精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期高三年级期中测试试卷 数学 注意事项 1. 考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号、考生号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2. 做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需政动，用擦皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题:本题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一条限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简复数，即可根据几何意义求解. 【详解】, 故对应的点为，位于第四象限， 故选：D 2. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集、补集运算即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以 故选：A 3. 设为抛物线的焦点，若上的点到焦点的距离为5，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义可得答案. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离为5， 所以，解得， 可得准线方程为. 故选：C. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先，根据，可以得到.然后利用求出和的值，再根据二倍角公式求出的值，最后代入式子计算. 【详解】因为且，将代入得： ，，，所以. 由，，可得. 因为，又，所以， 由，可得. 将，代入可得： . 故选：B. 5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（ ） A. 20 B. 24 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积. 【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为， 其中，故， 所以， 又，由勾股定理得， 其中，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 其侧面积为. 故选：B 6. 已知，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数单调性可比较大小. 【详解】因对数函数，在上单调递增， 则，即. 故选：A 7. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，表示事件“两个点数之和是8”，表示事件“两个点数之和是9”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义判断个选项的正误. 【详解】依题意，，，，， 对于A，，，和互相不独立，A错误； 对于B，，，和互相不独立，B错误； 对于C，，，和互相独立，C正确； 对于D，，，和互相不独立，D错误； 故选：C 8. 定义在R上的不恒为零的偶函数满足，且．则（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以构造，得到，进而求出的值，当求出的值，从而求出结果. 【详解】当，时，可化为， 令，则，， 所以，则，， ，则， ，则， ，则， 因为， 当时,,即 所以，则， 则， 所以， 所以， 故选：D. 【点睛】关键点睛：函数综合问题需要观察题目特征，适当构造函数，并研究函数的性质，从而解决问题. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在时取得最大值 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 的一个对称中心是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，利用整体法即可求解AC，根据周期公式即可判断B,代入验证即可求解D. 【详解】对于A，令,则，故当时，取最大值，故A错误， 对于B，的最小正周期为，故B正确， 对于C，当，则，故在区间上单调递减，C正确， 对于D, ,故是的对称轴，故D错误， 故选：BC 10. 已知直线与圆相切，点，则下列说法正确的是（ ） A. 点A在圆C上 B. 点A在圆C内 C. 点A在圆C外 D. 点A在直线l上 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与圆相切可求得a，再分析点与直线、圆的位置关系即可. 【详解】由题意可知，圆的半径为a，所以圆心到直线l的距离为， 即，， 显然在圆C上也在直线l上. 故选：AD 11. （多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间中的线面平行及线线垂直，线面、面面垂直相互转化来分析判断. 【详解】即判断平面平面，如图①，由正方体可得，平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又，，平面， 则平面，又平面，则平面平面，A正确； 如图②，取中点为N，连接MN，PN，易得，平面，又平面， 则，结合，且MN，平面MNP，则平面， 又平面MNP，则，B正确； 如图③，连接，易得，则判断，即判断，又， 则是以为直角的直角三角形，则与不垂直，即MP与不垂直，C错误； 因为，，得，又平面，平面， 则平面，D正确． 故选：ABD. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程可以确定与的等量关系，转化解出离心率． 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， ， ， 故答案为：． 13. 若向量，满足，，，则与的夹角弧度数为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式求解即得. 【详解】由，得，而，， 因此，又，则， 所以与的夹角弧度数为. 故答案为： 14. 已知函数，若存在唯一的零点，则的取值范围是_________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用导数确定函数的单调性，分类讨论求解参数范围即可. 【详解】因为所以， 令，解得， 当时，由，得到或，由，得到， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 又因为时，，且， 所以函数在必有且只有一个零点，要使存在唯一的零点， 则必有，又恒成立，所以， 当时，由，得到，由，得到或， 所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为， 又因为时，，且，所以恒有且只有唯一的零点， 所以满足题意，综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【点晴】方法点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的技巧 （1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等． （2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置． （3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 三、解答题： 15. 记是公差不为的等差数列的前项和，若. （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据条件，建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，再根据题设得，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题知，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以，由，得到，整理得到， 解得，又，所以使成立的的最大值为. 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若. （1）证明：平面； （2）证明：平面PDC⊥平面ABCD （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在中，，， 所以，所以， 又，平面， 所以平面. （2）证明：由（1）知平面， 又平面， 所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可得证； （2）根据（1）及面面垂直的判定定理得证； （3）证明为二面角的平面角，再由余弦定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知平面，又， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，由余弦定理可得： 17. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下： 等级 不合格 合格 得分 频数 6 a 24 b （1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数； （2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的条件下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率； （3）用比例分配的分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1）平均数64，中位数65； （2）； （3）分布列为： X 0 5 10 15 20 P . 【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图与表格数据先求出的值，再根据直方图算出平均数与中位数； （2）先分别求出“第一次抽取测试得分低于80分”和“两次抽取都低于80分”的概率，再根据条件概率计算公式求得在第一次抽取得分低于80分的条件下，第二次抽取测试得分也低于80分的概率； （3）先根据分层抽样方法分别求出在“合格”与“不合格”抽取的学生人数，再依次求出的不同取值情况下对应的概率，从而得到的分布列，进而根据分布列算出数学期望. 【小问1详解】 由题意得，样本容量为，所以， ，， 所以根据频率分布直方图可得，平均数为， 设中位数为，由频率分布直方图可知， ， 故应在区间内， 于是令， 解得， 故平均数为64，中位数为65. 【小问2详解】 由（1）得，设事件：“第一次抽取测试得分低于80分”，事件：“第二次抽取测试得分低于80分”， 则，， 所以. 【小问3详解】 由题意得，“不合格”的总人数为， “合格”的总人数为，根据分层抽样可得， 从“不合格”的学生中抽取的人数为人， 从“合格”的学生中抽取的人数为人， 由题意可得的所有可能取值为0，5，10，15，20， 则：， ， ， ， . 所以的分布列为： X 0 5 10 15 20 P 数学期望. 18. 已知椭圆C：，点在C上，且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）设P，R是椭圆C上的两点，F为C的右焦点，直线PR与曲线（）相切.证明：P，R，F三点共线的充要条件是. 【答案】（1） （2）证明：由（1）得，直线PR与曲线，相切，且， 当直线PR的斜率不存在时，若，则令中，解得，负值舍去， 故直线PR的方程为，不与，相切，舍去； 当直线PR的斜率存在时，设直线PR方程为， ，解得， 充分性：联立与得， 设， 则， 则 ， 因为， 所以， 解得， 当时，，由图知，当时，直线过一，二，三象限，不合要求，舍去， 当时，直线过一，三，四象限，满足要求， 此时直线PR方程为，经过点， 同理可得时，，此时直线PR方程为，经过点， 充分性证毕； 必要性：若P，R，F三点共线，则在直线PR上，故， 又，解得， 联立与得， 故， 故，必要性成立； 故P，R，F三点共线的充要条件是. 【解析】 【分析】（1）根据和离心率得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）考虑直线PR的斜率不存在，推出矛盾；当直线PR的斜率存在时，设PR方程为，根据相切关系得到方程，求出，先证明充分性，再证明出必要性，得到结论. 【小问1详解】 因为点在椭圆C上，且离心率为， 故，解得， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：要考虑直线PR的斜率不存在和存在两种情况，再斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到，再由弦长公式进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高三年级期中测试试卷 数学 注意事项 1. 考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号、考生号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2. 做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需政动，用擦皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题:本题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一条限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设为抛物线的焦点，若上的点到焦点的距离为5，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（ ） A. 20 B. 24 C. D. 6. 已知，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，表示事件“两个点数之和是8”，表示事件“两个点数之和是9”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 8. 定义在R上的不恒为零的偶函数满足，且．则（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在时取得最大值 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 的一个对称中心是 10. 已知直线与圆相切，点，则下列说法正确的是（ ） A. 点A在圆C上 B. 点A在圆C内 C. 点A在圆C外 D. 点A在直线l上 11. （多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平面 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为______． 13. 若向量，满足，，，则与的夹角弧度数为_______. 14. 已知函数，若存在唯一的零点，则的取值范围是_________. 三、解答题： 15. 记是公差不为的等差数列的前项和，若. （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最大值. 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若. （1）证明：平面； （2）证明：平面PDC⊥平面ABCD （3）求二面角的余弦值. 17. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下： 等级 不合格 合格 得分 频数 6 a 24 b （1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数； （2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的条件下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率； （3）用比例分配的分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列和数学期望. 18. 已知椭圆C：，点在C上，且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）设P，R是椭圆C上的两点，F为C的右焦点，直线PR与曲线（）相切.证明：P，R，F三点共线的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $