第1学期期末综合质量检测卷(一）-【锦上添花】2024-2025学年九年级数学全一册直击考点与单元双测（人教版2012 河南专版）

15　 　 　 　 第一学期期末综合质量检测卷(一) 题　 号 一 二 三 总　 分 得　 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分. 下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1. “海上生明月,天涯共此时”,如图是记录的日出美景,图中太阳与海天交界处可看成圆与直线,它 们的位置关系是 (　 　 ) A. 相切　 B. 相交　 C. 相离　 D. 平行 2. 方程 x2 = 3x 的解为 (　 　 ) A. x= 3　 B. x= 0 C. x1 = 0,x2 = -3　 D. x1 = 0,x2 = 3 3. 下列说法中,错误的是 (　 　 ) A. 弦是直径　 B. 等弧所对的圆周角相等 C. 圆内接菱形是正方形　 D. 正六边形的半径和其边长相等 4. 抛物线 y= (x-2) 2 +1 的顶点坐标是 (　 　 ) A. ( -1,2)　 B. (2,1)　 C. ( -2,1)　 D. ( -2,-1) 5. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点 A、B、C、D、E、F、G 在小正方形的顶点上,则 △ABC 的外心是 (　 　 ) A. 点 D B. 点 E C. 点 F D. 点 G 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 　 第 7 题图 6. 韩梅将水浒人物宋江和李逵的画像及其绰号制成 4 张无差别卡片(除图案和文字不同外,其他完 全相同),将卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概 率是 (　 　 ) A. 1 5 　 B. 1 3 　 C. 1 4 　 D. 1 2 7. 如图,AB 是☉O 的直径,OD 垂直弦 AC 于点 D,DO 的延长线交☉O 于点 E. 若 AC= 2 3 ,DE= 3,则 BC 的长是 (　 　 ) A. 1　 B. 2　 C. 2 　 D. 4 8. 抛物线 y= 2x2 通过变换可以得到抛物线 y= 2x2 -4x,以下变换过程正确的是 (　 　 ) A. 先向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位 B. 先向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位 C. 先向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位 D. 先向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位 9. 如图,矩形 ABCD 中,AB= 5,AD= 12,将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 l 上进行两次旋转, 则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是 (　 　 ) A. 12. 5π　 　 B. 13π　 　 C. 25π　 　 D. 25 2 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4,BC= 6,当直角三角板 MPN 的直角顶点 P 在 BC 边上移动时,直角 边 MP 始终经过点 A,设直角三角板的另一直角边 PN 与 CD 相交于点 Q,BP= x,CQ= y,那么 y 与 x 之间的函数图象大致是 (　 　 ) A B C D 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 已知点 P(a,-6)与点 Q( -5,b)关于原点对称,则 a+b= 　 　 　 　 . 12. 我市在某展览馆举办美丽乡村成果展,该展览馆出入口示意图如图所示,小颖从 A 入口进 E 出 口出来的概率是　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 13. 某校九年级组织一次辩论赛,规定进行单循环赛(每两班赛一场),共赛了 28 场,该校九年级共 有多少个班级参加了辩论赛? 设该校九年级共有 x 个班参加了辩论赛,根据题意,可列方程为 　 　 　 　 . 14. 扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式,将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙 结合. 如图所示,已知 OA= 10 cm,AC= 15 cm,AB ( 的长为 20 cm,则 CD ( 的长为　 　 　 　 cm. 15. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 3,动点 P 满足 CP = 2,将点 P 绕点 D 按逆时针方向旋转 90°, 得到点 Q,连接 BQ,则 BQ 的最大值是　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (10 分) 解方程: (1)x2 +8x-1 = 0;　 (2)x(x-2) +x-2 = 0. 17. (9 分)如图,△ABC 的顶点坐标分别为 A(0,1),B(3,3),C(1,3) . (1)画出与△ABC 关于点 O 成中心对称的图形△A1B1C1; (2)① 画出△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°的△A2B2C2; ② 在①的基础上,若点 M(a,b)为△ABC 边上的任意一点,则旋转后对应点的坐标为 　 . 18. (9 分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,彰显了我国古代劳动人民的智慧,如图 1,点 P 表示筒车的一个盛水桶. 如图 2,当筒车工作时,盛水桶的运行路径是以轴心 O 为圆心,5 m 为半 径的圆,且圆心在水面上方. 若圆被水面截得的弦 AB 长为 8 m,求筒车工作时,盛水桶在水面以 下的最大深度. 图 1 　 　 　 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16　 19. (9 分)有甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装有 3 个完全相同的小球,分别标有数字 0,1,2,乙袋 中装有 3 个完全相同的小球,分别标有数字-1,-2,0;现从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有 的数字为 x,再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为 y,确定点 M 坐标为(x,y) . (1)用树状图或列表法列举点 M 所有可能的坐标; (2)求点 M(x,y)在函数 y= -x+1 的图象上的概率. 20. (9 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的☉O 交边 AC 于点 D,连接 BD,过点 C 作 CE∥ AB. (1)请用无刻度的直尺和圆规作图:过点 B 作☉O 的切线,交 CE 于点 F;(不写作法,保留作图痕 迹,标明字母) (2)在(1)的条件下,求证:BD=BF. 21. (9 分)某社区为了解决社区停车难的问题,利用一块矩形空地 ABCD 建了一个小型停车场,其布 局如图所示. 已知 AD= 50 m,AB= 30 m,阴影部分设计为停车位,要铺花砖,其余部分均为宽度为 x 米的道路. 已知铺花砖的面积(即阴影面积)为 800 m2 . (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位 50 个,据调查分析,当每个车位的月租金为 200 元时,可全部租出;若每 个车位的月租金每上涨 5 元,就会少租出 1 个车位. 当每个车位的月租金上涨多少元时,停 车场的月租金收入为 10 120 元,同时尽可能让利于居民? 22. (10 分)如图,二次函数的图象与 x 轴交于 A( -1,0),B(5,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,-5) . (1)求二次函数的表达式; (2)当-1≤x≤4 时,求函数最大值与最小值的差; (3)点 P 的坐标为(n,-5),点 Q 的坐标为(n+2,-5),若线段 PQ 与二次函数图象恰有一个交点, 请直接写出 n 的取值范围. 23. (10 分)如图 1,在△ABC 中,∠A= 90°,AB=AC= 2 +1,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,且 AD =AE= 1,连接 DE. 现将△ADE 绕点 A 顺时针方向旋转,旋转角为 α(0°≤α≤360°),如图 2,连接 CE, BD,CD. (1)当 0°<α≤180°时,求证:CE=BD; (2)如图 3,当 α= 90°时,延长 CE 交 BD 于点 F,求证:CF 垂直平分 BD; (3)在旋转过程中,求△BCD 的面积的最大值,并写出此时旋转角 α 的度数. 图 1 　 　 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 　 图 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41　 4,∴ ☉O 的半径是 4. 18. 解:(1)如图所示,弦 AB 和 BC 垂直平分线的交点是圆弧 所在圆的圆心 P 点的位置,P 点坐标(2,-1); (2)90; (3) 设该圆锥底面半径是 r, ∵ 弧 AC 的长 = 90π×2 5 180 = 5 π,∴ 2πr= 5 π,∴ r= 5 2 ,∴ 该圆锥底面半径是 5 2 . 19. 解:(1) ∵ ☉O 与 AB 相切于点 A,∴ ∠BAO = 90°,∵ ∠B = 30°,∴ ∠AOB= 90°-30° = 60°,∵ OD =OC,∴ ∠D = ∠OCD, 又∵ ∠AOB= ∠D+∠OCD,∴ ∠AOB = 2∠D,∴ 2∠D = 60°, ∴ ∠D= 30°; (2)在 Rt△AOB 中,∠B=30°,∴ OA= 1 2 OB,∴ OB= 2OA=OC+ BC=OA+2,∴ OA=2,∴ AD=OB=4,∴ AB= OB2-OA2 =2 3,连 接 AC,图略. ∵ AD 是☉O 的直径,∴ ∠ACD= 90°,在△ADC 和 △OBA 中, ∠ACD=∠OAB=90°, ∠D=∠B=30°, AD=OB, ì î í ïï ïï ∴ △ADC≌△OBA( AAS), ∴ CD=AB= 2 3 . 20. 解:(1)证明:∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,∴ AB = AF, ∠FAM = ∠ABN = 120°, 在 △AFM 和 △BAN 中, AF=BA, ∠FAM= ∠ABN, AM=BN, ì î í ïï ïï ∴ △AFM≌△BAN(SAS); ( 2 ) ∵ △AFM ≌ △BAN, ∴ ∠AFM = ∠BAN, ∵ ∠APF = ∠AMF + ∠BAN = ∠AFM + ∠AMF = 180° - 120° = 60°, ∴ ∠FPN= 180°-60° = 120°. 21. 解:(1)证明:连接 OD,∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ ∠DAB = ∠DAO, ∵ OD = OA, ∴ ∠DAO = ∠ODA, ∴ ∠ODA = ∠DAF,∴ DO∥AB,∵ ∠B = 90°,∴ ∠ODB = 90°,∵ OD 是 ☉O 的半径,∴ BC 是☉O 的切线; (2)设 OF,AD 交于 G,∵ 点 F 是劣弧 AD 的中点,∴ DF ( = AF ( , ∴ AG = DG, ∵ ∠ODA = ∠DAF, ∠DGO = ∠AGF, ∴ △DGO≌ △AGF ( ASA), ∴ OD = AF, ∴ OF = AF = OA, ∴ △AOF 是等边三角形,∴ ∠AOF = ∠DOF = 60°,∴ ∠COD = 60°,∵ ∠CDO = 90°,∴ ∠C = 30°,∴ OD = 1 2 OC,∵ OD = OE,∴ OE= OD = CE = 4,∴ CD = OC2 -OD2 = 4 3 ,∴ 阴影 部分的面积 = △CDO 的面积-扇形 DOE 的面积 = 1 2 × 4 × 4 3 - 60π×42 360 = 8 3 - 8 3 π. 22. 解:( 1) 证明: ∵ AB = AC, ∴ ∠ABC = ∠C, ∵ BD 为直径, ∴ ∠BAD= 90°,∴ ∠ABD+∠ADB= 90°,∵ BE⊥AC,∴ ∠E = 90°,∴ ∠EAF+∠AFE= 90°,∵ 四边形 AFBD 是☉O 的内接 四边形, ∴ ∠AFB = ∠ADC, ∠AFE = ∠ADB, ∴ ∠EAF = ∠ABC = ∠C,∴ AF∥BD,∴ ∠FAB = ∠ABC = ∠C,在△ABF 和△CAD 中, ∠AFB= ∠ADC, ∠FAB= ∠C, AB=AC, ì î í ïï ïï ∴ △ABF≌△CAD(AAS); (2)四边形 AFBO 是菱形. 证明:∵ AC 与☉O 相切,∴ OA⊥ CE,∵ BE⊥CE,∴ OA∥BE,∵ AF∥OB,∴ 四边形 AFBO 是平 行四边形,∵ OA=OB,∴ 四边形 AFBO 是菱形. 23. 解:(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;②圆 内接四边形对角互补; (2)如图 1,连接 PB,PC,DE,EF,取 PC 的中点 Q,连接 QE,QF,则 EQ=FQ = 1 2 PC = PQ = CQ,∴ 点 E,F,P,C 四点 共圆,∴ ∠FCP+∠FEP = 180°,又∵ ∠ACP+∠ABP = 180°, ∴ ∠FEP = ∠ABP, 同上可得点 B, D, P, E 四点共圆, ∴ ∠DBP = ∠DEP, ∵ ∠ABP + ∠DBP = 180°, ∴ ∠FEP + ∠DEP= 180°,∴ 点 D,E,F 在同一直线上; (3)证明:如图 2,连接 PA,PB,PC,∵ 点 P 是 BC ( 的中点, ∴ BP ( =PC ( ,∴ BP=PC,∠PAD = ∠PAC,又∵ PD⊥AD,PF⊥ AC,∴ PD=PF,∴ Rt△PBD≌Rt△PCF(HL),∴ BD=CF. 图 1 　 　 　 　 图 2 第二十五章　 概率初步 1. C　 2. D　 3. B　 4. A　 5. D　 6. B　 7. C　 8. C　 9. B　 10. C 11. 1 3 　 12. 1　 13. 6　 14. 1 3 15. 4 或 5　 【解析】画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,∵ 点 M(a,b)在直线 x+y = n 上, ∴ n 的值有 12 种等可能的结果,分别为:2,3,4,5,3,4,5, 6,4,5,6,7,∴ 当 Qn 的概率最大时,n 的值可能为 4 或 5. 故 答案为:4 或 5. 16. 解:(1) 1 3 ; (2)依题意,画树状图如下: 由图可知,共有 6 种等可能的结果,其中小明先乘坐 A 路 车,再转乘 D 路车到学校的结果有 1 种,∴ P(小明先乘坐 A 路车,再转乘 D 路车到学校)= 1 6 . 17. 解:(1)①4;②2 或 3; (2)依题意,得 8 12-n = 4 5 ,解得 n= 2,经检验,n= 2 是原方程 的解,且符合题意,∴ n 的值为 2. 18. 解:不同意他的说法. 理由如下:假设这 3 位同学抽签的顺 序依次为:甲第一、乙第二、丙第三. 画树状图如下: 则所有可能出现的结果有:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA 共 6 种. 甲中签的结果有 2 种,P(甲中签)= 1 3 ; 乙中签的结果有 2 种,P(乙中签)= 1 3 ; 丙中签的结果有 2 种,P(丙中签)= 1 3 . 因此先抽的人与后抽的人中签的概率相同. 19. 解:(1)画树状图如下: 则所有可能出现的结果为( 1,1),( 1,2),( 1,3),( 2,1), (2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3); (2)把 x 作为一个两位数的十位数字,把 y 作为这个两位 数的个位数字,则共有 9 个不同的两位数,且大于 20 的数 有 6 个,P(这个两位数大于 20)= 6 9 = 2 3 . 20. 解:(1)第一组数据的中位数是 3. 若随机抽取一张,中位 数不变,则抽取卡片上的数字是 3,P(中位数不变) = 2 4 = 1 2 ; (2)第一组数据的众数是 3. 若随机同时抽取两张,众数不 变,则抽取卡片上的数字有 3. 列表如下: 2 2 3 3 2 (2,2) (2,3) (2,3) 2 (2,2) (2,3) (2,3) 3 (3,2) (3,2) (3,3) 3 (3,2) (3,2) (3,3) 由表可知,共有 12 种等可能的结果,有数字 3 的结果有 10 种,P(众数不变)= 10 12 = 5 6 . 21. 解:(1)0. 75; (2)3; (3)将第一个口袋中 3 个白球分别记为白1,白2,白3,画树 状图如下: 共有 8 种等可能的结果,其中两个球颜色相同的情况有 4 种. ∴ P(两个球颜色相同)= 4 8 = 1 2 . 22. 解:(1) 1 4 ; (2)列表如下: -2 -1 0 1 -2 ( -2,-2) ( -1,-2) (0,-2) (1,-2) -1 ( -2,-1) ( -1,-1) (0,-1) (1,-1) 0 ( -2,0) ( -1,0) (0,0) (1,0) 1 ( -2,1) ( -1,1) (0,1) (1,1) 由表知,共有 16 种等可能结果,其中点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的有:( -2,0)、( -1,-1)、 ( -1,0)、(0,-2)、(0,-1)、(0,0)、(0,1)、(1,0)这 8 个,所 以点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概 率为 8 16 = 1 2 . 23. 解:(1)设 D 地车票有 x 张,则 x= (x+20+40+30) ×10%,解 得 x= 10. 即 D 地车票有 10 张. 补全统计图如图所示; (2)小胡抽到去 A 地的概率为 20 20+40+30+10 = 1 5 ; (3)不公平. 列表如下: 　 　 小李掷得数字 小王掷得数字 　 　 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 由此可知,共有 16 种等可能结果. 其中小王掷得数字比小 李掷得数字小的有 6 种:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2, 4),(3,4) . ∴ 小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为: 6 16 = 3 8 . 则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为 1- 3 8 = 5 8 . ∴ 这个规则对双方不公平. 第一学期期末综合质量检测卷(一) 1. B　 2. D　 3. A　 4. B　 5. A　 6. B　 7. B　 8. C　 9. A 10. D　 【解析】连接 AQ,图略. 设 BP= x,CQ= y,则 AP2 = 42 +x2, PQ2 = (6-x) 2 +y2,AQ2 = (4-y) 2 +62,∵ △APQ 为直角三角 形,∴ AP2 +PQ2 =AQ2,即 42 +x2 +(6-x) 2 +y2 = (4-y) 2 +62,化 简,得 y= - 1 4 x2 + 3 2 x. 整理,得 y = - 1 4 ( x-3) 2 + 9 4 . 根据函 数关系式可看出 D 中的函数图象与之对应. 故选:D. 11. 11　 12. 1 6 　 13. 1 2 x(x-1)= 28　 14. 50 15. 5　 【解析】如图 1,连接 AQ,∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=DC,∠ADC= 90°,由旋转,得 DP =DQ,∠QDP = 90°, ∴ ∠ADC - ∠QDC = ∠QDP - ∠QDC, ∴ ∠ADQ = ∠CDP, ∴ △ADQ≌△CDP(SAS),∴ AQ = CP = 2,∴ 点 Q 的运动轨 迹是以点 A 为圆心,半径为 2 的圆,∴ 当点 Q 在 BA 的延长 线上时,BQ 的值最大,如图 2,∴ BQ 的最大值 = AB+AQ = 3 +2 = 5. 故答案为:5. 图 1 　 　 图 2 16. 解:(1)x2 +8x-1 = 0,x2 +8x= 1,x2 +8x+16 = 1+16,( x+4) 2 = 17,x+4 = ± 17 ,x1 = -4+ 17 ,x2 = -4- 17 ; (2)x(x-2) +x-2 = 0,(x-2) ( x+1) = 0,x-2 = 0 或 x+1 = 0, x1 = 2,x2 = -1. 17. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)① 如图所示,△A2B2C2 即为所求; ② ( -b,a) . 18. 解:过 O 点作半径 OD⊥AB 于 E,如图,∴ AE =BE = 1 2 AB = 1 2 ×8 = 4( m),在 Rt△AEO 中,OE = OA2 -AE2 = 52 -42 = 3(m),∴ ED=OD-OE= 5-3 = 2(m) . 答:筒车工作时,盛水桶在水面以下的最大深度为 2 m. 19. 解:(1)画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,它们是:(0,-1),(0,-2),(0,0), (1,-1),(1,-2),(1,0),(2,-1),(2,-2),(2,0); (2)在直线 y= -x+1 的图象上的点有:(1,0),(2,-1),所 以点 M(x,y)在函数 y= -x+1 的图象上的概率为 2 9 . 20. 解:(1)如图所示:过 B 作 BF⊥AB,交 CE 于 F,直线 BF 即 为所求直线; (2) 证 明: ∵ AB = AC, ∴ ∠ABC = ∠ACB, ∵ AB ∥CE, ∴ ∠ABC= ∠BCF,∴ ∠BCF= ∠ACB,∵ 点 D 在以 AB 为直 径的圆上,∴ ∠ADB = 90°,∴ ∠BDC = 90°,∵ BF 为☉O 的 切线,∴ ∠ABF = 90°,∵ AB∥CE,∴ ∠BFC+∠ABF = 180°, ∴ ∠BFC= 90°,∴ ∠BDC = ∠BFC,在△BCD 和△BCF 中, ∠BDC= ∠BFC, ∠DCB= ∠FCB, BC=BC, ì î í ïï ïï ∴ △BCD≌△BCF(AAS),∴ BD=BF. 21. 解:(1)设道路的宽为 x 米,由题意,得(50-2x) (30-2x)= 800,整理,得 x2 - 40x+ 175 = 0,解得 x1 = 35(不合题意,舍 去),x2 = 5. 42　 答:道路的宽是 5 米; (2)设每个车位的月租金上涨 y 元时,停车场的月租金收 入为 10 120 元,由题意,得(200 +y) (50 - y 5 ) = 10 120,整 理,得 y2 -50y+600 = 0,解得 y1 = 20,y2 = 30,∵ 尽可能让利 于居民,∴ y= 20. 答:每个车位的月租金上涨 20 元时,停车场的月租金收入 为 10 120 元. 22. 解:(1)由题意,可设抛物线的解析式为 y= a(x+1) (x-5), 又过点(0,-5),∴ -5 = a×1×( -5),∴ a= 1. ∴ y= (x+1)(x- 5)= x2 -4x-5. ∴ 所求二次函数的表达式为 y= x2 -4x-5; (2)由(1)知 y= x2 -4x-5 = (x-2) 2 -9,∵ a = 1>0,∴ 抛物线 开口向上,对称轴是直线 x = 2,当 x = 2 时,y 取最小值为 -9,又-1≤x≤4,当 x= -1 时,y = 0;当 x = 4 时,y = -5,∴ 当 -1≤x≤4 时,-9≤y≤0. ∴ 此时函数最大值与最小值的差 为 0-( -9)= 9; (3) -2≤n≤0 或 2≤n≤4. 23. 解:(1) 证明:如题图 2 中,根据题意,得 AB = AC,AD = AE, ∠CAB=∠EAD= 90°,∵ ∠CAE+∠BAE = ∠BAD+∠BAE = 90°, ∴ ∠CAE = ∠BAD,在△ACE 和△ABD 中, AC=AB, ∠CAE=∠BAD, AE=AD, ì î í ïï ïï ∴ △ACE≌△ABD(SAS),∴ CE=BD; (2)证明:如题图 3 中,根据题意,得 AB=AC,AD=AE,∠CAB = ∠EAD = 90°, 在 △ACE 和 △ABD 中, AC=AB, ∠CAE=∠BAD, AE=AD, ì î í ïï ïï ∴ △ACE≌ △ABD ( SAS), ∴ ∠ACE = ∠ABD, ∵ ∠ACE + ∠AEC= 90°,且∠AEC = ∠FEB, ∴ ∠ABD + ∠FEB = 90°, ∴ ∠EFB= 90°,∴ CF⊥BD,∵ AB = AC = 2 +1,AD = AE = 1, ∠CAB= ∠EAD= 90°,∴ BC = 2 AB = 2 +2,CD = AC+AD = 2 +2,∴ BC = CD,∵ CF⊥BD,∴ CF 是线段 BD 的垂直平 分线; (3)△BCD 中,边 BC 的长是定值,则 BC 边上的高取最大 值时△BCD 的面积有最大值,∴ 当点 D 在线段 BC 的垂直 平分线上时,△BCD 的面积取得最大值,如图 4,∵ AB = AC = 2 +1,AD = AE = 1,∠CAB = ∠EAD = 90°,DG⊥BC 于 G, ∴ AG= 1 2 BC= 2 +2 2 ,∠GAB= 45°,∴ DG=AG+AD= 2 +2 2 +1 = 2 +4 2 ,∠DAB= 180°-45° = 135°,∴ △BCD 的面积的最大 值为 1 2 BC·DG = 1 2 ( 2 + 2) × 2 +4 2 = 3 2 +5 2 ,旋转角 α = 135°. 图 4 第一学期期末综合质量检测卷(二) 1. A　 2. B　 3. B　 4. D　 5. B　 6. A　 7. B　 8. D　 9. C 10. B　 【解析】①由题意,可得 a<0,- b 2a = 1,c = 3>0,即 a<0,b >0,c>0,∴ abc<0,故①正确;②∵ 该抛物线与 x 轴有两个 交点,∴ b2 -4ac>0,∴ 4ac<b2,故②正确;③∵ 该抛物线的对 称轴为直线 x= 1,与 x 轴的一个交点坐标为( -1,0),由抛 物线的对称性可得该抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是 (3,0),∴ 方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根是 x1 = -1,x2 = 3,故③ 正确;④∵ 该抛物线的对称轴为直线 x= 1,∴ - b 2a = 1,∴ b = -2a,∵ 该抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(-1,0),∴ a-b +c= a-(-2a)+c= 3a+c= 0,∵ a<0,∴ 4a+c= a+(3a+c)= a+ 0 = a<0,即 4a+c<0,故④错误;⑤∵ 该抛物线的对称轴为直 线 x= 1,∴ 该二次函数的最大值为 a+b+c,∴ 对于任意实数 m,总有 am2 +bm+c≤a+b+c,∴ 对于任意实数 m,总有 am2 + bm≤a+b,故⑤正确. 故选:B. 11. 1　 12. 65　 13. x1 = -5,x2 = 3　 14. 2π+3 3 15. 10　 【解析】如图,在 FC 上截取 FG=FD,连接 AG,AF,由题 意,得 ∠ABF = ∠AEF = 90°, AB = AE, 在 Rt △ABF 和 Rt△AEF 中, AF=AF, AB=AE,{ ∴ Rt△ABF≌Rt△AEF(HL),∴ BF =EF,∴ CF-DF = BC+EF -DF = BC +DE +DF -DF = 2BC, ∵ △ABC 是等腰直角三角形,∴ AB =BC = 5,∴ CF-DF = 2× 5 = 10. 故答案为:10. 16. 解:(1)转化思想,完全平方公式; (2)三,x2 -1 = 3 2 x,x2 - 3 2 x = 1,x2 - 3 2 x+ 9 16 = 1+ 9 16 , x- 3 4( ) 2 = 25 16 ,x- 3 4 = ± 5 4 ,x1 = 2,x2 = - 1 2 . 17. 解: ( 1) 如图所示, △A1B1C1 即为所求,点 C1 的坐标为 (4,3); (2)如图所示,△A2B1C2 即为所求; (3 ) ∵ △A1B1C1 绕点 B1 按顺时针方向旋转 90° 得到 △A2B1C2, ∴ ∠A1B1A2 = 90°, ∵ B1A1 = 1 2 +32 = 10 , ∴ A1A2 ( 的长度= 90×π× 10 180 = 10 2 π,即点 A1 旋转到点 A2 的过程中经过路径的长度为 10 2 π. 18. 解:(1) 2 3 ; (2)列表如下: 　 　 乙 甲　 　 2 -5 7 -3 ( -3,2) ( -3,-5) ( -3,7) -1 ( -1,2) ( -1,-5) ( -1,7) 4 (4,2) (4,-5) (4,7) 共有 9 种等可能的结果,其中记录的两数字之和为正数的 结果有:( -3,7),( -1,2),( -1,7),(4,2),(4,7),共 5 种, ∴ 记录的两数字之和为正数的概率为 5 9 . 19. 解:(1)如图 1,圆心 O 即为所求; (2)如图 2,连接 AO 交 BC 于 D,连接 OB,∵ △ABC 是等腰 三角形,∴ DB = DC,AD⊥BC, ∵ AB = AC = 2 5 cm,BC = 8 cm,∴ BD= 4 cm,∴ AD = AB2 -BD2 = 2 cm,∵ OB = OA = R,在 Rt△OBD 中,OB2 =BD2 +OD2,即 R2 = 42 +(R-2) 2,∴ R = 5,即圆片的半径 R 为 5 cm. 图 1 　 　 　 　 图 2 20. 解:(1)当 a= 1 时,y= x2 +2x-m,∵ 当 a= 1 时,二次函数 y = ax2 +2ax-m 的图象与 x 轴有两个交点, ∴ Δ = 22 - 4 × 1 × ( -m) >0,解得 m>-1,即 m 的取值范围是 m>-1; (2)① ∵ y= ax2 +2ax-m = a( x+1) 2 -a-m,∴ 二次函数 y = ax2 +2ax-m 的图象的对称轴是直线 x= -1; ② 由图象可知:二次函数 y = ax2 +2ax-m 的图象与 x 轴交 于点(1,0),由①知,该函数的对称轴为直线 x= -1,∴ 该函 数与 x 轴的另一个交点为( -3,0),∴ 关于 x 的一元二次方 程 ax2 +2ax-m= 0 的解是 x1 = 1,x2 = -3. 21. 解:(1)3,1; (2)连接 CM,CN,作 NH⊥MC 交 MC 延长线于 H,∵ △ACB 是等腰直角三角形,N 是 AB 中点,∴ CN= 1 2 AB = 2,同理可 得 CM = 1 2 DE = 1,∵ △CDE 绕顶点 C 逆时针旋转 120°, ∴ ∠MCN= 120°,∴ ∠NCH = 180°-∠MCN = 60°,∴ ∠CNH = 30°,∴ CH= 1 2 CN= 1,∴ NH = 3 CH = 3 ,∵ MH =MC+CH = 2,∴ MN= MH2 +NH2 = 7 . 22. 解:(1)① 设石块运行的函数解析式为 y = a(x-20) 2 +10, 把(0,0)代入解析式得:400a+10 = 0,解得 a = - 1 40 ,∴ 抛物 线的解析式为:y= - 1 40 (x-20) 2 +10,即 y= - 1 40 x2 +x(0≤x≤ 40); ② 石块能飞越防御墙. 理由如下:把 x = 30 代入 y = - 1 40 x2 + x 得,y= - 1 40 ×900+30 = 7. 5,∵ 7. 5>6,∴ 石块能飞越防御 墙; (2)由题可知 B(28,6),抛物线 y = a(x-20) 2 +k,∴ 把(0, 0),( 28, 6) 代入得 0 = a(0-20) 2 +k, 6 = a(28-20) 2 +k,{ 解得 a = - 1 56 ; 把 C(30,6),(0,0)代入解析式得 0 = a(0-20) 2 +k, 6 = a(30-20) 2 +k,{ 解得 a = - 1 50 ,∴ a 的取值范围为- 1 50 ≤a≤- 1 56 . 23. 解:(1)3; (2)证明:如图 3,在 PB 上截取 PQ = AM,连接 CP,CQ,CA 和 CM. ∵ C 是 PMA ( 的中点,∴ CP ( = CA ( . ∴ CP = CA. ∵ CM ( = CM ( ,∴ ∠CPM = ∠MAC,∴ △CPQ≌△CAM( SAS),∴ CQ = CM,∵ BC⊥QM,∴ QB=MB,∴ PB=PQ+QB=BM+MA; (3)4+2 2 . 　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC =BC = AB,∠ABC = 60°, ∴ C 是 ACB ( 的 中 点, ∵ ∠ABD = 15°, ∴ ∠CBE= ∠ABC - ∠ABD = 45°,∵ CE⊥BD,∴ ∠ECB = ∠EBC= 45°,∴ CE=BE= 2,∴ BC= 2 2 ,根据阿基米德折线 原理,BE=DE+AD= 2,∴ △ABD 的周长 = AD+BD+AB = AD+ DE+EB+AB=BC+2BE= 4+2 2 . 图 3 　 九年级数学(下) RJ　 第二十六章　 反比例函数 1. C　 2. C　 3. A　 4. B　 5. B　 6. B　 7. C　 8. D　 9. B 10. D　 【解析】∵ 每个台阶的高和宽分别是 1 和 2,∴ T1(8, 1),T2(6,2),T3(4,3),T4(2,4),∴ 当函数 y = k x ( x>0)过 点 T1(8,1),T4(2,4)时,k = 8,当函数 y = k x (x>0)过点 T2 (6,2),T3(4,3)时,k = 12,∴ 若曲线 L 使得 T1 ~ T4 这些点 分布在它的两侧,每侧各 2 个点时,k 的取值范围是:8<k< 12. 故选:D. 11. >　 12. m<-2　 13. -6　 14. 12 15. 8 3 　 【解析】∵ 一次函数 y= 1 3 x-2 的图象分别交 x 轴、y 轴 于点 A、B,∴ A(6,0),B(0,-2),∵ PC 是△AOB 的中位线, ∴ 点 C 是线段 OA 的中点,即 C(3,0),PC = 1,∵ PC∥y 轴, ∴ QP⊥x 轴,∴ 点 Q 的横坐标为 3,设其纵坐标为 y,则 1 2 OC·y= 5 2 ,即 1 2 ×3y= 5 2 ,解得 y= 5 3 ,∴ Q 3, 5 3( ) ,∴ PQ = 5 3 +1 = 8 3 . 故答案为: 8 3 . 16. 解:(1)∵ 反比例函数 y = 1-k x 的图象经过 A(2,-4),∴ 1-k = 2×( -4),∴ k= 9; (2)∵ k= 9,∴ 反比例函数 y= 1-k x = - 8 x ,把 x= -1 代入反比 例函数解析式 y= - 8 x 得,y= 8≠5,所以点 B( -1,5)不在这 个函数的图象上. 17. 解:( 1) 设 y1 = mx, y2 = n x ,则 y = mx + n x ,根据题意,得 -m-n= -4, 3m+ n 3 = 4, ì î í ïï ï 解得 m= 1, n= 3,{ 所以 y 与 x 的函数解析式为 y = x + 3 x ; (2)把 x= -2 代入得,y= -2+ 3 -2 = - 7 2 . 18. 解:(1)p= 100 S (S>0); (2)400; (3)令 p= 1 000,S= 100 1 000 = 0. 1( m2 ),令 p = 4 000,S = 100 4 000 = 0. 025(m2),∴ 当 1 000<p<4 000 时,受力面积 S 的变化 范围为 0. 025<S<0. 1. 19. 解:(1) ∵ 反比例函数 y = 4 x 的图象过点 A( 1,m),B( n, -2),∴ m = -2n = 4,解得 m = 4,n = -2,∴ A(1,4),B( -2, -2),∵ 一次函数 y = kx+b( k≠0) 的图象过 A 点和 B 点, ∴ k+b= 4, -2k+b= -2,{ 解得 k= 2, b= 2,{ ∴ 一次函数的表达式为 y = 2x +2,描点作图如下: (2) -2<x<0 或 x>1. 20. 解:(1)∵ 正比例函数 y1 = 1 2 x 过点 A(m,2),∴ 1 2 m = 2,解 得 m= 4,∴ A(4,2),∵ 反比例函数 y2 = k x ( x>0)的图象过 点 A(4,2),∴ k 4 = 2,解得 k = 8,∴ 反比例函数的解析式为 y= 8 x ; (2)∵ 将直线 OA 向上平移 3 个单位,∴ 平移后的函数解析 式为 y= 1 2 x+3,∴ y= 1 2 x+3, y= 8 x , ì î í ï ï ï ï 解得 x1 = 2, y1 = 4, { 或 x2 = -8, y2 = -1, { (负 值舍去),∴ C(2,4) . 21. 解:(1)设 y= k x ,把 x= 6,y= 3 代入 y= k x 中得 3 = k 6 ,解得 k = 18,∴ y 关于 x 的函数表达式为 y= 18 x ; (2)把 x= 2 代入 y = 18 x 中,得 y = 18 x = 9,∴ 火焰的像高为 9 cm; (3)由(2),得把 y= 9 代入 y= 18 x 中,得 9 = 18 x ,解得 x= 2,由 y= 18 x 的图象可得:当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小,∴ 若火 焰的像高 y 不超过 9 cm 时,小孔到蜡烛的距离 x 至少是 2 cm. 22. 解:(1)把 B( -1,m)、A(n,1)两点的坐标代入 y= x+4,得 m = -1+ 4 = 3,n+ 4 = 1,n = - 3,∴ B( - 1,3)、A( - 3,1),把 A