广东省珠海市梅华中学、子期中学2024-2025学年九年级上学期10月期中联考数学试题

子期中学、梅华中学2024一2025学年第一学期期中考试 初三数学 说明：1.全卷共4页。满分120分，考试用时120分钟， 2.答案写在答题卡上，在试卷上作答无效， 3.用鼠色字迹钢笔或签字笔按各题婴求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔。 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答 题卡上对应题目所选的选项涂黑。 1.下列垃圾分类指引标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（) ☒ B 2.一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是（) D A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,若∠A=70°，则∠C的度数是（) A.70 B.90 C.110 D.140 愿3图 4.如图，同学们玩过的万花简，是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形EFG可以看成是把菱形 ABCD以点A为中心() A.逆时针旋转120°得到 B.逆时针旋转60°得到 C.烦时针旋转120°得到 D,顺时针旋转60°得到 5.己知方程2+x-6=0的两个根是a,b,则ab的值为() A.1 B.-1 C.6 D.-6 题4图 6.若点(0，y),(1,2),(2,)都在二次函数y=x2的图象上，则（) A.为>y2>y川 B.2>1>为 C.y1>y为>y2 D.为>y>2 7.如图，AB是⊙0的直径，若∠CDB=60°，则∠ABC的度数等于() A.30° B.45 C.60° D.0° 8.由二次函数y=2(x-3)2+1可知（) 题7图 A,其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为x=-3 C.其最大值为1 D。当x<3时，y随x的增大而诚小 ·第1页 9.如图，把△ABC绕C点按顺时针旋转40°，得到△A'C.点B落在边AB上， 若AB'⊥AC于点D,则∠B'D的度数为() A,40° B.50 C.60 D.701 10.函数y=a2+bx(a≠0)与y=ar+b的图象可能是（) 题9图 和 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11.点(1，·5)关于原点对称的点的坐标为 12.将抛物战y=-22向右平移2个单位，向上平移3个单位得到 13.己知道关于x的方程x2+5x-m=0的一个根是2，则该方程的另一个根是 14.如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上.若设AE=x,正方形EFGH 的面积为y,则y与x的函数关系为 题14图 15.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD,AE⊥BC,垂足是E,若线 段AE=4,则Sa形BCD= 三、解答题（一）（本大题3小愿，每小题7分，共21分） 16.(1)解方程：2+8x-9=0: 题15图 (2)若y=x2+8x-9,请直接写出y<0时x的取值范围. 17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的 坐标(1,3)，请解客下列问题： (1)画出△MBC关于原点对称的△A1B1C: (2)求出△MBC的面积. 题17图 18。如图，是一个馋道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中 点，EM经过圆心0交圆弧于点E,并且CD=4m,EM=6州，求⊙0的半径. CAG 第2页 题18图 四、解答题（二）.（本大题3小题.每小题9分，共27分） 19.如图，正方形OPNM和正方形ABCD全等，AC与BD交于点O,正方形OPWM绕点O旋转，OM交 AB于点E,OP交BC于F,如果正方形的边长为3. (1)在上述旋转过程中，判断OE与OF有怎样的数量关系，并证明： (2)请直接写出四边形OEBF的面积为一，周长最小值为 题19图 20.如图，⊙0的直径AB为10，弦BC为6，D是AC的中点，弦BD和CE交于点F,且DP=DC (1)求证：EB=EF (2)求证：BE=AE (3)求CE的长. 题20图 21.【问题背景】跳大绳是大家喜欢的传统体育运动，细子两端由两人拉若旋转，绳子离开地面时呈抛物 线状。 【收集素材】经测量，两位掘绳同学的手A、B离地面高度都为1米，两人间水平距高B为6米，绳 子甩到最高处C点离地面2.8米. 【问题解决】现以地面为x轴，过点A向地面作的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，此 时所有点都处于同一平面内。 (1)求此时绳子所对应的抛物线表达式： (2)身高155米的梅梅跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动，则她离A点的水平方向上的最小距离和 最大距离分别是多少米？ (3)若身高与梅梅相同的一群同学想问时跳绳，相互间的间距为0.8米，则此绳最多可容纳多少人一 起跳？ 题21图 第页 五、解容题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题4分，共27分） 22.【课本再现】 (1)如图1，△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与CD交于点O,试猜想BE与CD之间的数量关 系，并证明。 【深入研究】 (2)在(1)的条件下，证明OA平分∠D0E. 【探究应用】 (3)如图2，△AEC,△ABD都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，AD=AB,AC=AE连接 BC,DE,点M是BC的中点，判断AM与DE之间的关系，并证明.。 图1 图2 23.已知抛物线y=ar2+bxr+c与x轴只有一个公共点. (1)若抛物线过点P(0,1),求a+b的最小值： (2)已知点P（-2,1),P(2,·1),P(2,1)中恰有两点在抛物钱上. ①求抛物线的解析式： ②设直线：y=+1与抛物线交于M,N两点，点A在直线y=-1上，且∠MN=90°，过点A且 与x轴垂直的直线分别交抛物线和1于点B,C.求证：△MAB与△MBC的面积相等】 第4页子期中学、梅华中学2024一2025学年第一学期期中考试 初三数学（答案） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1 2 4 6 6 7 8 10 B C D D A B 二、填空题（本大题5小恩，每小题3分，共15分） 11.(-1,5)·12.y=-2(x-2)243或y=-2x248x-5·13.-7 14.y=22-4x+4.15.16 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16.解方程：(1)x2+8x-9=0. 解：(x+9)(x-1)=0, 3x对9=0或x-1=0,…5 (2)-9<x<1…7 17.(1)解如图所示：…1 六△MBC1即为所a求.5△c-4X4号×2X3-号×2X4合×1X4=77 18.解：(1)连接C0,…1 ,M是弦CD的中点，且EM经过圆心O, 六6w1cn.且a⑩-号×x2n 在Rt△OCM中，OP=OC2-CM2,…4 设OC为rm 0◆ 2-4=(6-r)2…6 10 解得：3 …7 第1页（共6页） 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19.(1)OE=0F,理由如下.…1 证明：：∠AOE+∠BOE=90°，∠MOP=90°， ,∠BOF=∠AOE,…2 在△OAE和△OBF中， (∠0AE=∠0BF=45° 0A=0B ∠AOE=∠BOF ∴.△AOE≌△BOF,…4 ∴OE=0F.…5 2)9 4: 20.(1)证明：，DF=DC, ∴.∠DCF=∠DFC, ,∠DCF=∠DBE,∠DFC=∠EFB, ∴.∠DBE=∠EFB, EB=EF2 (2)证明：D是AC的中点， ∴.AD=CD, .∠DBA=∠DBC, ∠DBE=∠EFB, ∴，∠DBE-∠DBA=∠EFB-∠DBC, 即∠ABE=∠ECB, ∴AE=BE:…5 (3)解：过B作BH⊥CE于点H,连接AE,AC, D :AB为⊙O的直径， ,∠ACB=90°，∠AEB=90°，…6 由(2)可知：AE=BE, AE=BE, 由勾股定理得：AE2+BE2=AB2, 第2页（共6页） :AB=10, AE=BE=5V2, ∴.∠ACE=∠BCE=45°， 在等腰直角三角形BCH中，CH=BH=BC-3V2, 在Rt△BEH中，EH=√BE2-BH2=√(5√2)2-(3V2)2=4W2, ∴CE=CH+8H=3W2+4W2=7W2.…9 21.解：(1)根据题意，由抛物线的对称性可知顶点C(3,2.8), 设抛物线解析式为y=a(x-3)2+2.8, 把点A(0,1)代入y=a(x-3)2+2.8中， 解得a=-02,3 ∴绳子所对应的抛物线表达式为y=-0.2(x-3)242.8: (2)当y=1.55时，1.55=-0.2(x-3)2+2.8,整理得(x-3)2=625, 解得：x1=0.5,2=5.5, ∴她离A点的水平方向上最小距离为0.5米，最大距离为5.5米：7 (3)5.5-0.5=5米，5÷0.8=6.25， 答：此绳最多可容纳7人一起跳。…9 22.解：（1)BE=CD,理由如下： :△ABD,△AEC都是等边三角形， .AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°， 将△BAE绕点A顺时针旋转60°后，E与C重合，B与D重合， △BAE与△DAC重合， ∴，BE=CD:…4 (2)由(I)得△BAE与△DAC面积相等，BE=CD A到BE,CD的距离相等 ∴.OA平分∠DOE7 (3)DE=2AM,且AMLDE,证明如下：8 延长AM到N,使MN=AM,连接BN,延长MA交DE于I,如图： 第3页（共6页） ,点M是BC的中点， ..CM=BM, :∠AMC=∠NMB,AM=MN, ,△AMC≌△NMB(SAS), ,BN=AC,∠N=∠CAM, ,AC∥BN, ∠NBA+∠BAC=180°， :∠BAD=∠CAE=90°， .∠DAE+∠BAC=I80°， ,∠NBA=∠DAE, AC=AE .BN=AE, AB=AD, .△NBA≌△EAD(SAS), ∴，AN=DE,∠BAN=∠ADE, AN=2AM, .DE=2AM,…11 ,∠BAN4∠DA=90°， ∠ADE+∠DA=90°， .∠A1D=90°， .AMLDE:13 23.解：(1)把P(0,1)代入解析式得：c=1, y=ax2+bx+1, 又，抛物线与x轴只有一个公共点， ，六A=-4a=0,即a=, 第4页（共6页） a(b2)2 当b=-2时，a叶b有最小值为-1；…4 (2)①，抛物线与x轴只有一个公共点， 抛物线上的顶点在x轴上， 抛物线上的点为P1,P3, 又，P1,P3关于y轴对称， .顶点为原点(0,0)， 设解析式为y=ax2, 代入点P得：y名 …8 ②证明： 联立直线1和抛物线得： * (y=kx+1 即：x2-4k-4=0, 设M(x,1+1),N(x2,a2+1), 由韦达定理得：x1+2=4k,x1n=~4, 设线段MN的中点为T,设A的坐标为(m,-1), 则T的坐标为(2k,22+1), ∴A7P=(2k-m)2+(22+2)2, 由题意得：IN2=(x1x2)2+(kx1-kx2)2=16(k4+2k2+1) ,△MAW是直角三角形，且MN是斜边， 六2=AT,即：2-ar3 1×16(W+22+1)=(2k-m)2+(22+2)2, 4 解得m=2k, .A(2k,-1), B(2k,2), C(2k,2241), ~2k2+1+-1=k3 2 ∴B是AC的中点， ..AB=BC, 第5页（共6页） 又：△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离， .△MAB与△MBC的高相等， .△MAB与△MBC的面积相等.…I4