期中 试题 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版数学九年级下册期中评估卷 一、选择题 (共8小题，每小题3分，共24分) 1．计算的值为(　　) A. B. C. D. 2．抛物线y＝3(x－7)2＋5的对称轴是(　　) A．直线x＝7 B．直线x＝－7 C．直线x＝5 D．直线x＝14 3．当a<0，c>0时，二次函数y＝ax2＋c的图象大致是(　　) 4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么tan B的值为(　　) A. B. C. D. 5．已知二次函数的图象经过点(1，10)，顶点坐标为(－1，－2)，则此二次函数的表达式为(　　) A．y＝3x2＋6x＋1 B．y＝3x2＋6x－1 C．y＝3x2－6x＋1 D．y＝－3x2－6x＋1 6．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝a米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于(　　) A．a·sin 35°米 B．a·sin 55°米 C．a·tan 35°米 D．a·tan 55°米 7．将二次函数C∶y＝x2－2x－3的图象向右平移1个单位长度，得到二次函数C1的图象，下列关于二次函数C1的说法正确的是(　　) A．C1的图象不经过第二象限 B．对称轴是直线x＝0 C．C1图象最低点的纵坐标是－3 D．C1的图象经过坐标原点(0，0) 8．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋5有最大值4，则实数m的值为(　　) A．－3 B．－1或2 C．2或－3 D．2或－3或－1 二、填空题 (共5小题，每小题3分，共15分) 9．抛物线y＝－(x－2)2＋6的顶点坐标是________． 10．如果＋|tan B－3|＝0，则△ABC的形状是____________． 11．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场ABC进行改造，已知AC与BC的夹角为120°，AC＝10 m，BC＝14 m，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是_____________m2(结果保留根号)． 12．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间为________s. 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，连接BE，点M是点A关于直线BE的对称点，连接DM，EM，则DM的最小值是________． 三、解答题 (共13小题，共81分) 14．(5分)计算：cos245°－tan 60°·tan 30°＋|sin 60°－1|. 15．(5分)当自变量x＝4时，二次函数有最小值－3，且它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1.求： (1)这个二次函数的表达式； (2)这个函数的图象与x轴另一个交点的横坐标. 16.(5分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，BC＝5. (1)求AC的长； (2)求cos∠OCA与tan B的值． 17．(5分)在平面直角坐标系xOy中，点是抛物线y＝ax2＋bx＋3上任意一点． (1)若x0＝－2，y0＝3，求该拋物线的对称轴； (2)已知点，，在该抛物线上，若存在3<x0<4，恰好使y0＝3.比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 18．(5分)某同学假期出去旅游，想要用已学过的知识测量一座古塔的高度，如图，他在离古塔90米的A处用测角仪测得塔顶的仰角为30°.若测角仪高AD＝1米，则古塔BE的高为多少米？(结果保留根号) 19．(5分)某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：如何设计纸盒？选择“素材1”“素材2”设计了实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为40 cm的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖纸盒. 素材2 如图，在边长为40 cm的正方形纸板的四角处各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒. 设折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2，剪掉的小正方形的边长为a cm. (1)求S与a之间的函数表达式． (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由． 20．(5分)如图，王英发现自己家门口有两棵相距8 m的树AB和CD.经测量，小树AB的高度为4 m，大树CD因太高不好直接测量，于是王英想到了如下测量方法：她站在两棵树中间的点F处，眼睛位于点E处时，观察测得小树的最高点A的仰角(视线与水平线的夹角)为α，大树的最高点C的仰角为β，神奇地发现，α与β恰好互余，已知王英的眼睛距离地面的高度EF＝1.5 m，BF＝3 m，B，F，D在一条水平直线上，且AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，请你求出大树的高度CD. 21.(6分)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式． (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 22．(6分)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24 cm，BE＝AB，试管倾斜角α为10°.(参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18) (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度(结果精确到0.1 cm)； (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF(点C，D，N，F在一条直线上)，经测得：DE＝27.36 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度(结果精确到1 cm)． 23.(8分)已知抛物线经过点(2，－3)，它的对称轴为直线x＝1，且函数有最小值－4. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若抛物线与x轴的交点为A，B(A在B左侧)，与y轴的交点为C，在第四象限的抛物线上找一点P，使△BCP的面积为△ABC面积的一半，求出此时点P的坐标． 24．(8分)如图①是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形OACB和抛物线的一部分CDB构成，矩形OACB的边OA＝12 m，AC＝2 m，抛物线的最高点D离地面8 m. (1)以点O为原点、OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，求抛物线的表达式； (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移1 m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为________m2； (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于或等于2 m范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 m的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 25.(8分)综合与实践． 【问题初探】数学小组先以抛物线y＝x2为例，对函数图象的平移变换做了以下研究： y＝x2y1＝2＋k (1)k的值为________，已知A在抛物线y＝x2上，则平移后对应的点A′的坐标为________________； 　【探究归纳】同学们对函数图象向左平移1个单位长度，表达式中的x反而变为x＋1产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记： 定义：函数图象按平移是指沿x轴方向向右平移h个单位长度或向左平移个单位长度；再沿y轴向上平移k个单位长度或向下平移个单位长度． 设抛物线y＝x2上的任意一点为M，将抛物线按平移后，M的对应点为N. 【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后表达式的研究． (2)若反比例函数y＝的图象按平移，求平移后的图象所对应的函数表达式； (3)若抛物线y＝x2按平移，规定平移路径长为.设抛物线y＝x2平移后交直线y＝x－1于A，B两点，且AB＝4，当平移路径最短时，求m，n的值. 26.(10分)【问题提出】 (1)如图①，在四边形ADEC中，∠D＝∠E＝90°，点B是DE上一点，连接AB，BC，若∠ABC＝90°，求证：△ADB∽△BEC； 　【问题探究】 (2)如图②，在Rt△ADE中，∠D＝90°，点B是DE上一点，过点B作BC⊥AB交AE于点C，若tan∠BAC＝，BD＝4，CE＝3，求tan E的值； 　【问题解决】 (3)如图③，四边形ABCD是某公园的一块空地，BC＝40 m，分别沿AC，BD修两条小路，并在△BCD区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知AB＝AC，∠ACD＝90°，tan∠CAD＝，求栽种竹子的面积． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案 一、1.C　2.A　3.D　4.B　5.A　6.C　7.D 8．C　点拨：二次函数图象的对称轴为直线x＝m. ①当m<－2时，二次函数在x＝－2处取得最大值，则－(－2－m)2＋5＝4， 解得m＝－3或m＝－1(舍去)； ②当－2≤m≤1时，二次函数在x＝m处取得最大值5，不合题意； ③当m>1时，二次函数在x＝1处取得最大值，则－(1－m)2＋5＝4， 解得m＝2或m＝0(舍去)．综上，m＝2或m＝－3. 二、9.(2，6)　10.等边三角形　11.35　12.2 13．4　点拨：如图，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作圆， 交BD于点M， 易知此时DM的值最小，最小值为BD－BM. ∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10. ∵点A和点M关于BE对称，∴易得BM＝6， ∴DM＝BD－BM＝10－6＝4，∴DM的最小值为4. 三、14.解：cos245°－tan 60°·tan 30°＋|sin 60°－1| ＝－×＋ ＝－1＋1－ ＝. 15．解：(1)∵当自变量x＝4时，二次函数有最小值－3， ∴函数图象的顶点坐标为(4，－3)， ∴可设二次函数的表达式为y＝a(x－4)2－3，由题可知图象与x轴交于点(1，0)， 将(1，0)代入，得9a－3＝0，解得a＝， ∴这个二次函数的表达式为y＝(x－4)2－3. (2)∵y＝(x－4)2－3， ∴函数图象的对称轴为直线x＝4. 又∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标为1， ∴抛物线与x轴另一个交点的横坐标为2×4－1＝7. 16．解：(1)∵∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5， ∴AB＝2CO＝13. ∵BC＝5，∴AC＝＝12. (2)由(1)易得OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴cos∠OCA＝cos A＝＝，tan B＝＝. 17．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3过， ∴4a－2b＋3＝3，整理得b＝2a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝－＝－1. (2)y1>y3>y2. 理由如下： 设抛物线的对称轴为直线x＝t，则抛物线上点关于对称轴的对称点为， ∵存在3<x0<4，恰好使y0＝3， ∴3<2t<4，即<t<2. ∵a>0，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小． ∵关于对称轴的对称点为，且0<2t－3<1， ∴点，，都在对称轴左侧，且－1<2t－3<1， ∴y1>y3>y2. 18．解：如图，过点A作AC⊥BE，垂足为C，则易得四边形ACED是矩形， ∴AC＝DE＝90米，CE＝AD＝1米． 在Rt△ACB中，∠BAC＝30°， ∴BC＝AC·tan 30°＝90×＝30(米)， ∴BE＝BC＋CE＝(30＋1)米， ∴古塔BE的高为(30＋1)米． 19．解：(1)由题意知，折成的无盖长方体的四个侧面都是相等的长方形，其一边长为(40－2a) cm，与其相邻的另一边长为a cm， 则S＝4a(40－2a)＝－8a2＋160a. (2)有最大值．S＝－8a2＋160a＝－8(a－10)2＋800， 当a＝10时，S有最大值，最大值为800. 故折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为800 cm2，此时剪掉的小正方形的边长为10 cm. 20．解：过点E作BD的平行线MN，分别交AB，CD于点M，N，如图． ∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD， ∴AB⊥MN，CD⊥MN，EF⊥MN， ∴四边形BFEM，BDNM都是矩形，∠AME＝∠CNE＝90°， ∴DN＝BM＝EF＝1.5 m，EM＝BF＝3 m，MN＝BD＝8 m，∠A＋α＝90°， ∴EN＝MN－EM＝5 m，AM＝AB－BM＝2.5 m， ∵β＋α＝90°，∴β＝∠A， ∴△CEN∽△EAM，∴＝， ∴CN＝＝＝6(m)， ∴CD＝CN＋DN＝6＋1.5＝7.5(m)， 即大树的高度CD为7.5 m. 21．解：(1)设y与x的函数表达式为y＝kx＋b， 把x＝12，y＝56；x＝20，y＝40代入，得 解得 ∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋80. (2)设日销售利润为w1元， 根据题意，得w1＝·y ＝ ＝－2x2＋100x－800 ＝－22＋450， ∴当x＝25时，w1有最大值为450， ∴当糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是 450元． (3)设日销售利润为w2元， 根据题意，得w2＝·y ＝ ＝－2x2＋x－800－80m， ∴当x＝－＝时，w2有最大值． ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴＝392， 化简得m2－60m＋116＝0，解得m1＝2，m2＝58， 当m＝58时，x＝＝54， 则每盒的利润为54－10－58＝－14(元)，－14<0， ∴舍去，∴m的值为2. 22．解：(1)如图，过点E作EG⊥AC于点G. 易得四边形CDEG为矩形，∴CD＝EG. ∵AB＝24 cm，BE＝AB，∴BE＝8 cm，∴AE＝16 cm.在Rt△AEG中，EG＝AE·cos 10°≈16×0.98≈15.7(cm)， ∴CD＝EG≈15.7 cm. (2)如图，过点B分别作BH⊥DE于点H，BP⊥FC于点P. ∵ED⊥CF， ∴四边形BPDH是矩形， ∴BH＝DP，BP＝HD. 易知∠EBH＝α＝10°， 在Rt△BEH中， HE＝BE·sin∠EBH＝8·sin 10°≈8×0.17＝1.36(cm)， BH＝BE·cos∠EBH＝8·cos 10°≈8×0.98＝7.84(cm)， ∴DP＝BH≈7.84 cm，HD＝DE－HE≈27.36－1.36＝26(cm)， ∴BP＝HD≈26 cm. ∵∠PBF＝145°－90°－10°＝45°， ∴∠BFP＝180°－∠BPF－∠PBF＝45°， ∴PF＝BP≈26 cm，NF＝MN＝8 cm， ∴DN＝DP＋PF－NF≈7.84＋26－8≈26(cm)． 答：DN的长度约为26 cm. 23．解：(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(1，－4)， ∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－4， 将(2，－3)代入上式，得－3＝a－4，解得a＝1， 故抛物线的表达式为y＝(x－1)2－4. (2)对于y＝(x－1)2－4①， 令x＝0，则y＝－3，令y＝0，则x＝－1或3， 故点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(0，－3)． 设直线BC的表达式为y＝mx＋t， 则解得 故直线BC的表达式为y＝x－3. 如图，分别过点A，P作直线BC的平行线m，n，m，n分别交y轴于点M，N， ∵△BCP的面积为△ABC面积的一半，故易得MC＝2NC， 由直线BC的表达式知，直线BC和x轴所夹的锐角为45°，则直线m，n和x轴所夹的锐角均为45°， 则MO＝AO＝1. 又∵OC＝3， ∴CN＝MC＝×(1＋3)＝2， 则点N(0，－5)， ∴易得直线n的表达式为y＝x－5②， 联立①②解得或 即点P的坐标为(1，－4)或(2，－3)． 24．解：(1)∵OA＝12 m，AC＝2 m，抛物线最高点D离地面8 m，∴B， 顶点D， 设抛物线的表达式为y＝a2＋8， 将B(0，2)的坐标代入，得2＝36a＋8，解得a＝－， ∴抛物线的表达式为y＝－2＋8. (2)12　点拨：∵将该抛物线向上平移1 m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，∴贴黄黑立面标记的区域的面积为12×1＝12(m2)． (3)∵车辆必须在距离隧道边缘大于或等于2 m范围内行驶， ∴令x＝2，则y＝－×2＋8＝. －＝5(m)，∴该隧道车辆的限制高度为5 m. 25．解：(1)－2； (2)设反比例函数y＝图象上的任意一点为M， 将函数图象按平移后，M的对应点为N， 则x1＝x＋1，y1＝y＋4， ∴x＝x1－1，y＝y1－4. ∵点M在反比例函数y＝的图象上，∴y1－4＝，即y1＝＋4， ∴点N在函数y＝＋4的图象上， ∴平移后的图象对应的函数表达式为y＝＋4. (3)抛物线y＝x2的顶点坐标为， 按平移后的抛物线顶点坐标为， ∴平移后图象的表达式为y＝(x－m)2＋n， 联立平移后的抛物线表达式与直线表达式， 得(x－m)2＋n＝x－1， 整理得x2－2(m＋1)x＋m2＋2n＋2＝0， 则x1＋x2＝2m＋2①，x1x2＝m2＋2n＋2②， 由勾股定理得AB＝＝4， 易知y1＝x1－1，y2＝x2－1， 代入上式，再两边平方，整理得(x1－x2)2＝8， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝8， 将①②代入，整理得n＝－＋m， 设平移的路径长为l， 由已知可得l2＝m2＋n2， 将n＝－＋m代入上式得， l2＝m2＋＝2(m－)2＋， ∵2>0，∴当m＝时，l2最小，即l最小， 此时n＝－＋m＝－， ∴当平移路径最短时，m＝，n＝－. 26．(1)证明：∵∠D＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠ABD＋∠CBE＝90°， ∴∠CBE＝∠BAD. 又∵∠D＝∠E＝90°，∴△ADB∽△BEC. (2)解：如图①，过点C作CN⊥DE于点N. ∵CN⊥DE，∠ADE＝90°，∠ABC＝90°，根据(1)的方法可得△ADB∽△BNC，∴＝. 在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，∴＝. ∵DB＝4，∴CN＝2. 在Rt△CNE中，CN＝2，CE＝3， ∴NE＝＝， ∴tan E＝＝＝. (3)解：如图②，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC， 交BC的延长线于点F. ∵AE⊥BC，DF⊥BC，∠ACD＝90°， 根据(1)的方法可得△AEC∽△CFD， ∴＝. ∵AB＝AC，AE⊥BC，BC＝40 m， ∴CE＝BC＝20 m. 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝， ∴＝＝. ∵CE＝20 m，∴FD＝CE＝10 m， ∴S△BCD＝BC·FD＝×40×10＝200(m2)， 故栽种竹子的面积(即△BCD的面积)为200 m2. 24 学科网（北京）股份有限公司 $$