5.6.1 匀速圆周运动的数学模型教学设计- 2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 匀速圆周运动的数学模型 教学目标 1.了解函数的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系。 2.发展学生数学建模、数学抽象与直观想象的学科核心素养 教学重难点 教学重点： 用函数模型来刻画一般的匀速圆周运动。 教学难点： 数学建模的过程与方法。 教学过程 一、创设情境，提出问题 在学习数学知识之前，我想先为大家播放一小段唐朝的农业历史。视频展示了中国古代水文化中提升农业灌溉效率的“神器”之一——筒车。现在，让我们接过先辈们创造发明的接力棒，继续对筒车的运动进行研究吧！ 问题1：在筒车的运动过程中，我们是否可以知道，某一时刻盛水筒距离水面的相对高度是多少呢？ 学生：可以知道，因为我们研究的是相对高度与时间的关系，这是一种函数关系！ 二、选择模型，抽象问题 问题2：从筒车的运动规律出发，思考一下这种函数关系比较符合哪种数学模型？ 学生：因为筒车运动具有周期性，所以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律！ 基本假设： （1）假设水流稳定，将筒车的运动看作是匀速圆周运动。 （2）将筒车看作一个忽略大小和形状的质点。 在这样的假设下，借助数学软件抽象出筒车的运动过程。 问题3：在筒车的整个运动过程中，我们需要哪些数据，才能表示出高度与时间的函数关系式呢？比如整个运动过程中关键的变量有哪些？那有没有常量的存在呢？ 学生：变量有时间和盛水筒距离水面的相对高度，常量有筒车的半径和筒车匀速转动的角速度. 教师：很好，我们将这些变量和常量进用符号表示 变量：假设盛水筒从P0出发，经过t s后，盛水筒距离水面的高度为H. 常量：假设筒车的半径为r，筒车匀速转动的角速度为ω. 教师补充两个重要常量：假设筒车的中心O到水面的距离为h，以OP0为终边的角为φ。 三、层层引导，求解模型 学生活动：要想求出函数解析式，第一步必须要建系，现在给大家几分钟时间思考画图，借助所学知识考虑如何建系最合适。 教师引导：在考虑对称性的前提下，同学们大致画出了这样两种坐标系： 大家可以看到它们的区别：左边这幅图的横轴及坐标原点建在了水面上，右边这幅图的坐标原点建在筒车的中心处。那到底哪种坐标系更合适呢？大家回顾一下我们刚学过的任意角的定义，所以如果坐标原点设在筒车中心，大家在表示盛水筒的旋转角时就会更方便。 根据三角函数的定义和三角形相似的知识，请大家思考，盛水筒点P的纵坐标应该如何表示呢？ 学生：经过时间t后，以OP为终边的角为ωt+φ，因此点P的纵坐标 教师引导：大家试着在这样的坐标系下，继续写出H与t的函数关系式。 学生：相对高度H与时间t的函数关系式为： 教师引导：进一步，对于函数我们回顾总结一下各变量和常量的实际意义： （1）H：盛水筒距离水面的相对高度； （2）r：筒车的半径； （3）ω：盛水筒做匀速圆周运动的角速度； （4）t：时间； （5）φ：以筒车中心与起始位置所在射线为终边的角； （6）h：筒车中心到地面的距离. 四、结合实际，应用模型 例题：摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色． 如右图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min． （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）． 解： （1）设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 则t=0min时，游客甲位于点P(0,-55） 因为摩天轮的转动模型与筒车的运动模型相似，因此可设解析式为 其中r是摩天轮的半径55， 根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度rad/min， 因为游客从离地面最近的位置进舱，因此以OP为终边的角， 最后k代表摩天轮中心距离地面的高度65。 故，0≤t≤30. （2）当t=5时， 所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m． （3）设甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则， 经过t min后甲距离地面的高度为：.点B相对于点A始终落后rad，此时乙距离地面的高度为： 则甲、乙距离地面的高度差为： 利用，可得甲、乙距离地面的高度差为： 当变量，即t=7.8（或22.8）时，h的最大值为. 所以，甲乙两人距离地面的高度差最大值约为7.2m. 五、课堂小结——数学建模的思路 （1）提出实际问题 （2）抽象问题 （3）求解模型 （4）模型应用 六、课后作业 【基础作业】（必做） 1.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A，B两点间的距离d（单位：cm）表示成t（单位：s）的函数，则d=______,t∈[0,60]. 2.如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为 （1）求A,ω,φ,K的值（φ精确到0.000 1）； （2）盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点（精确到0.01s）？ 【延伸作业】（选做） 请上网查询，了解弹簧振子的运动原理和交变电流的产生原理，感受生活中的具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，体会数学与物理交织的乐趣！ 学科网（北京）股份有限公司 $$