第15讲 三角函数及其图象变换（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第15讲 三角函数及其图象变换 【人教A版2019】 模块一 三角函数的图象变换 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)对的图象的影响 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时) 或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或 伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型1 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 【例1.1】（23-24高一下·上海·阶段练习）某同学用“五点法”面函数，在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0 0 5 －5 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)当时，求的解集． 【例1.2】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的简图； (2)请说明由到的变换过程. 【变式1.1】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数，. (1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下： 0 将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；    (2)求函数在区间上的最值以及对应的的值. 【变式1.2】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知函数 (1)试用“五点法”画出函数 在区间 的简图；    (2)若 时，函数 的最小值为 ，试求出函数 的最大值并指出 取何值时，函数 取得最大值．   【题型2 三角函数间图象的变换问题】 【例2.1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 C．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 【例2.2】（23-24高二下·福建南平·期末）将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数满足,最小正周期为，函数，则将的图象向左平移（    ）个单位长度后可以得到的图象 A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数，先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 由部分图象求函数的解析式】 【例3.1】（23-24高二下·湖南·期末）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．在区间共有8097个零点 D．的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称 【例3.2】（24-25高二上·北京海淀·开学考试）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数在上有3个零点 【变式3.2】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（    ） ①函数的图象关于点中心对称 ②函数的单调增区间为 ③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型4 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例4.1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【例4.2】（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数的极大值与极小值之差为2，且对恒成立，，在上单调递减，若将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于直线对称 D．函数图象的一个对称中心为 【变式4.1】（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知函数的最小正周期为，且图象关于点对称，把函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到函数． (1)求函数和的解析式； (2)若方程在上有解，求实数k的取值范围． 【变式4.2】（23-24高一下·四川南充·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 模块二 匀速圆周运动的数学模型 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【题型5 四种基本图象变换】 【例5.1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 【例5.2】（2024·云南昆明·三模）智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音. 已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知电流随时间t变化的关系式是. (1)求电流i的周期､频率､振幅和初相; (2)分别求时的电流. 【变式5.2】（23-24高一·全国·随堂练习）做简谐振动的小球上下运动，它在时刻时相对于平衡位置的位移由下列函数关系式确定： ． (1)以为横坐标，为纵坐标，作出这个函数的简图； (2)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相． 【题型6 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 【例6.1】（23-24高二上·湖北恩施·期末）如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时（图中点）开始计时，则（    ） A．点距离水面的高度与之间的函数关系式为 B．点第一次到达最高点需要 C．在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于 D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面 【例6.2】（23-24高三·江西赣州·阶段练习）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ）    A．转动后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为 【变式6.1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数） (1)求与时间之间的关系． (2)求点第一次到达最高点需要的时间为多少?在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少? (3)若在上的值域为，求的取值范围． 【变式6.2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值及此时的时间. 一、单选题 1．（23-24高一下·四川绵阳·期中）函数的振幅、周期、初相为（    ） A．、、 B．2、、0 C．2、、 D．2、、0 2．（2024·北京·模拟预测）将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（    ） A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位 B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位 C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍 D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍 3．（23-24高一下·山东聊城·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）将函数的图象向右平移（）个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是函数的部分图象，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．在上单调递减 7．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（    ） ①函数的最小正周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象； ④当时， A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（2024高二上·福建·学业考试）某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（    ）    A．该简谐运动的振幅是 B．该简谐运动的初相是 C．该简谐运动往复运动一次需要 D．该简谐运动往复运动25次 10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数的最大值为 11．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数在上单调递增，且的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数 D．函数在上没有零点 三、填空题 12．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的解析式为 . 13．（24-25高二上·安徽·开学考试）将函数的图象向右平移后得到的图象关于原点对称，则的最小正值为 ． 14．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，则下列四个结论： ①关于点对称；      ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. 正确结论的序号为 . 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位. 16．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，的部分图象如图所示， (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；若，，求的值. 17．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值，并求出取得最大值时自变量x的值. 18．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习） 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 19．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的零点； (3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 三角函数及其图象变换 【人教A版2019】 模块一 三角函数的图象变换 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)对的图象的影响 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时) 或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或 伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 2．函数的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【题型1 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 【例1.1】（23-24高一下·上海·阶段练习）某同学用“五点法”面函数，在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0 0 5 －5 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)当时，求的解集． 【解题思路】（1）借助表格计算可得，，，而后逐项计算即可得. （2）令，解出即可得. 【解答过程】（1）由表可得，，， 故，，，故， 补充数据见表格； x 0 0 5 0 －5 0 （2）令，即， 则或，， 则或，， 由，故或， 即的解集为. 【例1.2】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的简图； (2)请说明由到的变换过程. 【解题思路】（1）根据给定条件，列出对应值表，再在坐标系内描点连线即得. （2）根据三角函数变换，叙述出变换过程即可. 【解答过程】（1）函数在上的取值，列表为： 0 0 1 0 0 描点连线，即得函数的图象，如图： （2）先将的图象向右平移个单位长度得到的图象， 再将所得函数的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，即的图象. 【变式1.1】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数，. (1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下： 0 将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；    (2)求函数在区间上的最值以及对应的的值. 【解题思路】（1）分别计算五点坐标，利用五点法即可画出图形． （2）由，得，利用正弦函数的性质即可得解． 【解答过程】（1）在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下： 0 0 0 2 0 描点，连线，可得图象如下：    （2）因为，可得， 故当时，即时，取最大值， 当时，即时，取最小值. 【变式1.2】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知函数 (1)试用“五点法”画出函数 在区间 的简图；    (2)若 时，函数 的最小值为 ，试求出函数 的最大值并指出 取何值时，函数 取得最大值．   【解题思路】（1）先列表，再描点连线，可得简图； （2）根据得，继而得，则可求得，进一步计算即可求解. 【解答过程】（1）先列表，再描点连线，可得简图．   0 0 1 0 0 （2） ，    ， ， ， ， ， ， 当即时，最大，最大值为 ． 【题型2 三角函数间图象的变换问题】 【例2.1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 C．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 【解题思路】根据给定条件，利用三角函数图象的变换，结合函数解析式，即可直接判断即可. 【解答过程】将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，得的图象， 再将所得图象向左平移个单位，得. 故选：C. 【例2.2】（23-24高二下·福建南平·期末）将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用辅助角公式化简函数，再利用三角函数图象变换求出. 【解答过程】依题意，，因此. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数满足,最小正周期为，函数，则将的图象向左平移（    ）个单位长度后可以得到的图象 A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得函数，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【解答过程】由函数的最小正周期为，可得， 因为，可得，可得， 即，又，当时，可得， 所以， 将向左平移个单位，可得函数. 故选：A. 【变式2.2】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数，先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用辅助角公式与三角函数的伸缩变换和平移变换即可得解. 【解答过程】由， 先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 可得：， 再将所得的图象向右平移个单位长度， 可得， 故选：A. 【题型3 由部分图象求函数的解析式】 【例3.1】（23-24高二下·湖南·期末）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．在区间共有8097个零点 D．的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称 【解题思路】由图可知，，即可判断A；利用周期计算即可判断B；利用所得解析式结合三角函数图象性质可判断C；利用三角函数平移性质计算可判断D. 【解答过程】对于A，由题图可知，，从而， 且位于单调递增区间，结合，可知，故A不正确； 对于B，由图可得，解得，， 又，所以，所以， 故，故B错误； 对于，， 令，则， 共有8096个零点，故C不正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到的图象的函数解析式为： ， 显然的定义域为全体实数，且为偶函数， 所以的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，故D正确. 故选：D. 【例3.2】（24-25高二上·北京海淀·开学考试）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数图象的最大值，以及对称轴间的距离，五点法，分别求解析式中的参数，即可求解. 【解答过程】由函数的最大值为2，可知，， ，得， 当时，，，得，， 因为，所以， 所以函数的解析式为. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数在上有3个零点 【解题思路】结合图象先求出函数解析式，即可判断A；再根据正弦函数的性质判断BCD即可. 【解答过程】由图可知，，， 则，故A错误； 又，则，所以， 则，即，， 又，所以，即， 则， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 当时，， 因为正弦函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故C正确； 令，即， 则，，即，， 又，则或， 所以函数在上有2个零点，故D错误. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（    ） ①函数的图象关于点中心对称 ②函数的单调增区间为 ③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】根据图象求出，然后结合正弦函数性质判断各命题． 【解答过程】， 由图象知函数的最小正周期为，因此，即， ，因此函数的图象关于点中心对称，①正确； 由得，，②正确； ，因此把的图象向左平移个单位长度得的图象，③正确； 由题意，时， 当时，，在上有2个零点，则，解得， 当时，，在上有2个零点，则，解得， 因此的范围是或，④错． 故选：B． 【题型4 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例4.1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【解题思路】先根据平移变换的知识求出，根据三角函数的对称性性质将和代入求值检验即可判断选项AD；根据函数图象结合即可判断B；令，求出即可求出的单调递增区间进而得解. 【解答过程】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故B正确； 对于C，令， 所以当时的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误. 故选：B. 【例4.2】（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数的极大值与极小值之差为2，且对恒成立，，在上单调递减，若将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于直线对称 D．函数图象的一个对称中心为 【解题思路】通过极大值与极小值之差为2A，对恒成立，，在上单调递减分别求出的值，从而求出的解析式。因为的图象由平移所得，从而求出的解析式，通过的解析式分析各个选项的正误。 【解答过程】因为的极大值与极小值之差为2，所以； 因为对恒成立，所以 且，在上单调递减，所以，可得，即，所以； 因为，所以，可得，即，又因为，所以； 可得，又因为将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，所以. 对于A，函数的最小正周期为，故正确； 对于B，函数在上单调递减，故错误； 对于C，函数的图象关于直线对称，故正确； 对于D，函数图象的一个对称中心为，故正确. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知函数的最小正周期为，且图象关于点对称，把函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到函数． (1)求函数和的解析式； (2)若方程在上有解，求实数k的取值范围． 【解题思路】（1）先由函数对称性、周期性列式求解参数即可得出，利用平移伸缩变换法则可得； （2）通过换元法得出在上有解，进一步分离参数即可得解. 【解答过程】（1）由，得， 由的图象关于点对称，则，即， 又由，则， 故， 由于的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到函数， 故. （2）由（1）知，把，代入方程，得， 即方程在上有解， 令，则， 上述方程转化为在上有解， 进一步转化为在上有解， 令，则在上单调递增， 故，也即是. 【变式4.2】（23-24高一下·四川南充·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）化简得到， 结合最小正周期的求法，即可求解； （2）由时，结合三角函数的性质，求得取得最小值，根据题意，即可求得实数的取值范围； （3）由，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为， 所以的最小正周期. （2）解：当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以，   即实数的取值范围为. （3）解：由题意，函数， 因为，所以， 又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围． 模块二 匀速圆周运动的数学模型 1．匀速圆周运动的数学模型 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2). 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 【题型5 四种基本图象变换】 【例5.1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 【解题思路】由函数解析式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期即可. 【解答过程】函数， 振幅是2，初相是， 又的系数是，故函数的最小正周期是， 故选：D． 【例5.2】（2024·云南昆明·三模）智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音. 已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图2求出噪音的声波曲线对应的函数的解析式，再结合题意进行求解即可. 【解答过程】由2可知：过两点， 所以有， ， 当时，，显然A不符合题意，此时函数的周期为，要想抵消噪音，只需函数向左或向右平移一个单位长度即可， 即得到， 或，故选项D符合， 显然选项B，C的振幅不是2，不符合题意， 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知电流随时间t变化的关系式是. (1)求电流i的周期､频率､振幅和初相; (2)分别求时的电流. 【解题思路】（1）由三角函数的，和的意义进行求解即可． （2）代入函数解析式求值即可. 【解答过程】解：（1） ，， 所以函数的周期，频率，振幅，初期. （2）当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,. 【变式5.2】（23-24高一·全国·随堂练习）做简谐振动的小球上下运动，它在时刻时相对于平衡位置的位移由下列函数关系式确定： ． (1)以为横坐标，为纵坐标，作出这个函数的简图； (2)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相． 【解题思路】（1）利用“五点法”作图； （2）利用振幅、周期、频率和初相的定义求解. 【解答过程】（1）解：列表： 0 2 0 -2 0 一个周期内的简图如图所示：    （2）因为， 所以该简谐振动的振幅为2、周期为、频率为、初相为. 【题型6 三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 【例6.1】（23-24高二上·湖北恩施·期末）如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时（图中点）开始计时，则（    ） A．点距离水面的高度与之间的函数关系式为 B．点第一次到达最高点需要 C．在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于 D．当水轮转动时，点在水面下方，距离水面 【解题思路】根据条件，写出点的高度和时间的关系式，再逐项判断对错. 【解答过程】因为从开始计时，所以水轮的高度和时间的函数关系式为：. 当第一次到达最高点，由 ，即第一次到达最高点需要； 由 ， ，. 即水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高低不低于. 当时，. 故选：D. 【例6.2】（23-24高三·江西赣州·阶段练习）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ）    A．转动后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为 【解题思路】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【解答过程】设转动过程中，点离地面距离的函数为： ， 由题意得：， ，则 ， 所以 ， 选项A，转到后，点距离地面的高度为： ，故A不正确； 选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍， 故B不正确； 选项C，因为 ， ， 所以 ， 即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确； 选项D，令， 则 ，由， 解得 ， 所以， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为， 故D正确； 故选：D. 【变式6.1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数） (1)求与时间之间的关系． (2)求点第一次到达最高点需要的时间为多少?在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少? (3)若在上的值域为，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据给定信息，设出，再求出参数即可. （2）由（1）的信息，结合周期性，求出点在对应条件下，点转动的圆心角弧度即可计算得解. （3）利用正弦函数的性质，列出不等式求解即得. 【解答过程】（1）依题意，设与时间之间的关系为， 由筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 得点距离水面的高度的最值为，解得， 而筒车每60s沿逆时针方向转动3圈，则周期，， 由，得，而，解得， 所以与时间之间的关系是. （2）依题意，与轴正方向的夹角为，因此点第一次到达最高点需要转动， 所以点第一次到达最高点所需时间为； 在转动的一个周期内，点在水中转动， 所以点在水中的时间是. （3）由在上的值域为， 得在上的值域为， 由，得，则，解得， 所以的取值范围是. 【变式6.2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值及此时的时间. 【解题思路】（1）设 ，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式； （2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得； （3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【解答过程】（1）设 ， 由题意知， 又，故， ∵，∴， 可取， ∴， 故解析式为，. （2）令，则，即. 因为，则，所以或， 解得或， 故游客甲坐上摩天轮分钟或分钟时，距离地面的高度恰好为米. （3）经过 分钟后甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度为，， 则两人离地高度差 ，， 令，解得， 又，所以当或分钟时，取得最大值米. 一、单选题 1．（23-24高一下·四川绵阳·期中）函数的振幅、周期、初相为（    ） A．、、 B．2、、0 C．2、、 D．2、、0 【解题思路】求出振幅，周期，初相. 【解答过程】根据函数解析式知，振幅为，周期为，初相为. 故选：B. 2．（2024·北京·模拟预测）将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（    ） A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位 B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位 C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍 D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍 【解题思路】根据三角函数的图象变换进行选择. 【解答过程】由的图象变换为的图象，有以下两种思路： （1）先将的图象向右平移个单位，得的图象， 再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得的图象，故C正确，D错误； （2）先将的图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得的图象，再把所得函数图象向右平移个单位， 得 的图象，故AB错误. 故选：C. 3．（23-24高一下·山东聊城·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数与单位圆的关系，结合周期以及初相的定义以及几何意义，根据“距离”，利用排除法，可得答案. 【解答过程】由题意可知，函数的周期，初相为，则， 因为表示距离，为非负数，所以BD选项错误； 点的初始位置为，即，此时距离轴的距离为1， 而在运动的过程中距离最大值为2，则， 所以C选项符合，A选项不符合. 故选：C. 4．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数的平移、伸缩变换可以得出函数关系． 【解答过程】由图1可知，，所以，所以， 图2可看成由图1向右平移1个单位长度，得， 再将所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变，得. 故选：D． 5．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）将函数的图象向右平移（）个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的奇偶性列关系式求. 【解答过程】将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得函数为， 因为函数为偶函数， 则，， 所以，又， 所以，. 故选：B. 6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是函数的部分图象，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．在上单调递减 【解题思路】根据正弦型函数的图象求出周期可判断A，根据点代入可判断B，根据时的函数值可判断C，根据正弦函数的单调性可判断D. 【解答过程】由图象可知，，所以，故A正确； 由，可知，故B正确； 由AB可知，因为， 可知为图象的对称轴，故C错误； 当时，， 由于正弦函数在上单调递减， 所以在上单调递减，故D正确. 故选：C. 7．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】用三角函数的图象变换法则得出，再求出的单调区间，即可求解． 【解答过程】将函数的图象向右平移个单位长度得， 将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 令， 解得， 令得，，所以， 故选：C． 8．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（    ） ①函数的最小正周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象； ④当时， A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据函数图象求出的解析式，再根据正弦函数的图象性质逐一判断即可. 【解答过程】由图象知：，解得，故①错误； 所以，解得. 将代入得， 所以，即， 又因为，所以，. 当时，， 所以函数的图象关于直线对称，故②正确； 把函数图像上的点横坐标缩短为原来的， 得到，故③正确； 当时，， ，，故④错误. 所以说法正确的是②③. 故选：C. 二、多选题 9．（2024高二上·福建·学业考试）某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（    ）    A．该简谐运动的振幅是 B．该简谐运动的初相是 C．该简谐运动往复运动一次需要 D．该简谐运动往复运动25次 【解题思路】结合简谐运动在一个周期内的图象可判断A；设该函数解析式为，由简谐运动在一个周期内的图象可得，把点代入解析式可得，可判断BCD. 【解答过程】对于A，由简谐运动在一个周期内的图象可得该简谐运动的振幅是，故A正确； 对于B，设该函数解析式为， 由简谐运动在一个周期内的图象可得，可得，所以，所以， 因为把点代入解析式可得， 所以，所以， 若，则，故B正确； 对于C，由B可知，故C错误； 对于D，该简谐运动往复运动次，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数的最大值为 【解题思路】根据周期可得，代入最值点可得，由此确定函数解析式， 根据周期公式判断A，结合正弦函数单调性判断B，根据平移结论判断C，利用辅助角 公式，结合正弦型函数的性质即可判断D. 【解答过程】由图可得：，又因为， 所以，又，所以，所以， 将代入得， 即，即， 又，所以， 所以， 对于A，最小正周期，故A正确； 对于B，令，解得， 可得的单调递增区间为， 当时，单调递增区间为，故B正确； 对于C，函数的图象向左平移个单位长度， 所得到的函数解析式为：，故C不正确； 对于D， ， 所以函数的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数在上单调递增，且的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数 D．函数在上没有零点 【解题思路】利用函数的单调性求出的取值范围，再由余弦型函数的对称性求出的值，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；代值计算可判断B选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断C选项；求出函数再上的值域，可判断D选项. 【解答过程】对于A，因为函数在上单调递增， 由得， 所以，解得. 显然，解得，因为，所以，，. 因为的图象关于直线对称， 且，所以，，则， 所以，则的最小正周期为，A正确； 对于B，因为，， 所以，B错误： 对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为 为偶函数，C正确； 对于D，因为， 令，得， 令，由，得，则， 且，则函数与直线没有公共点，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的解析式为 . 【解题思路】根据的物理意义求解． 【解答过程】由题意，，，， 所以解析式为． 故答案为：． 13．（24-25高二上·安徽·开学考试）将函数的图象向右平移后得到的图象关于原点对称，则的最小正值为 ． 【解题思路】首先求出平移后的函数解析式，再根据余弦函数的性质求出的取值. 【解答过程】将函数的图象向右平移得到， 又的图象关于原点对称，所以， 解得， 所以的最小正值为. 故答案为：. 14．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，则下列四个结论： ①关于点对称；      ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. 正确结论的序号为 ②③ . 【解题思路】先由图象求出，接着将点代入函数结合正弦函数性质和求得，再由和求出，进而求得函数解析式，对于①，计算即可判断；对于②，计算即可判断；对于③，先求出的单调递减区间即可判断；对于④，由得即可得，从而即可求出在区间上的值域. 【解答过程】由图得，，故有， 将点代入函数得，即， 所以或，又， 所以，故， 又，所以， 所以， 又由图像可知，又， 所以，所以，所以， 对于①，因为，所以不关于点对称，故①错； 对于②，因为，故②正确； 对于③，令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 故当时，函数在区间上单调递减， 因为，所以函数在区间上单调递减，故③正确； 对于④，时，，所以， 所以，所以在区间上的值域为，故④错误. 故答案为：②③. 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位. 【解题思路】利用三角函数振幅、频率和初始相位的定义即可得解. 【解答过程】对于， 其振幅为，周期， 则频率为，初始相位为. 16．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，的部分图象如图所示， (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；若，，求的值. 【解题思路】（1）根据图象得振幅和周期并求出，再根据最大值点求出，即可得函数解析式. （2）根据图象变换得的解析式，再利用同角公式及两角和的余弦公式求值. 【解答过程】（1）由图得，函数的最小正周期，解得， 即，而，则， 又，于是，所以的解析式为. （2）把函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 因此，当时，，则，即，， 所以. 17．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值，并求出取得最大值时自变量x的值. 【解题思路】（1）根据辅助角公式可得，即可利用整体法求解单调性， （2）根据函数图象的变换可得，即可求解， 【解答过程】（1）， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到； 再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到， 因为，则，可得，即， 所以在区间上的最大值为2，此时，即. 18．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习） 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．            (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式． (2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？ 【解题思路】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出； （2）根据（1）求出的表达式，将化简求得. 【解答过程】（1）设 由题意知：， ，故， 可取， 故解析式为：，. （2）令，则，即． 因为，则，所以或， 解得或， 故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米. 19．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的零点； (3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【解题思路】（1）根据图象由最值分别求得，再利用周期性和对称性即可得结果； （2）令解方程即可得和； （3）由平移规则可得，再根据正弦函数单调性即可得出其值域. 【解答过程】（1）由根据图象可知，解得； 设函数的最小正周期为，由图可知，即可得， 解得； 代入，可得，即； 又，所以； 因此的解析式为； （2）令可得， 所以或， 解得或； 所以的零点为和； （3）由题意可得. 因为，所以. 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. 故在上的值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$