精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025届高三上学期11月阶段性检测数学试题

西南大学附中高2025届高三上11月阶段性检测 数学试题 （满分：150分：考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2、答选择题时、必须使用2B铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数不等式解集合A，根据一元二次不等式解集合B，结合交集的定义与运算即可求解. 【详解】， 或. 所以. 故选：B 2. 已知点，若A，B，C三点共线，则x的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以， 因为A，B，C三点共线，则共线， 则，解得. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将化简，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】或， 由成立可以推出或，但或成立不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简，再根据中间值1，以及幂函数的单调性比较大小，即可判断. 【详解】，，， 在上单调递增，，所以， 所以. 故选：D 5. 设m，n是不同的直线，为不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则． B. 若，则． C. 若，则． D. 若，则． 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】对于A，直线m与平面可能平行、相交或直线m在平面内，故错误； 对于B，或，故错误； 对于C，平面与平面平行或相交，故错误； 对于D，则，又，所以，D正确； 故选：D． 6. 若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义先求出函数在处的导数值，即可得到在处切线的斜率，进而得到倾斜角的正切值，再根据求出题中式子的值. 【详解】由题意得，，所以， 于是在处切线的斜率为，即. 又 ， 将原式分子分母同时除以得， ， 代入可得最终答案为. 故选：A. 7. 已知数列的首项，前n项和，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到，两式相减得到，求出即可求解. 【详解】因为，所以， 两式相减得， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性可证明函数存在唯一零点，即，可得在有零点，利用参变分离可求解. 【详解】由，，可得， 当时，，此时在单调递减； 当时，，此时在单调递增； 又因为，所以函数存在唯一的零点，即. 因为，解得. 即在上有零点， 故方程在上有解， 而， 因为，故，故， 所以，故 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列函数中，最小正周期为π且在为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及复合函数的单调性判断方法逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期为，当时，，， 根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故A正确； 对于B，的最小正周期，故B不正确； 对于C，，所以最小正周期， 当时，，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故C正确； 对于D，最小正周期，当时，， 由复合函数单调性判断方法可知，此时单调递减，故D正确. 故选：ACD. 10. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为定值 C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由中线的性质结合向量的线性运算判断A选项；由中线的性质和向量数量积的运算有，求值判断B选项；C 选项，由，结合余弦定理求的值；D选项，中，余弦定理得，结合均值不等式求解. 【详解】A．，故A正确； B．，故B正确； C．，， 由余弦定理知，，即， 化简得，故C错误； D．，当且仅当时等号成立， 由于，所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD． 11. 在正方体中，，分别为和的中点，M为线段上一动点，N为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线平面 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 过点的截面周长为 D. 当时，三棱锥体积最大时其外接球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质可判断A正确；由转化异面直线所成的角，在等边中分析可知选项B错误；找出截面图形，利用几何特征计算周长可得选项C正确；确定三棱锥体积最大时点的位置，利用公式可求外接球的半径和体积，得到选项D正确. 【详解】A. ∵， 平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 同理可证，， ∵，平面，平面， ∴直线平面，选项A正确. B. 如图，连接， 由题意得，，， 直线与所成的角等于直线与所成的角， 在等边中，当点与两点重合时，直线与所成的角为， 当点与中点重合时，，此时直线与所成的角为， 故直线与所成角的取值范围是，选项B错误. C. 如图，作直线分别与直线交于点，连接与交于点，连接与交于点，则五边形即是截面. 由题意得，为等腰直角三角形，， 由得，， ∴， ∴，， 同理可得，， ∵分别为和的中点， ∴， ∴截面周长为，选项C正确. D. 当时，点的轨迹为以为直径的球，球心为中点，半径为， 三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 点到平面距离的最大值为球的半径，此时点在正方形的中心处，三棱锥体积有最大值. 由题意得，平面平面，，均为等腰直角三角形，的外接圆半径为，的外接圆半径为， ∴三棱锥的外接球半径， ∴外接球体积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题为立体几何综合问题，求三棱锥外接球半径方法为： （1）在三棱锥中若有平面，设三棱锥外接球半径为，则，其中为底面的外接圆半径，为三棱锥的高即的长. （2）在三棱锥中若有平面平面，设三棱锥外接球半径为，则，其中分别为的外接圆半径，为公共边的长. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数（i是虚数单位），则复数z的模为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】， . 故答案为：. 13. 在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法分析得数列是等比数列，进而求得，从而将问题转化为恒成立，令，分析数列的最值，从而得解. 【详解】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为：. 14. 若定义在的函数满足，且有对恒成立，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件等式变形为，再构造函数，得到，并迭代得到，由此得到，，并求和，利用放缩法，即可求解最小值. 【详解】因为， 所以， 设，则， 因此 ， 所以， 取，得， 所以， 所以 的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 平面四边形中，已知 （1）求的面积； （2）若，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，设，则，由余弦定理，可得，利用三角形的面积公式即可求得的面积； （2）在中，由正弦定理，可求得，进而求得，进而求得，在中，由正弦定理，求得，即可求得的大小． 【小问1详解】 由已知，设，则， 在中，由余弦定理，， 因为， 所以， 解得，所以，， 所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理，， 因为，， 所以， 又在中，，则， 所以， 因为， 所以 ， 在中，由正弦定理，， 又，则， 解得， 又因为，所以， 因为， 则. 16. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接，因为分别为的中点，则， 在三棱柱中，，则，则四点共面， ，且，分别为的中点，则且， 则四边形为平行四边形，则，平面，平面， 则平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明四点共面，再证明，由线面平行的判定定理可证； （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角公式，带入求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直棱柱中，， 则以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系： 则有， ， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则及， 令，则有， 则， 因为二面角为钝角，则所求二面角的余弦值为. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程. （2）设过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，，. 【解析】 【分析】（1）根据题意由双曲线的渐近线方程得到的值，再根据在双曲线上，将坐标代入双曲线方程即可解得的值. （2）设出直线l方程与M，N点坐标，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可表示出、、、，再设出坐标，则可以表示出坐标，即可用坐标表示出的值，再结合具体代数式分析当为常数时的值. 【小问1详解】 由题意得，因为双曲线渐近线方程为， 所以， 又点在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：， 联立两式解得，， 所以双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 如图所示， 点,直线l与双曲线交于两点， 由题意得，设直线l的方程为，点坐标为， 联立得，， 设，， 则，， ， ， ，， 所以 ， 所以若要使得上式为常数，则， 即，此时， 所以存在定点，使得为常数. 【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题关键首先在用适当的形式设出直线l的方程，当已知直线过x轴上的定点时，可设直线方程为，这样可简化运算，其次在于化简时计算要仔细，最后判断何时为常数时要抓住“消掉m”这个关键，即最后的代数式中没有我们设出的m. 18. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）证明：在上有且仅有一个零点； （3）若时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据解析式求出切点，再根据导函数求出斜率，点斜式可得到切线方程； （2）先分析函数的单调性，需要二次求导，再结合函数值的情况进行判断； （3）对于函数图象的位置关系问题，可先特值探路求出参数的取值范围，再证明在该条件不等式恒成立即可. 【小问1详解】 ，当时，， 所以切点为， 因为， 所以斜线方程的斜率， 根据点斜式可得可得， 所以在处的切线方程为； 【小问2详解】 由（1）可得， 令， 所以， 当和时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； ， ，， ， 存在使得， 所以在上单调递增，在单调递减， 又， ， 所以在上有且仅有一个零点； 【小问3详解】 因为时，的图象恒在的图象上方， 即恒成立，等价于恒成立， 当时，有， 下证：即证，恒成立， 令， 当时，， 当时，， 设，则， 此时在有两个不同的解， 且当或时，， 当时，， 故在上为减函数，在，上为增函数， 而， 故当时，，当时，， 当时，， 故在上为增函数，在为减函数，在为增函数， 而，故时，恒成立， 综上. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 数列满足，的前n项和为，等差数列满足，等差数列前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前n和； （3）是否存在正整数m，使得是或中的项．若有，请求出全部的m并说明理由；若没有，请给出证明． 【答案】（1）， （2） （3），或 【解析】 【分析】（1）先利用数列通项与前n项和的关系求出，然后得到为等差数列，求得，再求得，计算数列的通项公式即可； （2）先求出区间的端点值，然后明确的项为奇数，得到中奇数的个数，得到通项公式，然后求和即可； （3）先假设存在，由（1）求得，，令，然后判断的取值，最后验证，不同取值时，的值即可. 【小问1详解】 由题可知，当时，； 当时，得 因为 两式相减得 经检验，当时， 显然，是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以 所以 等差数列的公差 所以 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，所以为奇数； 故为区间的奇数个数 显然为偶数 所以 所以 【小问3详解】 由（1）可知， 所以 若是或中的项 不妨令，则 则有 因为 所以 因为为数列或中的项 所以的所有可能取值为 当时，得无解，所以不存在； 当时 得 令 得 令 显然为二次函数，开口向下，对称轴为 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减 得 因为 所以 所以的可能取值有 我们来验证， 当时，得，可得存在正整数解或，故满足； 当时，得，当为整数时，分子为整数，分母不能被3整除；所以无正整数解，故不满足； 当时，得，得存在正整数解，故满足； 综上所诉，，或. 【点睛】关键点点睛：（1）需要构造数列，然后合理利用数列通项与前项和的关系求解即可；（2）需要明确两个数之间奇数的个数即可；（3）先假设存在，然后确定数列或中的项是哪些，最后再反过来求的值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中高2025届高三上11月阶段性检测 数学试题 （满分：150分：考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2、答选择题时、必须使用2B铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，若A，B，C三点共线，则x的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设m，n是不同的直线，为不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则． B. 若，则． C. 若，则． D. 若，则． 6. 若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的首项，前n项和，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列函数中，最小正周期为π且在为减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为定值 C. D. 的最大值为 11. 在正方体中，，分别为和的中点，M为线段上一动点，N为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线平面 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 过点的截面周长为 D. 当时，三棱锥体积最大时其外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数（i是虚数单位），则复数z的模为________． 13. 在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为______. 14. 若定义在的函数满足，且有对恒成立，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 平面四边形中，已知 （1）求的面积； （2）若，求的大小． 16. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程. （2）设过点的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 18. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）证明：在上有且仅有一个零点； （3）若时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围. 19. 数列满足，的前n项和为，等差数列满足，等差数列前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前n和； （3）是否存在正整数m，使得是或中的项．若有，请求出全部的m并说明理由；若没有，请给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $