精品解析：陕西省榆林市第十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

榆林市第十四中学2024年高一秋季学期期中 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数若对，且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知，均为正数，，则的最小值是（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 8. 已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分选错的得0分． 9. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（ ） A. 集合的真子集有个 B. C. D. ， 11. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（ ） A. 方程有且仅有3个解 B. 方程有且仅有3个解 C. 方程有且仅有5个解 D. 方程有且仅有1个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 满足的集合的个数为__________. 13. 若是幂函数，则______． 14. 若实数，且满足，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若，请写出集合的所有子集； （2）若集合，且，求的取值范围. 16. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围． 17. 已知. （1）当时，若同时成立，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 （1）请用表示； （2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 19. 已知是定义在上的单调递增函数，且. （1）解不等式； （2）若对和恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市第十四中学2024年高一秋季学期期中 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可. 【详解】集合或，所以. 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出使函数有意义 的自变量范围． 【详解】由，解得或． 用区间表示对应D选项. 故选：D． 3. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】判断出命题的真假，即可得以及的真假，即得答案. 【详解】因为当时，成立，故命题为真命题，为假命题； 当时，，故命题：，为假命题，为真命题. 故选：B 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由，得且，所以“”可以得到“”； 由，得，所以“”不能得到“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 设函数若对，且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数在上单调递减可得关于的不等式组，进而可得的取值范围. 【详解】因为函数对，且，都有， 可得是上的减函数， 所以有解得. 故选：A. 6. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以，所以，所以， 所以，故. 故选：D 7. 已知，均为正数，，则的最小值是（ ） A. 1 B. 4 C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，利用“1”的妙用运用基本不等式可得. 【详解】因为， 所以，即， 因，均为正数，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：B 8. 已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数经过的点可得，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设 ，令， 由于在区间上单调递增，在上单调递减， 在区间上的最大值是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分选错的得0分． 9. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,的定义域为的定义域为，两函数的定义域不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同， 因为，所以两函数的对应关系不相同，所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同， 所以是同一个函数，故C正确； 对于D，的定义域为的定义域为，两函数的定义域相同，而且两函数的对应关系相同， 所以两函数是同一个函数，故D正确. 故选:CD. 10. 已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（ ） A. 集合的真子集有个 B. C. D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个判断A，依题意可得，即可判断B，根据，判断C，由判断D. 【详解】对于A：因为含有个元素，则集合的真子集有个，故A正确； 对于B：因为且，所以，则，故B错误； 对于C：因为， 显然，，所以不是的子集，故C错误； 对于D：依题意， 所以，显然，故D错误. 故选：BCD 11. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（ ） A. 方程有且仅有3个解 B. 方程有且仅有3个解 C. 方程有且仅有5个解 D. 方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 满足的集合的个数为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据子集的定义以及包含关系即可列举求解. 【详解】因为，所以可以为，共计3个. 故答案为：3 13. 若是幂函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的系数为，常数项为，即可得，代入计算即可求得结果. 【详解】根据幂函数定义可知，所以， 所以. 故答案为： 14. 若实数，且满足，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知是方程的两个根，利用韦达定理求解即可. 【详解】根据题意可知是方程的两个根， 所以，， 则， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若，请写出集合的所有子集； （2）若集合，且，求的取值范围. 【答案】（1）、、、 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. 【小问2详解】 解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过原点与点． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，其中，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式； （2）由函数在区间上取到函数的最小值，得对称轴与区间的关系，建不等式求解即可. 【小问1详解】 由二次函数的图象关于直线对称， 可设，， 则解得 ∴的解析式为． 【小问2详解】 由题知，的对称轴为，且． ∵在区间上的最小值为， ∴，又，解得， 即实数m的取值范围为． 17. 已知. （1）当时，若同时成立，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简，当时，解出，求它们的交集即可； （2）是的充分不必要条件，即所对应的集合所对应的集合，结合包含关系，即可求. 【小问1详解】 当时，，即， ，即， 若同时成立，则， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 即， ①当时，， 若是的充分不必要条件，则，解得； ②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 18. 某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 （1）请用表示； （2）求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 【答案】（1） （2）总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 【解析】 【分析】（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式； （2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 前面墙的长度为米， 总报价，其中. 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 19. 已知是定义在上的单调递增函数，且. （1）解不等式； （2）若对和恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）由，不等式，化为，结合单调性，即可求； （2） 恒成立问题较为最值问题，即在恒成立，进而转化为求在恒成立，对和讨论即可. 【小问1详解】 是定义在上的单调递增函数，且， 则，即. 有,解得， 故所求解集为. 【小问2详解】 在上单调递增， 当时，. 问题转化为， 即，对成立. 接下来求的取值范围. 设， ①若，则，对成立； ②若，则是关于的一次函数，要使，对成立，必须，且， 或. 或或，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $