 -2. 故选:D. 11. y= x2(答案不唯一)　 12. m>2　 13. 21　 14. 9 4 15. 75°或 120°或 165°　 【解析】∵ ∠DAC = ∠D= 60°,∴ △ADC 是等边三角形,∴ ∠DCA = 60°. ∵ ∠B = 90°,∠BAC = 45°, ∴ ∠ACB= 45°. 当旋转后的 CD 边与 BC 平行时,如图 1,令 AD′与 BC 的交点为 M,由旋转可知,∠D′= ∠D= 60°. ∵ BC ∥C′D′,∴ ∠AMB = ∠D′ = 60°,∴ ∠CAM = 60° - 45° = 15°, ∴ ∠DAD′= 60°+15° = 75°,即 α = 75°. 当旋转后的 CD 边与 AC 平行时,如图 2,∵ AC∥C′D′,∴ ∠CAD′ = ∠D′ = 60°, ∴ ∠DAD′= 60°+60° = 120°,即 α= 120°. 当旋转后的 CD 边 与 AB 平行时,如图 3,∵ C′D′∥AB,∴ ∠BAD′ = ∠D′ = 60°, ∴ ∠DAD′= 60°+45°+60° = 165°,即 α= 165°. 综上所述,α = 75°或 120°或 165°. 故答案为:75°或 120°或 165°. 图 1 　 图 2 　 图 3 16. 解:(1)配方法,二; (2)∵ x2 +2x-3 = 0,∴ (x+3)(x-1)= 0,则 x+3 = 0 或 x-1 = 0,解得 x1 = -3,x2 = 1. 17. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求;点 C1 的坐标(4,1); (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求;点 B2 的坐标( -3,-3); (3)△A1B1C1 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到△A2B2C2 . 18. 解:(1)△ABC 是等腰三角形. 理由如下:∵ x= -1 是方程的 根,∴ (a+c) ×( -1) 2 -2b+(a-c)= 0,∴ a+c-2b+a-c= 0,∴ a -b= 0,∴ a= b,∴ △ABC 是等腰三角形; (2)△ABC 是直角三角形. 理由如下:∵ 方程有两个相等的 实数根,∴ Δ= (2b) 2 -4(a+c)(a-c)= 0,∴ 4b2 -4a2 +4c2 = 0, ∴ a2 = b2 +c2,∴ △ABC 是直角三角形. 19. 解:(1)设平均每次降价的百分率为 x,根据题意,得 30(1- x) 2 = 19. 2,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = 1. 8(不符合题意,舍 去) . 答:平均每次降价的百分率为 20%; (2)根据题意,得 19. 2×(1-20%)= 15. 36(元 /千克) . 答:再次降价后的售价为 15. 36 元 /千克. 20. 解:(1) 设 y 与 x 的函数解析式为 y = kx+b,将( 10,30)、 (16,24)代入,得 10k+b= 30, 16k+b= 24,{ 解得 k= -1, b= 40,{ 所以 y 与 x 的 函数解析式为 y= -x+40(10≤x≤16); (2)根据题意知,W= (x-10)y= (x-10)( -x+40)= -x2 +50x -400 = -(x-25) 2 +225,∵ a= -1<0,∴ 当 x<25 时,W 随 x 的 增大而增大,∵ 10≤x≤16,∴ 当 x = 16 时,W 取得最大值, 最大值为 144. 答:每件销售价为 16 元时,每天的销售利润最大,最大利 润是 144 元. 21. 解:(1)设 y 关于 x 的函数表达式为 y = a( x- 3) 2 + 3,把 0, 5 3( ) 代入上式得,a(0-3) 2 +3 = 5 3 ,解得 a = - 4 27 . ∴ y 关 于 x 的函数表达式为 y= - 4 27 (x-3) 2 +3; (2)该女生在此项考试中没有得满分. 理由如下:当 y = 0 时,即- 4 27 (x-3) 2 +3 = 0,解得 x1 = 7. 5,x2 = -1. 5 (舍去), ∵ 7. 5<7. 80,∴ 该女生在此项考试中没有得满分. 22. 解:(1)① 60°;② 4; ③ ∵ △BAO 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 60° 后 得 到 △BCD, ∴ ∠OBD= 60°,OB = DB = 4,CD = AO = 3,∴ △BOD 为等边 三角形,∴ OD = 4,∠BDO = 60°,在△OCD 中,CD = 3,OD = 4,OC= 5,∵ 32 +42 = 52,∴ CD2 +OD2 =OC2,∴ △OCD 为直角 三角形,∠ODC= 90°,∴ ∠BDC = ∠BDO+∠ODC = 60°+90° = 150°; (2)OA2 +2OB2 = OC2 时,∠ODC = 90°. 证明:∵ △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,∴ ∠OBD = ∠ABC = 90°,BO = BD,CD=AO,∴ △OBD 为等腰直角三角形,∴ OD = 2 OB, ∵ 当 CD2 +OD2 = OC2 时,△OCD 为直角三角形,∠ODC = 90°,∴ OA2 +2OB2 =OC2,∴ 当 OA、OB、OC 满足 OA2 +2OB2 = OC2 时,∠ODC= 90°. 23. 解:(1)依题意,得 - b 2a = -1, a+b+c= 0, c= 3, ì î í ï ï ï ï 解得 a= -1, b= -2, c= 3, ì î í ïï ïï ∴ 抛物线解析 式为 y= -x2 -2x+3,∵ 对称轴为 x= -1,且抛物线经过 A(1, 0),∴ B( - 3,0),设直线 BC 的解析式为 y = mx +n,把 B ( -3,0)、C( 0,3) 分别代入直线 y = mx+n,得 -3m+n= 0, n= 3,{ 解得 m= 1, n= 3,{ ∴ 直线 BC 的解析式为 y= x+3; (2)设直线 BC 与对称轴 x = -1 的交点为 M,则此时 MA+ MC 的值最小. 把 x = - 1 代入直线 y = x+ 3 得,y = 2,∴ M ( -1,2),即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最 小时,M 的坐标为( -1,2); (3)设 P( -1,t),又∵ B( -3,0),C(0,3),∴ BC2 = 18,PB2 = ( -1+3) 2 +t2 = 4+t2,PC2 = ( -1) 2 +( t-3) 2 = t2 -6t+10,①若 点 B 为直角顶点,则 BC2 +PB2 = PC2,即:18+4+ t2 = t2 -6t+ 10,解得 t = -2;②若点 C 为直角顶点,则 BC2 +PC2 = PB2, 即:18+t2 -6t+10 = 4+t2,解得 t= 4;③若点 P 为直角顶点,则 PB2 +PC2 =BC2,即:4+t2 +t2 -6t+10 = 18,解得 t1 = 3+ 17 2 ,t2 = 3 - 17 2 . 综上所述 P 点的坐标为( -1,-2)或( -1,4)或 -1, 3+ 17 2( ) 或 -1, 3- 17 2( ) . 第二十四章　 圆 1. B　 2. C　 3. D　 4. D　 5. D　 6. C　 7. D　 8. B　 9. A 10. B　 【解析】连接 OE,延长 EO 交 BF 于点 M,∵ C′D′与☉O 相切,∴ ∠OEC′ = 90°,又∵ 矩形 A′BC′D′中,A′B∥C′D′, ∴ ∠EMB= 90°,∴ BM=FM,∵ 矩形 ABCD 绕点 B 旋转所得 矩形为 A′BC′D′,∴ ∠C′= ∠C = 90°,AB =CD,BC = BC′ = 8, ∴ 四边形 EMBC′为矩形,∴ ME= 8,设 OB =OE = x,则 OM = 8-x,∵ OM2 +BM2 =OB2,∴ (8-x) 2 +42 = x2,解得 x = 5,∴ AB =CD= 10. 故选:B. 11. 点 P 在圆外　 12. 31　 13. 13　 14. 6 15. ( -14,0) 　 【解析】连接 PO,∵ PA⊥PB,∴ ∠APB = 90°, ∵ 点 A、点 B 关于原点 O 对称,∴ AO = BO,∴ AB = 2PO,若 要使 AB 取得最大值,则 PO 需取得最大值,连接 OM,并延 长交☉M 于点 P′,当点 P 位于 P′位置时,OP′取得最大值, 过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q,则 OQ = 6,MQ = 8,∴ OM = 10, 又∵ MP′= r = 4,∴ OP′=MO+MP′= 10+4 = 14,∴ AB = 2OP′ = 2×14 = 28,∴ A 点坐标为(-14,0) . 故答案为:(-14,0) . 16. 证明:∵ AD = CB,∴ AD ( = CB ( ,∴ AD ( +AC ( = CB ( +AC ( ,∴ CAD ( = ACB ( ,∴ AB=CD. 17. 解:(1)∵ OD⊥AB,OE⊥AC,∴ AD= 1 2 AB,AE = 1 2 AC,∵ AB =AC,∴ AD = AE,∵ ∠ADO = ∠A = ∠AEO = 90°,∴ 四边形 ADOE 是正方形,∴ OE = AE,连接 OA,图略. ∵ AC = 4 2 , ∴ AE= 1 2 AC= 2 2 ,在 Rt△AOE 中,OA = 2 AE = 2 2 × 2 =