专题3.3 勾股定理全章培优测试卷（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

第3章 勾股定理全章培优测试卷 【苏科版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各组数据是勾股数的是（　　） A．，， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41 2．（3分）下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①∠A+∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a＝m2+1，b＝m2﹣1，c＝2m（m为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（　　） A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 3．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　） A．29 B．32 C．36 D．45 5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AB＝10，AD＝2，则CD的长度是（　　） A．2 B．3 C．4.8 D．4 6．（3分）如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（　　） A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 7．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝2，点D在BC边的延长线上，AD＝4，则BD•CD＝（　　） A．16 B．15 C．13 D．12 8．（3分）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则∠ABC+∠DAE的度数为（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 9．（3分★★★★）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（　　） A．1 B． C． D．2 10．（3分★★★★）如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．2或 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣BC＝1，AC＝4，则BC＝　 　． 12．（3分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　 　． 13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是AB边上的一个动点，则线段CD的最小值为 　 　． 14．（3分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　米． 15．（3分★★）一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 　 　． 16．（3分★★★）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝　 　． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90° ①若c＝15，b＝12，求a ②若a＝11，b＝60，求c． 18．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 19．（6分）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 20．（8分）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为12米． （1）求B处与地面的距离． （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 21．（8分）今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向52km的B处，正以8km/h的速度沿BC方向移动．已知A市到BC的距离AD＝20km， （1）台风中心从B点移到D点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心25km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 22．（8分★★★）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c≥b≥a． （1）当△ABC是锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D．设CD＝x． ∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2， 在Rt△ADB中，AD2＝①， ∴b2﹣x2＝①． 化简得，a2+b2﹣c2＝2ax． ∵a＞0，x＞0，∴②＞0． ∴a2+b2﹣c2＞0． ∴a2+b2＞c2． 其中，①是 　 　；②是 　 　． （2）如图②，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2+b2与c2之间的关系并证明． 23．（10分★★★★）阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长． 小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长． 解决下列问题： （1）图2中，AE＝　 　，AB＝　 　； （2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理全章培优测试卷 【苏科版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各组数据是勾股数的是（　　） A．，， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意； D、92+402＝412，能构成直角三角形，且9，40，41是正整数，故符合题意． 故选：D． 2．（3分）下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①∠A+∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a＝m2+1，b＝m2﹣1，c＝2m（m为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（　　） A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴能构成直角三角形； ②∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2， ∴a2+b2＝c2， ∴能构成直角三角形； ③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°75°， ∴不能构成直角三角形； ④∵a2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，b2+c2＝（m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1， ∴a2＝b2+c2， ∴能构成直角三角形； 所以，能构成直角三角形的是①②④， 故选：B． 3．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】依据题意，由中间小正方形的边长为（m﹣n），根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为（m2+n2），进而可以得解． 【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n， ∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①， ∵（m+n）2＝21， ∴m2+n2+2mn＝21②， ①+②得2（m2+n2）＝26， ∴大正方形的面积为：m2+n2＝13， 故选：B． 4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　） A．29 B．32 C．36 D．45 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2， ∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2） ＝AC2﹣AB2 ＝45． 故选：D． 5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AB＝10，AD＝2，则CD的长度是（　　） A．2 B．3 C．4.8 D．4 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得CEAB＝AE＝5，则DE＝AE﹣AD＝3，再由勾股定理求出CD的长即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，AB＝10， ∴CEAB＝AE＝5， ∴DE＝AE﹣AD＝5﹣2＝3， ∵CD为AB边上的高， ∴CD⊥AB， ∴∠CDE＝90°， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD4， 即CD的长度是4， 故选：D． 6．（3分）如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度h cm，则h的取值范围是（　　） A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出h的取值范围． 【解答】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h最大＝24﹣8＝16（cm）， 如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm， ∴AB17（cm）， ∴此时h最小＝24﹣17＝7（cm）， ∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm． 故选：D． 7．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝2，点D在BC边的延长线上，AD＝4，则BD•CD＝（　　） A．16 B．15 C．13 D．12 【分析】过点A作BC的垂线，利用勾股定理得出AD2＝AE2+DE2，AB2＝AE2+BE2，再由平方差公式得出AD2﹣AB2＝BD•CD，即可得出结果． 【解答】证明：过点A作AE⊥BC于E，如图所示： ∵AB＝AC， ∴BE＝CE（三线合一）， 在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2， 在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2， ∴AD2﹣AB2＝AE2+DE2﹣AE2﹣BE2＝DE2﹣BE2＝（DE+BE）•（DE﹣BE）＝（DE+EC）•BD＝CD•BD 即AD2﹣AB2＝BD•CD， ∴BD•CD＝42﹣22＝12； 故选：D． 8．（3分）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则∠ABC+∠DAE的度数为（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 【分析】如图，连接BG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠AGB＝90°，从而知△BAG是等腰直角三角形，根据三角形全等，可知：∠ABC+∠DAE＝180°﹣∠ABG，即可得解． 【解答】解：如图，连接BG、AG， 由勾股定理得：AD2＝AG2＝BG2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10， ∴BG2+AG2＝CG2，AD＝BG＝AG， ∴∠BAG＝90°， ∴△BAG是等腰直角三角形， ∴∠ABG＝45°， 在△BFG和△AED中， ， ∴△BFG≌△AED（SSS）， ∴∠FBG＝∠DAE， ∴∠ABC+∠DAE＝∠ABC+∠FBG＝180°﹣∠ABG＝135°， 故选：B． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】过点E作EG⊥AB于点G，由EG⊥AB，CD⊥AB，可得EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEB＝∠EFC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC≌Rt△EBG，由全等三角形的性质可得∠CEB＝∠EFC及AG的值，进而可判定CF＝CE．设CF＝EG＝EC＝x，则AE＝3﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为CF的长． 【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，如图： ∵CD⊥AB于D， ∴EG∥CD， ∴∠GEB＝∠EFC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴EC⊥CB， 又∵BE平分∠ABC，EG⊥AB， ∴EG＝EC． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5． 在Rt△EBC和Rt△EBG中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBG（HL）， ∠CEB＝∠GEB，BG＝BC＝4， ∴∠CEB＝∠EFC，AG＝AB﹣BG＝5﹣4＝1， ∴CF＝CE． 设CF＝EG＝EC＝x，则AE＝3﹣x， 在Rt△AEG中，由勾股定理得： （3﹣x）2＝x2+12， 解得x ∴CF的长是． 故选：B． 10．（3分）如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．2或 【分析】过点A作AH⊥BM，利用勾股定理先求出BH＝4cm，再分当∠APB＝90°时，当∠BAP＝90°时，两种情况讨论求解即可． 【解答】解：过点A作AH⊥BM， ∵点A到BM的距离为3cm， ∴AH＝3cm， ∵AB＝5cm， 根据勾股定理，得， 当∠APB＝90°时，如图所示： 此时点P与点H重合，则BP＝BH＝4cm 根据题意，得2t＝4， 解得t＝2； 当∠BAP＝90°时，如图所示： ∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm， ∴HP＝（2t﹣4）cm， 根据勾股定理，得AP2＝BP2﹣AB2＝4t2﹣25，AP2＝AH2+HP2＝9+（2t﹣4）2， ∴4t2﹣25＝9+（2t﹣4）2， 解得； 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为2或， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣BC＝1，AC＝4，则BC＝　7.5　． 【分析】设BC＝x，则AB＝BC+1＝x+1，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：设BC＝x，则AB＝BC+1＝x+1， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即42+x2＝（x+1）2， 解得：x＝7.5， 即BC＝7.5， 故答案为：7.5． 12．（3分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　36　． 【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， 在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCDAB•BCAC•CD3×45×12＝36． 故答案为：36． 13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是AB边上的一个动点，则线段CD的最小值为 　　． 【分析】先利用等腰三角形三线合一的性质求出BH＝3，再利用勾股定理求出AH＝4，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BH＝CHBC＝3， ∴， 由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，线段CD的值最小， ∴， ∴5CD＝6×4， ∴CD， 故答案为：． 14．（3分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　1.5　米． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米） 故答案为：1.5． 15．（3分）一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 　10　． 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2， 即S3＝2+5+1+2＝10． 故答案为：10． 16．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝　136　． 【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2，进一步得BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，再根据AD2＝AO2+DO2，BC2＝OC2+OB2，最后求得AD2+CB2＝136． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， ∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100， ∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100， ∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136； 故答案为：136． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90° ①若c＝15，b＝12，求a ②若a＝11，b＝60，求c． 【分析】（1）、（2）根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得，a2+b2＝c2， 则a9； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得，a2+b2＝c2， 则c61． 18．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 【分析】连接BD．首先根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠C＝90°，进而根据四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD求解即可． 【解答】证明：连接BD， 在Rt△ABD中，BD25， 在△BDC中，CD＝7，BC＝24， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴∠C＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCDAB•ADCD•BC20×157×24＝234． 19．（6分）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 【分析】（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设CE＝x，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【解答】（1）证明：连接BE，如图： ∵AB边上的垂直平分线为DE， ∴AE＝BE， ∵CB2＝AE2﹣CE2， ∴CB2＝BE2﹣CE2， ∴CB2+CE2＝BE2， ∴C＝90°； （2）设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x， ∴在Rt△BCE中， EC2+BC2＝BE2， 即x2+62＝（8﹣x）2 解得：， 则． 20．（8分）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到15米，消防车高3米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为12米． （1）求B处与地面的距离． （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 【分析】（1）先根据勾股定理求出OB的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出OA的长，利用OC＝OA﹣OC即可得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△OAB中， ∵AB＝15米，OA＝12米， ∴OB9（米）， ∴BE＝OB+OE＝9+3＝12（米）． 答：B处与地面的距离是12米； （2）在Rt△OCD中， ∵CD＝15米，OD＝OB+BD＝9+3＝12（米）， ∴OC9， ∴AC＝OA﹣OC＝12﹣9＝3（米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为3米． 21．（8分）今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向52km的B处，正以8km/h的速度沿BC方向移动．已知A市到BC的距离AD＝20km， （1）台风中心从B点移到D点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心25km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【分析】（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理求出BD，台风的速度已知，即可得出台风中心从B点移到D点所经过长时间； （2）假设A市从P点开始受到台风的影响，到Q点结束，根据题意在图中画出图形，可知DP＝DQ，A市在台风从P点到Q点均受影响，即得出PQ两点的距离，便可求出A市受台风影响的时间． 【解答】解：（1）由题意得，在Rt△ABD中， AB＝52km，AD＝20km ∴， ∴48÷8＝6小时， 即台风中心从B点移到D点需要6小时； （2）以A为圆心，以25km为半径画弧，交BC于P、Q， 则A市在P点开始受到影响，离开Q点恰好不受影响（如图）， 由题意，AP＝25km，在Rt△ADP中， ， ∵AP＝AQ，∠ADB＝90°， ∴DP＝DQ， ∴PQ＝30km， ∴30÷8＝3.75（小时） ∴A市受台风影响的时间为3.75小时． 22．（8分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c≥b≥a． （1）当△ABC是锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D．设CD＝x． ∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2， 在Rt△ADB中，AD2＝①， ∴b2﹣x2＝①． 化简得，a2+b2﹣c2＝2ax． ∵a＞0，x＞0，∴②＞0． ∴a2+b2﹣c2＞0． ∴a2+b2＞c2． 其中，①是 　c2﹣（a﹣x）2　；②是 　2ax　． （2）如图②，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2+b2与c2之间的关系并证明． 【分析】（1）在Rt△ADB中根据勾股定理即可表示出AD2，从而得出b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，然后进行判断即可； （2）过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D，设CD＝x，在Rt△ADC和Rt△ADB中分别根据勾股定理表示出AD2，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【解答】解：（1）如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x， ∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2， 在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2， ∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2， 化简得，a2+b2﹣c2＝2ax， ∵a＞0，x＞0， ∴2ax＞0， ∴a2+b2﹣c2＞0， ∴a2+b2＞c2． 其中，①是c2﹣（a﹣x）2；②是2ax； 故答案为：c2﹣（a﹣x）2，2ax； （2）a2+b2＜c2； 证明：如图， 过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D，设CD＝x， ∵在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2， 在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a+x）2， ∴b2﹣x2＝c2﹣（a+x）2， 化简得，a2+b2﹣c2＝﹣2ax， ∵a＞0，x＞0， ∴﹣2ax＜0， ∴a2+b2﹣c2＜0， ∴a2+b2＜c2． 23．（10分）阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长． 小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长． 解决下列问题： （1）图2中，AE＝　9　，AB＝　12　； （2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b． 【分析】（1）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，根据垂直平分线的性质得到AB＝BD，∠A＝∠D，根据题意、三角形内角和定理得到∠CBD＝∠A，根据勾股定理计算即可； （2）仿照（1）的作法解答． 【解答】解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD， 则BE是AD的垂直平分线， ∴AB＝BD，∠A＝∠D， ∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴∠BCA＝2∠A， ∵∠BCA＝∠D+∠CBD， ∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A， ∴∠CBD＝∠A， ∴DC＝BC＝8， ∴AD＝DC+AC＝8+10＝18， ∴AE＝AD＝9， ∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1． ∴在直角△BCE和直角△AEB中， 由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92， 解得，AB＝12， 故答案为：9；12； （2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD， 则BE是边AD的垂直平分线， ∴AB＝BD，∠A＝∠D． ∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°， ∴2∠A+∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠D+∠DBC， ∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC， ∵∠A＝∠D， ∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC， ∴DB＝DC＝c， 由题意得，DE＝AE， ∴EC＝AE﹣ACb， 在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2， 在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2， ∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（）2＝c2﹣（）2， 整理得，b． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$