1.10有理数的除法（提升练）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 1.10 有理数的除法 1．计算 4 ÷ − 1 2 的结果是（ ） A．−8 B．−2 C．2 D．8 2．一个数与−4的乘积等于 1 3 5 ，这个数是（ ） A．2 5 B．− 2 5 C．5 2 D．− 5 2 3．下列运算，结果正确的是（ ） A．−7 ÷ 7 = 1 B．7 ÷ − 1 7 =− 1 49 C．−36 ÷ −9 = 4 D． − 3 10 ÷ − 3 5 = 2 【变式】下列运算正确的是（ ） 考点 1：有理数的除法计算 考点 2：新定义运算 考点 3：混合运算 【高效学】有专题视频讲解哦！ 考点 4：有理数除法的应用 考点 5：绝对值的化简 考点 1 有理数的除法计算 模块导航 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． −72 8 9 ÷ 8 =− 9 1 9 B．15 × 2 3 + −12 × 2 3 =− 18 C． 1 − 1 2 − 1 3 × 0 = 1 6 D．4 ÷ 2 − 1 2 =− 6 1．定义一种新运算：� ∗ � = �+� � ，请你根据这一运算规则计算：2 ∗ ( − 3) = ； 2．定义一种新运算：� ∗ � = �+2� � ，如 2 ∗ 1 = 2+2×1 2 = 2，则 4 ∗ 2 ∗ −1 = ． 1．计算： −6 × −4 ÷ −3 × 2． 【变式】计算：8 × − 5 3 × −0.25 ÷ − 5 6 . 2．4 7 ÷ −2 2 5 + 4 7 × 5 12 − 2 3 ÷ 2 【变式】计算： 14.8 + 6 2 7 − 4.5 × 1 3 25 ÷ 2 2 3 3．阅读下列材料，并解答问题： 材料一：乘积为 1 的两个数互为倒数，如� � 和 � � ，即若设� ÷ � = �，则� ÷ � = 1 � ； 材料二：分配律： � + � � = �� + ��； 利用上述材料，请用简便方法计算： − 1 60 ÷ 1 3 − 1 4 + 1 12 ． 考点 2 新定义问题 考点 3 混合运算 【高效学】有专题视频讲解哦！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 4．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似 的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： 1 2 − 1 3 = 3 2×3 − 2 3×2 = 3−2 6 = 1 6 ，我们将上述计算过程倒过来，得到 1 6 = 1 2×3 = 1 2 − 1 3 ，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类 似地，对于 1 4×6 可以用裂项的方法变形为： 1 4×6 = 1 2 1 4 − 1 6 .类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出： 1 �× �+1 =______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算： 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 99×100 ； 【迁移应用】（3）探究并计算： 1 −1×3 + 1 −3×5 + 1 −5×7 + 1 −7×9 +⋯+ 1 −2021×2023 ． 1．国庆小长假，某旅游景区在 9 月 30 日接待游客人数是 0.9 万人，接下来的七天中，每天的接待游客人数 变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10 月 1 日 10 月 2 日 10 月 3 日 10 月 4 日 10 月 5 日 10 月 6 日 10 月 7 日 人数变化（万人） +3.1 +1.78 −0.58 −0.8 −1 −1.6 −1.11 (1)7 天假期里，哪天的游客人数最多？是多少万人？哪天游客人数最少？是多少万人？ (2)7 天假期平均每天的游客是多少万人？ 2．有 20筐白菜，以每筐 25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） −3 −2 −1 0 1.5 3 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价 2.61元，则出售这 20筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 考点 5 绝对值的化简 考点 4 有理数除法的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 1．如果� < � < 0，那|�| � + |��| �� 化简的结果为 ． 2．若��� > 0，化简|�| � + � |�| + |�| � + ��� |���| 结果是 ． 3．已知实数 a，b，c，则化简|�| � + � |�| + |�| � + 3 × ��� |���| 结果是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 1.10 有理数的除法 1.【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，直接根据有理数除法计算法则求解即可． 【详解】解：4 ÷ − 1 2 = 4 × −2 =− 8． 故选：A． 2.【答案】B 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，两数相除，同号得正，异号得 负，并把绝对值相除． 根据有理数的除法法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： 1 3 5 ÷ −4 =− 2 5 ； 故选：B． 考点 1：有理数的除法法则运算 考点 2：新定义运算 考点 3：混合运算 【高效学】有专题视频讲解哦！ 考点 4：有理数除法的应用 考点 5：绝对值的化简 考点 1 有理数的除法法则运算 模块导航 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3.【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键．根据有理数的两个除法法则进行计算 即可作出判断． 【详解】解：A、−7 ÷ 7 =− 1 ≠ 1，故计算错误； B、7 ÷ − 1 7 =− 49 ≠− 1 49 ，故计算错误； C、−36 ÷ −9 = 4，故计算正确； D、 − 3 10 ÷ − 3 5 = 3 10 × 5 3 = 1 2 ≠ 2，故计算错误； 故选：C． 【变式】 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律，有理数的除法计算，有理数四则运算，熟知相关计算法则 是解题的关键． 【详解】解；A、 −72 8 9 ÷ 8 =− 72 ÷ 8 + − 8 9 ÷ 8 =− 9 − 1 9 =− 9 1 9 ，原式计算正确，符合题意； B、15 × 2 3 + −12 × 2 3 = 10 − 8 = 2，原式计算错误，不符合题意； C、 1 − 1 2 − 1 3 × 0 = 0，原式计算错误，不符合题意； D、4 ÷ 2 − 1 2 = 4 ÷ 3 2 = 8 3 ，原式计算错误，不符合题意； 故选 A． 1.【答案】1 3 【分析】代入新定义运算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：2 ∗ −3 = 2−3 −3 = 1 3 ． 考点 2 新定义问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故答案为： 1 3 【点睛】本题考查了新定义下的有理数混合运算，理解新运算的定义是解题关键． 2.【答案】0 【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，先根据新定义计算出 4 ∗ 2 = 2，然后再根据新定义计算 2 ∗ −1 即可． 【详解】解：∵x ∗ y = x+2y x ， ∴4 ∗ 2 = 4+2×2 4 = 2，2 ∗ −1 = 2+2× −1 2 = 0． 故 4 ∗ 2 ∗ −1 = 0． 故答案为：0． 1.【答案】−16 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是熟记有理数混合运算的顺序，运算法则与运算定律． 先确定符号，再根据有理数乘除混合运算法则进行计算． 【详解】解： −6 × −4 ÷ −3 × 2 =− 24 ÷ 3 × 2 =− 8 × 2 =− 16． 【变式】 【答案】−4 【分析】本题主要考查有理数乘除法混合运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：8 × − 5 3 × −0.25 ÷ − 5 6 = 8 × − 5 3 × − 1 4 × − 6 5 考点 3 混合运算 【高效学】有专题视频讲解哦！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 =− 4 2.【答案】− 1 3 【分析】首先将带分数化成假分数，再进行乘除运算，最后计算加减运算． 【详解】原式= 4 7 × ( − 5 12 ) + 4 7 × 5 12 − 2 3 × 1 2 ， =− 2 3 × 1 2 ， =− 1 3 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则，在化简过程中注意同 类项的合并． 【变式】 【答案】6.3 【分析】题目主要考查有理数的混合运算，先运用乘法运算律计算，然后计算中括号中的，再计算除法运 算即可，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【详解】解： 14.8 + 6 2 7 − 4.5 × 1 3 25 ÷ 2 2 3 = 14.8 + 6 2 7 − 9 2 × 28 25 × 3 8 = 14.8 + 44 7 × 28 25 − 9 2 × 28 25 × 3 8 = (14.8 + 2) × 3 8 = 16.8 × 3 8 = 6.3 3.【答案】− 1 10 【分析】设 a =− 1 60 ，b = 1 3 − 1 4 + 1 12 ，先求得 b ÷ a的值，再由倒数关系 a ÷ b = 1 b÷a 即可解答； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【详解】解：设 a =− 1 60 ，b = 1 3 − 1 4 + 1 12 ， b ÷ a = 1 3 − 1 4 + 1 12 ÷ − 1 60 = 1 3 − 1 4 + 1 12 × −60 = 1 3 × −60 + − 1 4 × −60 + 1 12 × −60 =− 20 + 15 − 5 =− 10， ∵a ÷ b和 b ÷ a互为倒数， ∴a ÷ b = 1 b÷a =− 1 10 ， ∴ − 1 60 ÷ 1 3 − 1 4 + 1 12 =− 1 10 ； 【点睛】本题考查了倒数，乘法分配律，有理数的混合运算；当 a ÷ b较难计算而 b ÷ a较易计算时，可以 利用倒数关系来简化运算． 4.【答案】（1）1 n − 1 n+1 ；（2） 99 100 ；（3）− 1011 2023 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1） 1 n× n+1 = 1 n − 1 n+1 ， 故答案为： 1 n − 1 n+1 ； （2）由（1）得： 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 +⋯ + 1 99 − 1 100 = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 + ⋯+ 1 99 − 1 100 = 1 − 1 100 = 99 100 ； （3） 1 −1×3 + 1 −3×5 + 1 −5×7 + 1 −7×9 + . . . + 1 −2021×2023 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 =− 1 2 × 2 1 × 3 + 2 3 × 5 + 2 5 × 7 + 2 7 × 9 + … + 2 2021 × 2023 =− 1 2 × 1 − 1 3 + 1 3 − 1 5 + 1 5 − 1 7 + 1 7 − 1 9 + … + 1 2021 − 1 2023 =− 1 2 × 1 − 1 2023 =− 1 2 × 2022 2023 =− 1011 2023 ． 1.【答案】(1)10 月 2 日的人数最多，为 5.78 万人，10 月 7 日的人数最少，为 0.69 万人 (2)3.61 万人 【分析】本题考查有理数运算的实际应用： （1）求出每一天的游客数量，即可得出结果； （2）用游客总量除以 7 进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，10 月 1 日的人数为：0.9 + 3.1 = 4 万人； 10 月 2 日的人数为：4 + 1.78 = 5.78万人； 10 月 3 日的人数为：5.78 − 0.58 = 5.2万人； 10 月 4 日的人数为：5.2 − 0.8 = 4.4万人； 10 月 5 日的人数为：4.4 − 1 = 3.4万人； 10 月 6 日的人数为：3.4 − 1.6 = 1.8万人； 10 月 7 日的人数为：1.8 − 1.11 = 0.69万人； 故 10 月 2 日的人数最多，为 5.78 万人，10 月 7 日的人数最少，为 0.69 万人； （2） 4 + 5.78 + 5.2 + 4.4 + 3.4 + 1.8 + 0.69 ÷ 7 = 3.61万人． 2.【答案】(1)6千克； (2)14千克，25.7千克； (3)1341.5元． 考点 4 有理数除法的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【分析】（1）用差值最大的数减去最小的数即可求解； （2）用差值乘以框数，求出它们的和，进行判断即可，进而可求出每筐白菜的平均质量； （3）用总质量乘以每千克的售价，进行求解即可． 本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，最重的一筐比最轻的一筐重 3 − −3 = 6 千克； （2）解：−3 × 1 + −2 × 4 + −1 × 2 + 0 × 3 + 1.5 × 2 + 3 × 8 = 14， ∴与标准重量比较，20筐白菜总计超过 14千克， ∴每筐白菜的平均质量 25 + 14 ÷ 20 = 25.7千克； （3）解：25.7 × 20 × 2.61 ≈ 1341.5元， 答：出售这 20筐白菜可卖 1341.5元． 1.【答案】0 【分析】根据已知条件可得 xy > 0，根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：∵x < y < 0，则 xy > 0 ∴ |x| x + |xy| xy =− 1 + 1 = 0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数乘、除法法则，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 2.【答案】4或 0 【分析】根据绝对值的性质进行分类讨论，即可解答． 【详解】∵abc＞0，∴负因数的个数有 0 个或 2 个． ①当负因数的个数有 0 个时，a，b，c均大于 0，原式=1+1+1+1=4； ②当负因数的个数有 2 个时，a，b，c 中只有一个大于 0 时，不妨设 a＞0，则 b＜0，c＜0，原式=1﹣1﹣1+1=0． 故答案为 4 或 0． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据绝对值的性质，进行分类讨论． 考点 5 绝对值的化简 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 3.【答案】±2或±6 【分析】根据绝对值的性质进行分类讨论即可解答． 【详解】解：①a，b，c 均大于 0 时， 原式= 1 + 1 + 1 + 3 = 6； ②a，b，c 中只有一个大于 0，不妨设 a > 0，则 b < 0，c < 0， 原式= 1 − 1 − 1 + 3 = 2； ③a，b，c 中有两个大于 0，不妨设 a > 0，b > 0，则 c < 0 原式= 1 + 1 − 1 − 3 =− 2； ④a，b，c 均小于 0 时， 原式=− 1 − 1 − 1 − 3 =− 6． 故答案为：±2或±6． 【点睛】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是根据绝对值的性质，进行分类讨论．