专题1.3 勾股定理全章知识典例详解（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题1.3 勾股定理全章知识典例详解 【苏科版】 知识点1 勾股定理 1．勾股定理 文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 符号语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么. 2．勾股定理的验证 （1）弦图证明 内弦图 外弦图 ；∴ ；∴ （2）“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：； ∴ 【典例1】（2024秋•工业园区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB边的最小距离是（　　） A． B． C． D．2.5 【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值求解即可． 【解答】解：设点C到AB的最小距离为h， 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则有AC2+BC2＝AB2， ∵AC＝9，BC＝12， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【典例2】（2024秋•青羊区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为（　　） A．10 B． C． D．5 【分析】在RT△ABC中，利用勾股定理求出AB，然后根据AB×CDAC×BC，可求出CD． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB10， ∵S△ABCAC×BCAB×CD，AC＝6，BC＝8， ∴CD． 故选：B． 【典例3】（2023秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 【分析】先利用勾股定理求解CD的长，即可得BD的长，再利用勾股定理可求解AB的长． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠D＝90°， 在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12， ∴CD， ∵BC＝11， ∴BD＝BC+CD＝11+5＝16， 在Rt△ABD中，AB， 故选：D． 【典例4】（2024春•凉州区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】利用勾股定理的几何意义解答． 【解答】解：由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2． 如图，连接BD， 在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2， 即a+d＝b+c， ∵a＝2，b+c＝12， d＝12﹣2＝10． 故选：B． 【典例5】（2024秋•柴桑区月考）如图，这是由3个正方形和2个等腰直角三角形组成的图形．若正方形A的面积为24，则正方形B的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】根据题意得出FH2＝24＝2GF2，求出正方形C的面积为12，再得出EF2＝12＝2DE2，即可解答． 【解答】解：由题意可得：DE＝DF，GF＝GH， ∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2，FH2＝GF2+GH2＝2GF2， ∵正方形A的面积为24， ∴FH2＝24＝2GF2，则GF2＝12， ∴正方形C的面积为12， ∴EF2＝12＝2DE2，则DE2＝6， ∴正方形B的面积为6． 故选：B． 【典例6】（2023秋•兴平市期末）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【分析】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积S2， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【典例7】（2024春•红旗区校级期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可． 【解答】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 以上公式为完全平方公式， ∴A选项不能说明勾股定理； B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴ababc2（a+b）（a+b）， 整理得a2+b2＝c2， ∴B选项可以证明勾股定理； C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴4ab+c2＝（a+b）2， 整理得a2+b2＝c2， ∴C选项可以证明勾股定理； D．整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积， ∴b2+a2+2ab＝c2+2ab， 整理得a2+b2＝c2， ∴D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 【典例8】（2024春•汕尾期末）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 【分析】为了验证勾股定理，梯形面积等于3个三角形面积之和解答即可． 【解答】解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD． 故选：B． 知识点2 勾股定理的逆定理 1．勾股定理的逆定理 文字语言：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．那么这个三角形是直角三角形． 符号语言：在中，若，则．这个三角形是直角三角形． 2．勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数． （1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等． （2）是组勾股数，则（k为正整数）也是一组勾股数. （3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等 （4），，（n为大于1的自然数） （5），，（，且m和n均为正整数） 【典例1】（2024秋•榕江县校级月考）在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，， 【分析】根据勾股数的定义求解即可． 【解答】解：A、0.3，0.4，0.5这组数都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、∵32+42＝9+16＝25＝52， ∴这组数是勾股数，符合题意； C、∵22+82＝4+54＝68≠102， ∴这组数不是勾股数，不符合题意； D、1，，这组数不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意， 故选：B． 【典例2】（2024春•太谷区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边的长分别是a、b、c，根据下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a：b：c＝5：12：13 D．（a+b）（a﹣b）＝c2 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理依次判断即可． 【解答】解：∵∠A﹣∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故A选项不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴，，， ∴△ABC为不是直角三角形，故B选项符合题意； ∵a：b：c＝5：12：13， 设a＝5k，b＝12k，c＝13k ∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，c2＝（13k）2＝169k2， ∵a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，故C选项不符合题意； ∵（a+b）（a﹣b）＝c2 ∴a2＝c2+b2， ∴△ABC为直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【典例3】（2024秋•鼓楼区校级月考）下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（　　） ①AB2﹣BC2＝AC2； ②∠C＝2∠A＝2∠B； ③BC：AC：AB＝32：42：52； ④∠A+∠B＝∠C； ⑤∠A：∠B：∠C＝3：4：5； ⑥BC＝5，AC＝12，AB＝13． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】由勾股定理的逆定理、三角形内角和定理以及三角形的三边关系分别对各个条件进行判断即可． 【解答】解：①∵AB2﹣BC2＝AC2， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠C＝2∠A＝2∠B，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴A＝∠B＝45°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵BC：AC；AB＝32：42：52， ∴BC+AC＝AB，不能构成三角形； ④∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ⑤∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形； ⑥∵BC＝5，AC＝12，AB＝13， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； ∴能判断△ABC是直角三角形的有4个， 故选：B． 【典例4】（2024秋•小店区校级月考）如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 【分析】利用勾股定理求出BC长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出△ABC边BC的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【解答】解：A．∵BC2＝32+42＝25， ∴BC＝5，正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，正确，不符合题意； D．点A到BC的距离＝2S△ABC÷BC＝2×5÷5＝2，原结论错误，符合题意， 故选：D． 【典例5】（2024春•淮滨县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°．求证：∠C＝90°． 【分析】连接BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，然后再利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，即可解答． 【解答】证明：连接BD， ∵AB＝20，AD＝15，∠A＝90°， ∴BD25， 在△BCD中，BC2+CD2＝242+72＝625，BD2＝252＝625， ∴BD2＝BC2+CD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠C＝90°． 知识点3 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型： ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例1】（2023秋•法库县期末）如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，吸管露在盒外部分的长度为h cm，则h的取值范围为 　 　． 【分析】求出吸管露在盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论． 【解答】解：当吸管放进盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长＝16﹣12＝4（cm）， 当吸管放进盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长5（cm），高为12cm， 由勾股定理得：盒里面吸管长度13（cm）， ∴吸管露在盒外的长度最短＝16﹣13＝3（cm）， ∴吸管露在盒外的部分h（cm）的取值范围是3≤h≤4， 故答案为：3≤h≤4． 【典例2】（2024春•长垣市期末）如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是 　 　m． 【分析】根据勾股定理求出AB、OD的长，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，∠AOB＝90°，AO＝24m，BO＝7m，AC＝4m， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB25（m）， ∴CD＝AB＝25m， ∵OC＝AO﹣AC＝24﹣4＝20（m）， ∴OD15（m）， ∴BD＝OD﹣BO＝15﹣7＝8（m）， 即BD的长是8m， 故答案为：8． 【典例3】（2024春•海安市期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为 　 　． 【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+64＝x2， 故答案为：（x﹣3）2+64＝x2 【典例4】（2024春•瑞金市期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米； （2）由题意得，CM＝12， ∴DM＝8， ∴BM（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 【典例5】（2024秋•二七区月考）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）若平均每平方米空地的绿化费用为250元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【分析】（1）连接AC，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，分割法求出绿地面积，再乘以单价，计算总费用即可． 【解答】解：（1）如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程． （2）∵CD＝17m，AD＝8m．AC＝15m， ∴82+152＝289＝172， ∴AD2+AC2＝DC2， ∴∠DAC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， ∴， ， ∴， ∴114×250＝28500（元）； 答：绿化这片空地共需花费28500元． 【典例6】（2024春•定州市期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离CA、CB分别为300km、400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， 因为AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， 所以AC2+BC2＝AB2． 所以△ABC是直角三角形． 所以AC×BC＝CD×AB， 所以300×400＝500×CD， 所以， 因为以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， 所以海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C海港， 因为， 所以EF＝140km， 因为台风中心移动的速度为20km/h， 所以140÷20＝7（小时） 即台风影响海港C持续的时间为7小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 勾股定理全章知识典例详解 【苏科版】 知识点1 勾股定理 1．勾股定理 文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 符号语言：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么. 2．勾股定理的验证 （1）弦图证明 内弦图 外弦图 ；∴ ；∴ （2）“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：； ∴ 【典例1】（2024秋•工业园区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB边的最小距离是（　　） A． B． C． D．2.5 【典例2】（2024秋•青羊区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为（　　） A．10 B． C． D．5 【典例3】（2023秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 【典例4】（2024春•凉州区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【典例5】（2024秋•柴桑区月考）如图，这是由3个正方形和2个等腰直角三角形组成的图形．若正方形A的面积为24，则正方形B的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【典例6】（2023秋•兴平市期末）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【典例7】（2024春•红旗区校级期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【典例8】（2024春•汕尾期末）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 知识点2 勾股定理的逆定理 1．勾股定理的逆定理 文字语言：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．那么这个三角形是直角三角形． 符号语言：在中，若，则．这个三角形是直角三角形． 2．勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数． （1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等． （2）是组勾股数，则（k为正整数）也是一组勾股数. （3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等 （4），，（n为大于1的自然数） （5），，（，且m和n均为正整数） 【典例1】（2024秋•榕江县校级月考）在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，， 【典例2】（2024春•太谷区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边的长分别是a、b、c，根据下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a：b：c＝5：12：13 D．（a+b）（a﹣b）＝c2 【典例3】（2024秋•鼓楼区校级月考）下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（　　） ①AB2﹣BC2＝AC2； ②∠C＝2∠A＝2∠B； ③BC：AC：AB＝32：42：52； ④∠A+∠B＝∠C； ⑤∠A：∠B：∠C＝3：4：5； ⑥BC＝5，AC＝12，AB＝13． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【典例4】（2024秋•小店区校级月考）如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　） A．BC＝5 B．△ABC的面积为5 C．∠A＝90° D．点A到BC的距离为 【典例5】（2024春•淮滨县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°．求证：∠C＝90°． 知识点3 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型： ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例1】（2023秋•法库县期末）如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，吸管露在盒外部分的长度为h cm，则h的取值范围为 　 　． 【典例2】（2024春•长垣市期末）如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是 　 　m． 【典例3】（2024春•海安市期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为 　 　． 【典例4】（2024春•瑞金市期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【典例5】（2024秋•二七区月考）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）若平均每平方米空地的绿化费用为250元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【典例6】（2024春•定州市期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离CA、CB分别为300km、400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心移动的速度为20km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$