精品解析：四川省成都市九县区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024～2025学年度上期高中2024级期中考试 数 学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列四个命题中的真命题有（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，则 ④若，则 A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为，则（ ） A. 2 B. －2 C. －1 D. 1 6. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 7. 高一某班共有45名学生，该班参加数学强基班的学生有25人，参加物理强基班的学生有18人，既参加数学强基班又参加物理强基班的学生有8人，则既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（ ） A. 10人 B. 11人 C. 12人 D. 13人 8. 集合的所有子集中的元素之和为（ ） A. 126 B. 128 C. 130 D. 132 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数的最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 从集合到集合的函数有个 B. 已知，，对，使得成立，则实数的取值范围为 C. 已知实数x，y，z，记，则的最小值为 D. 已知，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为偶函数，则实数______． 13. 已知集合，，且，则实数______． 14. 已知函数且关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且． （1）求xy的最大值； （2）求的最小值． 16. 已知集合，集合． （1）求集合； （2）若集合C为关于x的不等式的解集，且是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17. 已知函数． （1）求函数的表达式和值域； （2）根据函数单调性的定义证明函数在区间上为增函数，若在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 18. 已知二次函数满足，，函数． （1）求函数的表达式并解关于x的不等式； （2）求函数在区间上的最小值的表达式，若对任意，都有成立，求实数m的取值范围． 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是． （1）已知函数，且，求的值； （2）证明函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度上期高中2024级期中考试 数 学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举法表示出集合，利用交集概念求出答案. 【详解】集合，， 则. 故选：B． 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题“，”，则其否定为“，” 故选：D 3. 下列四个命题中的真命题有（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，则 ④若，则 A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①④：根据不等式的性质即可判断；对于②③：举反例说明即可. 【详解】对于①：若，，根据同向可加性可得：，故①为真命题； 对于②：例如，满足，，但，故②为假命题； 对于③：例如，若，则，故③为假命题； 对于④：若，显然，可得，故④为真命题； 综上所述：真命题有①④. 故选：C. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明函数为奇函数，确定函数图象关于原点对称，排除AC，再通过计算，确定正确选项. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，选项AC错误； 又，所以选项B错误. 选项D满足以上特征. 故选：D． 5. 函数的定义域为，则（ ） A. 2 B. －2 C. －1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 6. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求出，再求出即可得解. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以得， 所以，故， 则， 故选：C． 7. 高一某班共有45名学生，该班参加数学强基班的学生有25人，参加物理强基班的学生有18人，既参加数学强基班又参加物理强基班的学生有8人，则既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（ ） A. 10人 B. 11人 C. 12人 D. 13人 【答案】A 【解析】 【分析】利用图结合集合的运算即可求解. 【详解】 由图可知，既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（人）， 故选：A． 8. 集合的所有子集中的元素之和为（ ） A. 126 B. 128 C. 130 D. 132 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据偶函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，A正确； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，B错误； 对于C，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，C正确； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故，，， 所以函数不是偶函数，D错误； 故选：AC. 10. 下列函数的最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式的应用条件“一正、二定、三相等”，对选项逐一验证即可得出结论. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，，当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，化简可得，当且仅当时，等号成立，故C正确； D选项，易知，当，即时，等号成立，最小值为，故D错误， 故选：BC． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 从集合到集合的函数有个 B. 已知，，对，使得成立，则实数的取值范围为 C. 已知实数x，y，z，记，则的最小值为 D. 已知，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用函数的定义即可求解；对于B，对，使得成立，，分别求出的最小值，即可求出实数的取值范围；对于C，利用不等式的性质即可求解；对于D，首先推理出当时，是周期为的函数，再求的值即可. 【详解】对于A选项，集合中每个元素都有种对应方法，则共（种）， 即从集合到集合的函数有个，故A正确； 对于B选项，由，则， 对于，，令， 则，当时，，即， 由题意，即，解得，故B正确； 对于C选项，， 可得，即，当时，的最小值为，故C错误； 对于D选项，由，，，，， 可知当时，是周期为的周期函数， 故，则，故D正确， 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：对于选项B，关键是由对，使得成立，，将恒成立问题转化为最值问题；对于选项D，关键是推理出当时，是周期为的周期函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为偶函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求解即得. 【详解】由函数为偶函数，得， 当时，，， 而当时，，则，即， 当时，，，符合题意， 所以. 故答案为：3 13. 已知集合，，且，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性求的值. 【详解】，或，由互异性，. 故答案为：． 14. 已知函数且关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与单调性去函数符号解含参一元二次不等式即可. 【详解】易知，即为奇函数， 由幂函数的单调性知在R上是增函数， 所以， 则得在R上恒成立， 若时，显然不成立， 若时，显然恒成立成立， 若时，则当且仅当时成立， 综上：实数k的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，且． （1）求xy的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用基本不等式得到，求出；方法二：由得到，，求出的最大值为； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【小问1详解】 方法一：∵，，， ∴，当且仅当，即，时等号成立， ∴，∴，的最大值为； 方法二：，解得， ，， 当时，的最大值为，此时； 【小问2详解】 ∵， 又∵，，∴，， ∴，当且仅当时等号成立， ∵，∴，，∴， ∴当，时，的最小值为9． 16. 已知集合，集合． （1）求集合； （2）若集合C为关于x的不等式的解集，且是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式运算求集合，进而可得并集； （2）根据不等式运算求集合，分析可知集合是集合的真子集，根据包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 令，解得，可得， 令，解得，可得， 所以； 【小问2详解】 因为，解得或，可得或， 因为是的必要不充分条件，可知集合是集合的真子集， 可得或，解得或， 所以实数a的取值范围为． 17. 已知函数． （1）求函数的表达式和值域； （2）根据函数单调性的定义证明函数在区间上为增函数，若在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明：设， 则 ， ∵，∴，，， ∴，∴， ∴函数在区间上为增函数， 由题意在区间上恒成立， ∵在区间上为增函数，∴， ∴，，∴实数m的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）首先根据换元法求解函数解析式，然后对与两种情况进行分类讨论，通过均值不等式求解函数值域； （2）首先通过取值、作差和变形、定符号等步骤，结合函数单调性的定义证明函数单调性，然后利用函数单调性求解函数的最大值，进而根据恒成立的要求求解参数取值范围即可. 【小问1详解】 （1）令，，，则， ∴，∴， 当时，，当时等号成立， 当时，， ，当时等号成立，∴函数的值域为； 【小问2详解】 略 18. 已知二次函数满足，，函数． （1）求函数的表达式并解关于x的不等式； （2）求函数在区间上的最小值的表达式，若对任意，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1），当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为. （2）， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数的解析式，分情况讨论解不等式. （2）先求的表达式，再把，转化成，从而求m的取值范围. 【小问1详解】 设，∵，， ∴. ∴， ∴， ， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 当即时，， 当即时，， 当即时，， 综上. 由题意得，∴或或 解得或或，∴， ∴实数m的取值范围为． 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是． （1）已知函数，且，求的值； （2）证明函数图象的对称中心为； （3）已知函数，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：∵， 令，则 ∵，定义域关于原点对称，， ∴为奇函数. ∴函数图象的对称中心为 （3） 【解析】 【分析】（1）由知，，根据易求的值； （2）根据题意，要证函数图象的对称中心为 ，只需证，其中是奇函数； （3）通过待定系数法求出函数的对称中心，得到，进而利用倒序相加法求得解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，∴，∴； ∵函数为奇函数，∴函数的图象关于点对称， ∴，∴，∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，∴， ∴，∴∴，， ∴函数有对称中心，∴， 令，， 相加得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $