山东省郓城第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

1 郓城一中 2023 级高二上学期月考考试数学学科试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 如果 0AB  ， 0BC  ，那么直线 0Ax By C   不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.若方程 2 2mx y n  表示焦点在 x轴上的椭圆，则（ ） A． 0m  ， 0n  B． 0m  ， 0n  C． 1m  ， 0n  D．0 1m  ， 0n  3. 若点  1,1P 为圆 2 2 6 0x y y   的弦 AB的中点，则弦 AB所在直线的方程为（ ） A. 2 1 0x y   B. 2 1 0x y   C. 2 3 0x y   D. 2 3 0x y   4.已知  1, 1A  ，  2,2B ，  3,0C 三点，且有一点 D 满足CD AB ，CB AD∥ ，则点 D 的坐标 为（ ） A．  1,0 B．  0, 1 C．  1,0 D．  0,1 5.阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率�等于 椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系���中，椭圆�: � 2 �2 + �2 �2 = 1(� > � > 0) 的面积为 2 3�，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆�的标准方程是( ) A. � 2 4 + �2 3 = 1 B. �2 3 + �2 4 = 1 C. �2 2 + �2 3 = 1 D. �2 3 + �2 2 = 1 6．若 PAB 是圆C：    2 22 2 4x y    的内接三角形，且 PA PB ， 120APB  ，则 AB的中 点D的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1x y  B．    2 22 2 2x y    C．    2 22 2 3x y    D．    2 22 2 1x y    7．设直线 : 1 0l x y   ，一束光线从原点O出发沿射线  0y kx x  向直线 l射出， 经 l反射 后与 x轴交于点M ，再次经 x轴反射后与 y轴交于点 N . 若       2 1,0N ，则 k的值为（ ） A． 3 2 B． 2 3 C． 1 2 D． 1 3 8.中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧 正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视 为一个大正方形(内部是 16 个全等的边长为 1的小正方形)和凸出的 16个半 圆所组成，如图，点�是大正方形的一条边的四等分点，点�是大正方形的一 个顶点，点�是凸出的 16个半圆上的任意一点，则�� ⋅ ��的最大值为( ) A. 33+3 17 2 B. 33+2 17 2 C. 33+ 17 2 D. 9 17 2 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9. 已知直线    2: 3 3 1 0 Rl a x y a     ，则（ ） A. 直线 l不过原点 B. 直线 l可能与坐标轴垂直 C. 0a  时，直线 l与直线 1 0x y   垂直 D. 1a  时，直线 l的一个方向向量为  4, 3n   10. 已知两圆为 2 21 : 4C x y  与 2 2 2 2 : ( 4) ( 3) ( 0)C x y r r     ，则（ ） A. 若两圆外切，则 2r  B. 若两圆有 3条公切线，则 3r = C. 若两圆公共弦所在直线方程为8 6 13 0x y   ，则 4r  D. P为圆 1C 上任一点，Q为圆 2C 上任一点，若 PQ 的最大值为12，则 5r  11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ､ B的距 离之比为定值 ( 1)   的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗 尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 xOy中， (2, 2)A ， ( 4, 2)B  ，点 P满足 PAPB  ， 2 设点 P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ） A.C的方程为 2 2 8 4 4 0x y x y     B.C上的点到直线3 4 6 0x y   的最大距离为 8 C.过  6,0  点做直线与圆 C 相切于 E、F 两点， EBF 的正切值为 5 64 D.过 A 做直线与圆 C 交于 M、N 两点，使 CMN 的面积为 27 的直线有 4 条。 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12.若两平行直线  2 0 0x y m m    与 3 0x ny   之间的距离是 5 ，则m n  ________． 13.设 、 分别椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的左、右焦点，若椭圆上存在点 ，使 ， 且 ，则椭圆离心率为________． 14. 在平面直角坐标系中，定义  1 1,P x y 、  2 2,Q x y 两点间的直角距 离为   1 2 1 2,d P Q x x y y    ，如图，BC是圆  2 2: 1 1A x y   当 3 2 x  时的一段弧，D是BC与 x轴的交点，将BC依次以原点O为中 心逆时针旋转 60五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则  ,d C D  _______．若点 P为曲线上任 一点，则  ,d O P 的最大值为________． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知平面内两点  6, 6A  ，  2,2B ． (1)求过点  1,3P 且与直线 AB垂直的直线 l的方程． (2)若 ABC 是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线 AC的方程． 16．（15 分）如图直线�过点(3，4)，与�轴、�轴的正半轴分别交于�、�两点，△ ���的面积为 24. 点�为线段��上一动点，且��//��交��于点�. （1）求直线��斜率的大小； （2）若△ ���的面积�△���与四边形����的面积����� 满足：�△��� = 1 3 �����时，请你确定�点在��上的位置，并求出线段 ��的长； 17. （15 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知圆心在 y轴上的圆 C经过两点  0,2M 和  1,3N ， 直线 l的方程为 y kx . （1）求圆 C的方程； （2）过点  1,0 作圆 C切线，求切线方程； （3）当 1k  时，Q为直线 l上的点，若圆 C上存在唯一的点 P满足 2PO PQ ，求点 Q的坐标. 18. （17 分）已知圆C的方程为 2 2 8 4 0x y x y    ， 1 2,l l 是经过 (0, 2)P  且互相垂直的两条直 线，其中 1l 交圆C于 ,M N两点， 2l 交 x轴于Q点． （1）若 8MN  ，求直线 1l 的方程； （2）求 QMN 面积的最小值． 19．（17 分）已知圆C过点  1,1 ，且与 y轴相切于坐标原点，过直线 : 1 0l x y   上的一动点 P引 圆C的两条切线 1l ， 2l ，切点分别为A， B． (1)求圆C的标准方程； (2)若点M为线段 AB的中点，点O为坐标原点，求 MC MO 的最大值． 3 郓城一中 2023 级高二上学期月考考试数学学科试题答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1. 【详解】因为 0AB  ，故 0B  ，故直线的斜截式方程为： A Cy x B B    ， 因为 0AB  ， 0BC  ，故 0, 0 A C B B     ， 故直线经过第一象限、第三象限、第四象限， 故选：B 2.【详解】方程 2 2mx y n  可化为 2 2 1x yn n m   ， 因为方程 2 2mx y n  表示焦点在 x轴上的椭圆， 所以 0n n m   ，故 0n  ，0 1m  .故选：D. 3.【详解】设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 2 21 1 16 0x y y   ， 2 22 2 26 0x y y   ， 两式做差可得 2 2 2 2 1 2 1 2 1 26 6 0x x y y y y      ， 即          1 2 1 2 1 2 1 2 1 26 0x x x x y y y y y y        ， 又因为  1,1P 是 AB的中点，则 1 2 1 22, 2x x y y    ， 因此      1 2 1 2 1 22 2 6 0x x y y y y      ，即    1 2 1 22 4 0x x y y    ， 所以 1 1 2 1 2AB y yk x x     ， 因此直线 AB的方程为  11 12y x   ，即 2 1 0x y   ， 经检验，符合题意，故弦 AB所在直线的方程为 2 1 0x y   .故选：B. 4.【答案】D【解析】由题意可知： 2 1 3 2 1AB k += = - ， 2 0 2 2 3CB k     ， 若CD AB ，CB AD∥ ，可知直线 ,AD CD的斜率存在， 设  ,D x y ，则 0 3 3CD y yk x x      ， 1 1AD yk x    ， 则 1CD AB AD CB k k k k      ，即 3 1 3 1 2 1 y x y x            ， 解得 0 1 x y    ，即  0,1D ．故选：D. 5.解：由题意得 �� = 2 3 � = 2� �2 = �2 + �2 ，解得 � = 2 � = 3 , 所以椭圆�的标准方程是� 2 4 + �2 3 = 1． 6．【详解】由题意, , 120PA PB APB    , 120ACB   ， 2OB  ， 1CD  ， 线段 AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆， 线段 AB的中点的轨迹方程是： 2 2( 2) ( 2) 1x y    .故选：D. 7．【解析】如图，设点O关于直线 l的对称点为  1 1,A x y ， 4 则   1 1 1 1 1 0 2 2 1 1 x y y x            得 1 1 1 1 x y    ，即  1,1A ， 由题意知  0y kx x  与直线 l不平行，故 1k   ， 由 1 0 y kx x y      ，得 1 1 1 x k ky k         ，即 1 , 1 1 kP k k       ，P 为入射点， 故直线 AP的斜率为 1 1 1 1 1 1 APk k k k k       ， 直线 AP的直线方程为：  11 1y x k    ， 令 0y  得 1x k  ，故  1 ,0M k ， 令 0x  得 11y k   ，故由对称性可得 10, 1N k      ， 解得 2 3 k  或 3 2 k = ， 若 3 2 k = ，则第二次反射后光线不会与 y轴相交，故不符合条件． 故 2 3 k  ，故选：B. 8.解：第一步：利用向量数量积的几何意义将�� ·��的最大值进行转化 �� ⋅ ��等于��在�� 上的投影向量与�� 的数量积，因此当��在�� 上的投影向量与�� 同向，且投影 向量的模最大时，�� ⋅ ��取到最大值。 第二步：建立坐标系，分析�� ·��取最大值时点�的位置 以大正方形的相邻两边分别为�，�轴建立平面直角坐标系���，如图，�(0,1), �(4,0)， 则直线��的方程为�4 + � = 1，以点�为半圆弧端点且在��上方的半圆圆心为�(4, 1 2 )， 半圆�的方程为(� − 4)2 + (� − 12 ) 2 = 14 (4 ≤ � ≤ 9 2 )， 显然半圆�在点�处切线�垂直于直线��时，�� ⋅ ��取得最大值， 第三步：求�� ·��的最大值 设切线�的方程为 4� − � + � = 0，于是 |16−12+�| 17 = 1 2，而点�在切线�的左上方，解得� = − 17−31 2 ， 即切线�：4� − � − 17+312 = 0，由 4� − � − 17+312 = 0 � 4+ � = 1 解得 � = 2( 17+33)17 � = 1− 1734 , 因此切线�与直线��的交点�( 2( 17+33)17 , 1− 17 34 )，此时 �� = 33 17+17 34 ，又 �� = 17， 所以�� ⋅ ��的最大值为33 17+1734 × 17 = 33+ 17 2 ． 故选：� 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 【详解】因为直线    2: 3 3 1 0 Rl a x y a     ， 所以  0,0 不满足直线方程，即直线 l不过原点，故 A正确； 由直线方程可知直线的斜率为 2 3 3 a  ，且不为 0，故直线 l不可能与坐标轴垂直，故 B错误； 当 0a  时，直线 : 3 3 1 0l x y   ，由3 1 3 1 0    可知直线 : 3 3 1 0l x y   与直线 1 0x y   垂直，故 C正确； 5 当 1a  时，直线 : 4 3 1 0l x y   ，直线 l的一个方向向量为  3,4 ，而    3,4 4, 3 0   ，故 D 错误. 故选：AC. 10. 【答案】BCD【详解】解：圆 1C 的圆心为  0,0 ，半径为 2，圆 2C 的圆心为  4, 3 ，半径为 r， 对于 A，若两圆外切，则圆心距 16 9 5 2 r    ，得 3r  ，故 A错误； 对于 B，若两圆有 3条公切线，则两圆外切，则 3r  ，故 B正确； 对于 C，两圆得方程相减得 28 6 29 0x y r    ， 若两圆公共弦所在直线方程为8 6 13 0x y   ， 则 2 29 13r    ，解得 4r  ，故 C正确； 对于 D，圆心距 16 9 5  ， 则 PQ 的最大值为5 2 12r   ，解得 5r  ，故 D正确. 故选：BCD. 11.【详解】设 ( , )P x y ，则         2 2 2 2 2 2 1 24 2 x yPA PB x y         ， 化简得， 2 2 8 4 4 0x y x y     ，则选项A正确； 。8sin 2 1S 2  CrCMN 则选项 D错误； C上的点到直线3 4 6 0x y   的最大距离为圆心到直线3 4 6 0x y   的距离加半径， 即 12 8 6 4 6 9 16      ，则选项 B错误； 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分． 12.【解析】因为直线  2 0 0x y m m    与直线 3 0x ny   平行， 所以有 1 3 1 2 n m     ，所以有 2, 3n m    ， 又因为这两条平行线间距离为 5 ， 所以有 2 2 3 5 3 5 2 1 2 m m m         ，或 8 0m    舍去， 所以 0m n  . 13.【详解】设 1 2,F F 分别是椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的左、右焦点，由椭圆的定义可知： 1 2 2AF AF a  ，所以 2 2 2 1 2 1 22 4AF AF AF AF a   ，所以 1 2 3 , 2 2 a aAF AF  ．若椭圆上存在 点A，使 ，所以 2 2 2 1 2 4AF AF c  ，所以 2 28 5c a ，所以 10 4 e  ． 14. 【答案】 ①. 1 3 2  ②. 1 3 2 2 2   【详解】由图可知，点C位于第一象限，在圆A的方程中，令 3 2 x  ，可得 3 2 y   ，则点 3 3, 2 2 C        . 如图可得，点  2,0D ，所以   3 3 1 3, 2 0 2 2 2 d C D      ； 根据对称性，只需讨论点 P在第一象限的情况： 当点 P在CD上时，设 PAD   ，则 0, 3       ，则  1 cos ,sinP   ， 所以  , 1 cos sin 1 cos sin 1 2 sin 4 d O P                  ， 0 3   ，则 7 4 4 12      ，当 4 2     时，  max, 1 2d O P   ； 当点 P不在CD  上时，所在圆的圆心为 1 3, 2 2 E        ， 易知直线CE y 轴，设 PEC   ， 20, 3       ，同理可得 1 3cos , sin 2 2 P           ，则 6 1cos ,1 2       ，  sin 0,1  ，   1 3 1 3 1 3, cos sin cos sin 2 sin 2 2 2 2 2 4 d O P                     ， 20 3   ，则 11 4 4 12      ，当 4 2     时，  max 1 3 2 2, 2 d O P   . 因为 1 3 2 2 1 2 2     ，所以，  ,d O P 的最大值为1 3 2 2 2   . 故答案为： 1 3 2 2 2   . 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）由题意得 6 2 2 6 2AB k      ，则直线 l的斜率为 1 2 ， 所以过点  1,3P 且与直线 AB垂直的直线 l的方程为：  13 1 2 y x   ， 即 2 5 0x y   ．····································5 分 （2） AB的中点坐标为  4, 2 ， 由（1）可知线段 AB垂线的斜率为 1 2 ，所以线段 AB垂直平分线的方程为  12 4 2 y x   ， 即 2 8 0x y   ． 因为 ABCV 是以C为顶点的等腰直角三角形， 所以点C在直线 2 8 0x y   上， 故设点C为  2 8,a a ， 由 CB CA可得： 6 2 1 2 8 6 2 8 2 a a a a          ， 解得 0a  或 4a   ，·······························10 分 所以点C坐标为  8,0 或  0, 4 ， 则直线 AC的方程为3 24 0x y   或 3 12 0x y   ．····································13 分 16．【详解】（1）显然直线�斜率存在，设直线�方程为� − 4 = � � − 3 ， 则直线�交�轴的正半轴于点� 3 − 4 � , 0 ，交�轴的正半轴于点� 0,4 − 3� ， ………….(3 分) 于是得�△��� = 1 2 3 − 4 � 4 − 3� = 24，解得� =− 4 3 ， 所以直线��斜率为− 4 3 ； ………….(6 分) （2）由（1）知直线�的方程为：� − 4 =− 4 3 � − 3 ，即 4� + 3� − 24 = 0，�(0,8)， 因�△��� = 1 3 �����，则�△��� = 1 4 �△���， ………….(9 分) 又��//��，则△ ���与△ ���相似， 于是有 ��2 ��2 = �△��� �△��� = 1 4 ，即 �� �� = 1 2 ，得�� = 4，此时点�为线段��中点， 所以�△��� = 1 3 �����时，点�为线段��中点，且�� = 4； ………….(15 分) 17. 