精品解析：辽宁省大连市第九中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

九中教育集团2024-2025学年度第一学期九年级阶段练习（2） （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间100分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、， 未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 2. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键． 【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； B.一般的直角三角形不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意； C.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； 故选：C． 3. 反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，即可判断． 【详解】解：根据题意，， 解得， 故选：D． 4. 把一元二次方程化成的形式，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式． 【详解】解： 移项得：， 配方得：， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，解题关键是掌握完全平方式以及配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，得． 故选C． 6. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ） A. －3 B. 2 C. 3 D. －4 【答案】C 【解析】 【分析】设方程的一个根＝1，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设方程的一个根＝1，另一个根为，根据题意得： ＝3， 将＝1代入，得＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键． 7. 如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中与几何图形面积的计算，根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象与几何图形的面积的关系可得，，且反比例函数图象在第一象限，即， ∴， 解得，， 故选：C ． 8. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为，过点作于点，交于点，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可．本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设圆心为，过点作于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，， 在中， 即： 解得：， 故选：B． 9. 学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行一次比赛），共进行了28场比赛，设参加这次比赛的队有个，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数x（x−1），由此可得出方程． 【详解】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 13. 若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数系数得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴． 故答案为：3 14. 如图，的半径为，，则弦的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用半径相等可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质易得． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，根据题意得到为等边三角形是解题的关键． 15. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点C的坐标为，点P在抛物线上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，轴于点，可证明，则，将点代入抛物线解析式，即可求得点坐标，进一步求得，即可求得点的坐标． 【详解】解：令，则， 解得或， ，， 过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 解得或（舍去）， ， ，， 点的坐标为，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是明确点的横、纵坐标相等． 三、解答题（本大题含8道小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴ ∴； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． 17. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的解析式，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法将A，B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论； （2）利用抛物线解析式求得点C坐标，利用点的坐标表示出线段，，的长度，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 18. 为进一步发展基础教育，自2022年以来，某县加大了教育经费的投入，2022年该县投入教育经费2000万元，2024年投入教育经费2880万元，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 【答案】两年该县投入教育经费的年平均增长率为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，则2023年该县投入教育经费万元，2024年投入教育经费万元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：两年该县投入教育经费的年平均增长率为． 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）不等式的解集为或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）将点A，点B坐标代入反比例函数解析式可求n的值，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象可求不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴点， 根据题意得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：观察图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：或． 20. 如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径是 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 21. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】（1）喷出水的最大射程为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 22. 如图，是等边三角形，点D在外，． 操作：将线段绕点D顺时针旋转，点C的对应点E刚好落在的延长线上． （1）请补全图形； （2）求证：； （3）延长交于点F，猜想线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3），证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据是等边三角形，得出，根据，得出，再结合三角形内角和定理得出，，即可证明． （3）在上截取，连接．根据是等边三角形，得出，根据，得出、四点共圆， 根据圆周角定理得出．证明，得出．根据，得出是等边三角形，从而得出，即可解答． 【小问1详解】 解：补全图形如图． 【小问2详解】 证明：如图所示， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ． ∴， ， ∴． 【小问3详解】 解：． 在上截取， 连接． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴、四点共圆， ∵， ∴． ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ． ∵， ∴是等边三角形， ， ． 【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，圆周角定理，四点共圆等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出图形和辅助线． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立 ，依题意得出得出 ．分三种情况：当，当时， 当时，求解即可 【小问1详解】 解：①联立，解得：， ∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ③联立，即， 解得： 故②不合题意； ④联立，解得：， ∴二次函数图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确； 综上分析可知，正确的是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解： 解得： 依题意经过，则① 联立 ∴ ∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点， ∴② 联立①②得 解得： ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：联立 即 依题意，， ∴ ∴， 当，即时，在处，w有最小值， ∴，解得：（舍去），（舍去）， 当时，即时，w有最小值1， ∴存在常数，使得时，w的最小值恰好等于t，符合题意； 当时，在处，w有最小值t， ∴，解得：（舍去），， 综上所述：或 【点睛】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九中教育集团2024-2025学年度第一学期九年级阶段练习（2） （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间100分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ） A 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 正五边形 3. 反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 6 4. 把一元二次方程化成的形式，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ） A. －3 B. 2 C. 3 D. －4 7. 如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（ ） A. B. C. 3 D. 8. 把球放在长方体纸盒内，球一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（　　） A. B. C. D. 9. 学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行一次比赛），共进行了28场比赛，设参加这次比赛的队有个，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 某个亮度可调节台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 13. 若函数图象经过点和，则m的值为______． 14. 如图，的半径为，，则弦的长为_____． 15. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点C的坐标为，点P在抛物线上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为________． 三、解答题（本大题含8道小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）求的面积． 18. 为进一步发展基础教育，自2022年以来，某县加大了教育经费的投入，2022年该县投入教育经费2000万元，2024年投入教育经费2880万元，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 20. 如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 21. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 22. 如图，是等边三角形，点D在外，． 操作：将线段绕点D顺时针旋转，点C的对应点E刚好落在的延长线上． （1）请补全图形； （2）求证：； （3）延长交于点F，猜想线段之间的数量关系，并证明． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $