第1学期期末综合质量检测卷(二）-【锦上添花】2024-2025学年九年级数学全一册直击考点与单元双测（人教版2012 河南专版）

17　 　 　 　 第一学期期末综合质量检测卷(二) 题　 号 一 二 三 总　 分 得　 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分. 下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1. 若将一元二次方程 3x2 -1 = -x 化成一般形式为 3x2 +bx+c= 0,则 b-c 的值为 (　 　 ) A. 2 B. -3 C. 1 D. -1 2. 一个不透明的袋子中装有 2 个白球和 3 个黑球,这些球除了颜色外无其他差别,从中摸出 3 个球, 下列事件属于必然事件的是 (　 　 ) A. 至少有 1 个球是白球 B. 至少有 1 个球是黑球 C. 至少有 2 个球是白球 D. 至少有 2 个球是黑球 3. 如图,将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 50°后得到△COD,若∠AOB= 20°,则∠AOD 的度数是 (　 　 ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 第 3 题图 　 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 4. 在平面直角坐标系中,将二次函数 y= (x-1) 2 +1 的图象向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个 单位长度,所得函数的解析式为 (　 　 ) A. y= (x-2) 2 -1 B. y= (x-2) 2 +3 C. y= x2 +1 D. y= x2 -1 5. 如图,AB 是☉O 的直径,BC、CD、DA 是☉O 的弦,且 BC=CD=DA,则∠BCD= (　 　 ) A. 105° B. 120° C. 135° D. 150° 6. 如图,在平面直角坐标系中,已知 A( - 4,0)、B(0,3),把△AOB 绕点 A 逆时针旋转 90°后得到 △ACD,则点 D 的坐标是 (　 　 ) A. ( -7,4) B. ( -3,4) C. (4,3) D. ( -7,3) 7. 五一期间,商场推出购物有奖活动:如图,一个可以自由转动的转盘被平均分成六份,其中红色 1 份,黄色 2 份,绿色 3 份,转动一次转盘,指针指向红色为一等奖,指向黄色为二等奖,指向绿色 为三等奖(指针指向两个扇形的交线时无效,需重新转动转盘). 转动转盘一次,获得一等奖的概 率为 (　 　 ) A. 1　 B. 1 6 　 C. 1 3 　 D. 1 2 8. 将关于 a 的一元二次方程 x2 -px+q= 0 变形为 x2 = px-q,就可以将 x2 表示为关于 x 的一次多项式, 从而达到“降次”的目的,又如 x3 = x·x2 = x( px-q ) = …,我们将这种方法称为“降次法”,通过这 种方法可以化简次数较高的代数式. 根据“降次法”,已知:x2 -x-1 = 0,且 x>0,则 x3 +1 的值为 (　 　 ) A. 1+ 5 　 　 B. 1- 5 　 　 C. 3- 5 　 　 D. 3+ 5 9. 二次函数 y1 = ax2 + bx+c(a≠0)和正比例函数 y2 = - 1 3 x 的图象如图所示,则方程 ax2 + b+ 1 3( ) x+c= 0(a≠0)的两根之和 (　 　 ) A. 大于 0　 　 B. 等于 0 　 　 C. 小于 0　 　 D. 不能确定 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x = 1,与 x 轴的一个交点坐标为( -1,0),其部 分图象如图所示,下列结论: ① abc<0;② 4ac<b2;③ 方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根是 x1 = -1,x2 = 3;④ 4a+c>0;⑤ 对于任意实 数 m,总有 am2 +bm≤a+b. 其中正确的个数是 (　 　 ) A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 关于 x 的一元二次方程(k+1)x2 +1 = k2 的一个根是 0,则 k 的值是　 　 　 　 . 12. 当今大数据时代,“二维码”广泛应用于我们的日常生活中,某兴趣小组从某个二维码中开展数 学实验活动. 如图,在边长为 10 cm 的正方形区域内,为了估计图中黑白部分的面积,在正方形区 域内随机掷点,经过大量重复试验,发现点落入黑色部分的频率稳定在 0. 65 左右,据此可以估计 黑色部分的总面积为　 　 　 　 cm2 . 第 12 题图 　 　 　 　 　 　 第 13 题图 　 　 　 　 　 　 第 14 题图 13. 如图,已知二次函数 y1 =ax2 +bx+c 与一次函数 y2 = kx+m 的图象相交于点 A( -5,-3),点 B(3,4), 则关于 x 的方程 ax2 +bx+c= kx+m 的解是　 　 　 　 . 14. 如图,扇形 OBA 的圆心角∠AOB= 120°,将扇形 OBA 沿 AO 方向平移得到扇形 O′B′A′,此时点 A′ 与点 O 重合,A′B′ ( 经过点 B. 若 OA= 2 3 ,则阴影部分的面积为　 　 　 　 . 15. 三角板是我们数学课必备工具之一,小米同学某天上数学拓展课的时候,转动其中一个三角板发 现了一个很奇妙的结论:如图 1,小米将含有 45°角的三角板 ABC 绕点 A 顺时针旋转,当∠BAD< 90°时,延长线段 ED 和线段 CB 使之相交于点 F(如图 2),则 CF-DF 的长始终不变. 若 AB= 5,则 CF-DF 的值为　 　 　 　 . 图 1 　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)下面是小明同学解一元二次方程 2x2 -2 = 3x 的过程,请认真阅读并完成相应的任务: 2x2 -2 = 3x. 解:二次项系数化为 1,得 x2 -1 = 3 2 x,第一步; 移项,得 x2 - 3 2 x= 1,第二步; 配方,得 x2 - 3 2 x+ 9 4 = 1,第三步; 变形,得 x- 3 2( ) 2 = 1,第四步; 开方,得 x- 3 2 = ±1,第五步; 解得 x1 = 1 2 ,x2 = 5 2 ,第六步. (1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程,体现的 数学思想是　 　 　 　 ,其中“配方法”依据的一个数学公式是　 　 　 　 ; (2)上述解题过程,从第　 　 　 　 步开始出现错误,请写出正确的解答过程. 17. (9 分)如图,已知在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A( -2,4),B( -1,1), C( -4,3) . (1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1,并写出点 C1 的坐标; (2)画出将△A1B1C1 绕点 B1 按顺时针方向旋转 90°所得的△A2B1C2; (3)求在(2)的旋转过程中,点 A1 旋转到点 A2 的过程中经过路径的长度(结果保留 π) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18　 18. (9 分)如图,甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数字不 同外,其他完全相同),转盘甲上的数字分别是-3,-1,4,转盘乙上的数字分别是 2,-5,7. (规定: 若指针恰好停留在两个扇形的交线,则重新转动转盘,直到指针指向一个扇形的内部为止) (1)单独转动转盘甲,转盘甲指针指向负数的概率是　 　 　 　 ; (2)分别转动甲、乙两个转盘,待转盘自动停止后,记录各指针指向的数字,请利用列表或画树状 图的方法,求记录的两数字之和为正数的概率. 19. (9 分)如图,要把破残的圆片复制完整,已知弧上的三点 A,B,C. (1)试确定 BAC 所在圆的圆心 O(保留作图痕迹); (2)设△ABC 是等腰三角形,底边 BC= 8 cm,腰 AB= 2 5 cm,求圆片的半径 R. 20. (9 分)已知二次函数 y=ax2 +2ax-m. (1)当 a= 1 时,二次函数 y=ax2 +2ax-m 的图象与 x 轴有两个交点,求 m 的取值范围; (2)若二次函数 y=ax2 +2ax-m 的部分图象如图所示, ① 求二次函数 y=ax2 +2ax-m 图象的对称轴; ② 求关于 x 的一元二次方程 ax2 +2ax-m= 0 的解. 21. (10 分)如图 1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,M,N 分别是斜边 DE,AB 的中点,DE = 2,AB= 4. (1)将△CDE 绕顶点 C 旋转一周,请直接写出点 M,N 距离的最大值和最小值; (2)将△CDE 绕顶点 C 逆时针旋转 120°(如图 2),求 MN 的长. 图 1 　 　 　 　 图 2 22. (10 分)如图 1 所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器. 将发石车置于山坡底部 O 处,以 点 O 为原点,水平方向为 x 轴方向,建立如图 2 所示的平面直角坐标系,将发射出去的石块当作 一个点看,其飞行路线可以近似看作抛物线 y = a(x-20) 2 +k 的一部分,山坡 OA 上有一堵防御 墙,其竖直截面为 ABCD,墙宽 BC = 2 米,BC 与 x 轴平行,点 B 与点 O 的水平距离为 28 米、垂直 距离为 6 米. (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为 10 米; ① 求抛物线的解析式; ② 试通过计算说明石块能否飞越防御墙; (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部 BC 上(包括端点 B、C),求 a 的取值范围. 图 1 　 　 　 　 图 2 23. (11 分)【了解概念】 折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形. 如图 1,线段 PM、MA 组成折 线段 PMA,点 B 在折线段 PMA 上,若 PB=BM+MA,则称点 B 是折线段 PMA 的中点. 【概念应用】 (1)如图 2,☉M 的半径为 2,PA 是☉M 的切线,A 为切点,点 B 是折线段 PMA 的中点. 若∠P = 30°,则 PB 的长为　 　 　 　 ; 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段 PMA 放在圆中,且 P、M、A 三点都在圆上时,就有数学中著名的阿 基米德折弦定理:如图 3,PM 和 MA 是☉O 的两条弦(即折线段 PMA 是圆的一条折弦),PM>AM, C 是 PMA ( 的中点,CB⊥PM,垂足为 B,则 PB =BM+MA. 这个定理有很多证明方法,下面是运用 “截长法”证明 PB=BM+MA 的部分证明过程. 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 　 　 　 图 4 【证明定理】 证明:如图 3,在 PB 上截取 PQ=AM,连接 CP,CQ,CA 和 CM. ∵ C 是 PMA ( 的中点, ∴ CP ( =CA ( , ∴ CP=CA, … (2)请按照上面的证明思路,在图 3 中连接辅助线并写出该证明的剩余部分; 【灵活运用】 (3)如图 4,已知等边三角形 ABC 内接于☉O,D 为弧 AC 上一点,CE⊥BD 于点 E,连接 AD,若 ∠ABD= 15°,CE= 2,请直接写出△DAB 的周长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42　 答:道路的宽是 5 米; (2)设每个车位的月租金上涨 y 元时,停车场的月租金收 入为 10 120 元,由题意,得(200 +y) (50 - y 5 ) = 10 120,整 理,得 y2 -50y+600 = 0,解得 y1 = 20,y2 = 30,∵ 尽可能让利 于居民,∴ y= 20. 答:每个车位的月租金上涨 20 元时,停车场的月租金收入 为 10 120 元. 22. 解:(1)由题意,可设抛物线的解析式为 y= a(x+1) (x-5), 又过点(0,-5),∴ -5 = a×1×( -5),∴ a= 1. ∴ y= (x+1)(x- 5)= x2 -4x-5. ∴ 所求二次函数的表达式为 y= x2 -4x-5; (2)由(1)知 y= x2 -4x-5 = (x-2) 2 -9,∵ a = 1>0,∴ 抛物线 开口向上,对称轴是直线 x = 2,当 x = 2 时,y 取最小值为 -9,又-1≤x≤4,当 x= -1 时,y = 0;当 x = 4 时,y = -5,∴ 当 -1≤x≤4 时,-9≤y≤0. ∴ 此时函数最大值与最小值的差 为 0-( -9)= 9; (3) -2≤n≤0 或 2≤n≤4. 23. 解:(1) 证明:如题图 2 中,根据题意,得 AB = AC,AD = AE, ∠CAB=∠EAD= 90°,∵ ∠CAE+∠BAE = ∠BAD+∠BAE = 90°, ∴ ∠CAE = ∠BAD,在△ACE 和△ABD 中, AC=AB, ∠CAE=∠BAD, AE=AD, ì î í ïï ïï ∴ △ACE≌△ABD(SAS),∴ CE=BD; (2)证明:如题图 3 中,根据题意,得 AB=AC,AD=AE,∠CAB = ∠EAD = 90°, 在 △ACE 和 △ABD 中, AC=AB, ∠CAE=∠BAD, AE=AD, ì î í ïï ïï ∴ △ACE≌ △ABD ( SAS), ∴ ∠ACE = ∠ABD, ∵ ∠ACE + ∠AEC= 90°,且∠AEC = ∠FEB, ∴ ∠ABD + ∠FEB = 90°, ∴ ∠EFB= 90°,∴ CF⊥BD,∵ AB = AC = 2 +1,AD = AE = 1, ∠CAB= ∠EAD= 90°,∴ BC = 2 AB = 2 +2,CD = AC+AD = 2 +2,∴ BC = CD,∵ CF⊥BD,∴ CF 是线段 BD 的垂直平 分线; (3)△BCD 中,边 BC 的长是定值,则 BC 边上的高取最大 值时△BCD 的面积有最大值,∴ 当点 D 在线段 BC 的垂直 平分线上时,△BCD 的面积取得最大值,如图 4,∵ AB = AC = 2 +1,AD = AE = 1,∠CAB = ∠EAD = 90°,DG⊥BC 于 G, ∴ AG= 1 2 BC= 2 +2 2 ,∠GAB= 45°,∴ DG=AG+AD= 2 +2 2 +1 = 2 +4 2 ,∠DAB= 180°-45° = 135°,∴ △BCD 的面积的最大 值为 1 2 BC·DG = 1 2 ( 2 + 2) × 2 +4 2 = 3 2 +5 2 ,旋转角 α = 135°. 图 4 第一学期期末综合质量检测卷(二) 1. A　 2. B　 3. B　 4. D　 5. B　 6. A　 7. B　 8. D　 9. C 10. B　 【解析】①由题意,可得 a<0,- b 2a = 1,c = 3>0,即 a<0,b >0,c>0,∴ abc<0,故①正确;②∵ 该抛物线与 x 轴有两个 交点,∴ b2 -4ac>0,∴ 4ac<b2,故②正确;③∵ 该抛物线的对 称轴为直线 x= 1,与 x 轴的一个交点坐标为( -1,0),由抛 物线的对称性可得该抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是 (3,0),∴ 方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根是 x1 = -1,x2 = 3,故③ 正确;④∵ 该抛物线的对称轴为直线 x= 1,∴ - b 2a = 1,∴ b = -2a,∵ 该抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(-1,0),∴ a-b +c= a-(-2a)+c= 3a+c= 0,∵ a<0,∴ 4a+c= a+(3a+c)= a+ 0 = a<0,即 4a+c<0,故④错误;⑤∵ 该抛物线的对称轴为直 线 x= 1,∴ 该二次函数的最大值为 a+b+c,∴ 对于任意实数 m,总有 am2 +bm+c≤a+b+c,∴ 对于任意实数 m,总有 am2 + bm≤a+b,故⑤正确. 故选:B. 11. 1　 12. 65　 13. x1 = -5,x2 = 3　 14. 2π+3 3 15. 10　 【解析】如图,在 FC 上截取 FG=FD,连接 AG,AF,由题 意,得 ∠ABF = ∠AEF = 90°, AB = AE, 在 Rt △ABF 和 Rt△AEF 中, AF=AF, AB=AE,{ ∴ Rt△ABF≌Rt△AEF(HL),∴ BF =EF,∴ CF-DF = BC+EF -DF = BC +DE +DF -DF = 2BC, ∵ △ABC 是等腰直角三角形,∴ AB =BC = 5,∴ CF-DF = 2× 5 = 10. 故答案为:10. 16. 解:(1)转化思想,完全平方公式; (2)三,x2 -1 = 3 2 x,x2 - 3 2 x = 1,x2 - 3 2 x+ 9 16 = 1+ 9 16 , x- 3 4( ) 2 = 25 16 ,x- 3 4 = ± 5 4 ,x1 = 2,x2 = - 1 2 . 17. 解: ( 1) 如图所示, △A1B1C1 即为所求,点 C1 的坐标为 (4,3); (2)如图所示,△A2B1C2 即为所求; (3 ) ∵ △A1B1C1 绕点 B1 按顺时针方向旋转 90° 得到 △A2B1C2, ∴ ∠A1B1A2 = 90°, ∵ B1A1 = 1 2 +32 = 10 , ∴ A1A2 ( 的长度= 90×π× 10 180 = 10 2 π,即点 A1 旋转到点 A2 的过程中经过路径的长度为 10 2 π. 18. 解:(1) 2 3 ; (2)列表如下: 　 　 乙 甲　 　 2 -5 7 -3 ( -3,2) ( -3,-5) ( -3,7) -1 ( -1,2) ( -1,-5) ( -1,7) 4 (4,2) (4,-5) (4,7) 共有 9 种等可能的结果,其中记录的两数字之和为正数的 结果有:( -3,7),( -1,2),( -1,7),(4,2),(4,7),共 5 种, ∴ 记录的两数字之和为正数的概率为 5 9 . 19. 解:(1)如图 1,圆心 O 即为所求; (2)如图 2,连接 AO 交 BC 于 D,连接 OB,∵ △ABC 是等腰 三角形,∴ DB = DC,AD⊥BC, ∵ AB = AC = 2 5 cm,BC = 8 cm,∴ BD= 4 cm,∴ AD = AB2 -BD2 = 2 cm,∵ OB = OA = R,在 Rt△OBD 中,OB2 =BD2 +OD2,即 R2 = 42 +(R-2) 2,∴ R = 5,即圆片的半径 R 为 5 cm. 图 1 　 　 　 　 图 2 20. 解:(1)当 a= 1 时,y= x2 +2x-m,∵ 当 a= 1 时,二次函数 y = ax2 +2ax-m 的图象与 x 轴有两个交点, ∴ Δ = 22 - 4 × 1 × ( -m) >0,解得 m>-1,即 m 的取值范围是 m>-1; (2)① ∵ y= ax2 +2ax-m = a( x+1) 2 -a-m,∴ 二次函数 y = ax2 +2ax-m 的图象的对称轴是直线 x= -1; ② 由图象可知:二次函数 y = ax2 +2ax-m 的图象与 x 轴交 于点(1,0),由①知,该函数的对称轴为直线 x= -1,∴ 该函 数与 x 轴的另一个交点为( -3,0),∴ 关于 x 的一元二次方 程 ax2 +2ax-m= 0 的解是 x1 = 1,x2 = -3. 21. 解:(1)3,1; (2)连接 CM,CN,作 NH⊥MC 交 MC 延长线于 H,∵ △ACB 是等腰直角三角形,N 是 AB 中点,∴ CN= 1 2 AB = 2,同理可 得 CM = 1 2 DE = 1,∵ △CDE 绕顶点 C 逆时针旋转 120°, ∴ ∠MCN= 120°,∴ ∠NCH = 180°-∠MCN = 60°,∴ ∠CNH = 30°,∴ CH= 1 2 CN= 1,∴ NH = 3 CH = 3 ,∵ MH =MC+CH = 2,∴ MN= MH2 +NH2 = 7 . 22. 解:(1)① 设石块运行的函数解析式为 y = a(x-20) 2 +10, 把(0,0)代入解析式得:400a+10 = 0,解得 a = - 1 40 ,∴ 抛物 线的解析式为:y= - 1 40 (x-20) 2 +10,即 y= - 1 40 x2 +x(0≤x≤ 40); ② 石块能飞越防御墙. 理由如下:把 x = 30 代入 y = - 1 40 x2 + x 得,y= - 1 40 ×900+30 = 7. 5,∵ 7. 5>6,∴ 石块能飞越防御 墙; (2)由题可知 B(28,6),抛物线 y = a(x-20) 2 +k,∴ 把(0, 0),( 28, 6) 代入得 0 = a(0-20) 2 +k, 6 = a(28-20) 2 +k,{ 解得 a = - 1 56 ; 把 C(30,6),(0,0)代入解析式得 0 = a(0-20) 2 +k, 6 = a(30-20) 2 +k,{ 解得 a = - 1 50 ,∴ a 的取值范围为- 1 50 ≤a≤- 1 56 . 23. 解:(1)3; (2)证明:如图 3,在 PB 上截取 PQ = AM,连接 CP,CQ,CA 和 CM. ∵ C 是 PMA ( 的中点,∴ CP ( = CA ( . ∴ CP = CA. ∵ CM ( = CM ( ,∴ ∠CPM = ∠MAC,∴ △CPQ≌△CAM( SAS),∴ CQ = CM,∵ BC⊥QM,∴ QB=MB,∴ PB=PQ+QB=BM+MA; (3)4+2 2 . 　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC =BC = AB,∠ABC = 60°, ∴ C 是 ACB ( 的 中 点, ∵ ∠ABD = 15°, ∴ ∠CBE= ∠ABC - ∠ABD = 45°,∵ CE⊥BD,∴ ∠ECB = ∠EBC= 45°,∴ CE=BE= 2,∴ BC= 2 2 ,根据阿基米德折线 原理,BE=DE+AD= 2,∴ △ABD 的周长 = AD+BD+AB = AD+ DE+EB+AB=BC+2BE= 4+2 2 . 图 3 　 九年级数学(下) RJ　 第二十六章　 反比例函数 1. C　 2. C　 3. A　 4. B　 5. B　 6. B　 7. C　 8. D　 9. B 10. D　 【解析】∵ 每个台阶的高和宽分别是 1 和 2,∴ T1(8, 1),T2(6,2),T3(4,3),T4(2,4),∴ 当函数 y = k x ( x>0)过 点 T1(8,1),T4(2,4)时,k = 8,当函数 y = k x (x>0)过点 T2 (6,2),T3(4,3)时,k = 12,∴ 若曲线 L 使得 T1 ~ T4 这些点 分布在它的两侧,每侧各 2 个点时,k 的取值范围是:8<k< 12. 故选:D. 11. >　 12. m<-2　 13. -6　 14. 12 15. 8 3 　 【解析】∵ 一次函数 y= 1 3 x-2 的图象分别交 x 轴、y 轴 于点 A、B,∴ A(6,0),B(0,-2),∵ PC 是△AOB 的中位线, ∴ 点 C 是线段 OA 的中点,即 C(3,0),PC = 1,∵ PC∥y 轴, ∴ QP⊥x 轴,∴ 点 Q 的横坐标为 3,设其纵坐标为 y,则 1 2 OC·y= 5 2 ,即 1 2 ×3y= 5 2 ,解得 y= 5 3 ,∴ Q 3, 5 3( ) ,∴ PQ = 5 3 +1 = 8 3 . 故答案为: 8 3 . 16. 解:(1)∵ 反比例函数 y = 1-k x 的图象经过 A(2,-4),∴ 1-k = 2×( -4),∴ k= 9; (2)∵ k= 9,∴ 反比例函数 y= 1-k x = - 8 x ,把 x= -1 代入反比 例函数解析式 y= - 8 x 得,y= 8≠5,所以点 B( -1,5)不在这 个函数的图象上. 17. 解:( 1) 设 y1 = mx, y2 = n x ,则 y = mx + n x ,根据题意,得 -m-n= -4, 3m+ n 3 = 4, ì î í ïï ï 解得 m= 1, n= 3,{ 所以 y 与 x 的函数解析式为 y = x + 3 x ; (2)把 x= -2 代入得,y= -2+ 3 -2 = - 7 2 . 18. 解:(1)p= 100 S (S>0); (2)400; (3)令 p= 1 000,S= 100 1 000 = 0. 1( m2 ),令 p = 4 000,S = 100 4 000 = 0. 025(m2),∴ 当 1 000<p<4 000 时,受力面积 S 的变化 范围为 0. 025<S<0. 1. 19. 解:(1) ∵ 反比例函数 y = 4 x 的图象过点 A( 1,m),B( n, -2),∴ m = -2n = 4,解得 m = 4,n = -2,∴ A(1,4),B( -2, -2),∵ 一次函数 y = kx+b( k≠0) 的图象过 A 点和 B 点, ∴ k+b= 4, -2k+b= -2,{ 解得 k= 2, b= 2,{ ∴ 一次函数的表达式为 y = 2x +2,描点作图如下: (2) -2<x<0 或 x>1. 20. 解:(1)∵ 正比例函数 y1 = 1 2 x 过点 A(m,2),∴ 1 2 m = 2,解 得 m= 4,∴ A(4,2),∵ 反比例函数 y2 = k x ( x>0)的图象过 点 A(4,2),∴ k 4 = 2,解得 k = 8,∴ 反比例函数的解析式为 y= 8 x ; (2)∵ 将直线 OA 向上平移 3 个单位,∴ 平移后的函数解析 式为 y= 1 2 x+3,∴ y= 1 2 x+3, y= 8 x , ì î í ï ï ï ï 解得 x1 = 2, y1 = 4, { 或 x2 = -8, y2 = -1, { (负 值舍去),∴ C(2,4) . 21. 解:(1)设 y= k x ,把 x= 6,y= 3 代入 y= k x 中得 3 = k 6 ,解得 k = 18,∴ y 关于 x 的函数表达式为 y= 18 x ; (2)把 x= 2 代入 y = 18 x 中,得 y = 18 x = 9,∴ 火焰的像高为 9 cm; (3)由(2),得把 y= 9 代入 y= 18 x 中,得 9 = 18 x ,解得 x= 2,由 y= 18 x 的图象可得:当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小,∴ 若火 焰的像高 y 不超过 9 cm 时,小孔到蜡烛的距离 x 至少是 2 cm. 22. 解:(1)把 B( -1,m)、A(n,1)两点的坐标代入 y= x+4,得 m = -1+ 4 = 3,n+ 4 = 1,n = - 3,∴ B( - 1,3)、A( - 3,1),把 A