【答案】（1）  22 3 1x y   （2） = 1x  或 4 3 4 0x y   （3）  2 2,2 2Q   或  2 2,2 2  【解析】 （1）设圆的方程为  22 2 ( 0)x y b r r    ，将 M，N坐标代入，得：     22 2 22 2 0 2 1 3 b r b r         ， 解得 3 1 b r    ，所以圆的方程为  22 3 1x y   ； （2）当切线斜率不存在时，直线 = 1x  与圆相切； 当切线斜率存在时，设直线方程为  1y k x  ，即 0kx y k   ， 由圆心  0,3 到直线的距离 2 3 1 1 k d k      ， 解得 4 3 k  ，故切线方程为 4 3 4 0x y   ， 综上，切线方程为 = 1x  或 4 3 4 0x y   ； （3）设  ,Q t t ，  ,P x y ，则    2 22 2 2x y x t y t      ， 化简得    2 2 22 2 4x t y t t    ， 此圆与圆 C相切， 所以有    2 20 2 3 2 2 1t t t     ，解得 2 2t   ， 7 所以  2 2,2 2Q   或  2 2,2 2  . 18. 【答案】（1） 3 3 6 0x y    （2） 4 5 （1）圆C的方程为 2 2( 4) ( 2) 20x y    ，圆心 (4, 2)C  ，半径 2 5r  ． 若 1l 垂直于 x轴，则 4MN  不合题意， 故 1l 斜率存在，设为 k，则 1l 的方程为 2y kx  ，即 2 0kx y   ． 8MN  ，C到 1l 的距离  2 22 5 4 2d    ， 2 4 2 2 2 1 k k     ，解得 3 3 k   ， 故直线 1l 的方程为 3 2 3 y x   ，即 3 3 6 0x y    ． （2）由已知， 2l 斜率不为 0，故 1l 斜率存在． 当 2l 斜率不存在时， 2l 方程为 0x  ，则 (0,0)Q ，此时 1l 方程为 = 2y  ，此时 4 5MN  ， 1 4 5 2 4 5 2QMN S    △ ． 当 2l 斜率存在时，设 1 : 2l y kx  即 2 0kx y   ，则圆心C到直线MN的距离为 2 4 1 k k  ．   2 2 22 2 2 2 16 4 20 52 2 5 2 4 1 1 1 k k kMN k k k          ， 2l 方程为 1 2y x k    ，即 2 0x ky   ，  2 ,0Q k ，则点Q到MN的距离为 2 2 2 2 1 k k    ． 2 2 2 2 2 1 2 2 4 5 4 5 4 5 2 1 1 QMN k kS k k k           △ . 综上： QMN 面积的最小值为4 5． 19．【答案】(1)  2 21 1x y   (2) 2． 【详解】（1）解：∵圆C与 y轴相切，∴可设圆心C的坐标为  ,0c ； 又∵圆C过点  0,0 ，  1,1 ，∴ 2 2 2 20 ( 1) (0 1)c c r      ， 解得 1c  ，∴圆心C为  1,0 ，半径为 1， ∴圆C的标准方程为  2 21 1x y   ； （2）解：如图， 设A， B两点的坐标分别为  1 1,x y ，  2 2,x y ，再设点 P为  , 1a a  ， 直线 AC的方程为  1 1 11 0y x x y y    ， 又∵ 1l 过点A，且与直线 AC垂直，∴ 1l 为  1 1 11 0x x y y x    ， 又知 1l 过点 P，得到  1 1 11 ( 1) 0x a y a x     ， 整理可知点A满足：    1 11 1 0a x a y a     ， 同理点 B满足：    2 21 1 0a x a y a     ， ∴直线 AB的方程为    1 1 0a x a y a     ， ∴直线 AB恒过定点 1 1, 2 2       ，设定点为Q点， 由题意可知当点M与点Q不重合时，MC MQ ，点M在以CQ为直径的圆上（不包括点C）， 当点M与点Q重合时也在该圆上， 8 ∴点M的轨迹为 2 23 1 1 4 4 8 x y              （去掉  1,0 ），设圆心为 3 1, 4 4 N      ，  2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 11 1 2 3 1 M M M M M M M M M M x y x x x y x y x y MC MO               ， 当 1 2M x  时， 1 MC MO  ；当 1 2M x  时，∵ 2 1 2 1 22 2 13 1 6 2 2 3 2 1 M M MM M M M M x x yx y x y x            ， 又∵ 2 1 2 1 M M y x   即点 1 1, 2 2      与点  ,M Mx y 所在直线的斜率，范围是    , 7 1,   ． 进而 2 1 1 1,0 0, 3 1 2 2 M M M x x y                ，∴   0,1 1, 2MCMO   ， 综上： 0, 2 MC MO    ，∴ MC MO 的最大值为 2．