山东省郓城第一中学（文苑校区）2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

郓城一中文苑校区高二上学期开学摸底考试数学试题解析 在复平面内对应的点位于第四象限.1.【答案】D【详解】复数，在复平面内对应的点，所以 2.【答案】C【详解】设质量指标在区间内的零件应抽取个，则 ，解得， 故选：C． 3.答案C【解析】显然事件A与事件B可以同时发生，事件与事件不互斥，A错误；抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，，，，，， 事件B的样本点为 ，共18种， 事件C的样本点为，共12种， 事件的样本点为，共6种， 因此，B错误；，C正确； 而，于是，则事件B与事件C相互独立，D错误. 4．【解析】 ①若，，，如图，则与不一定垂直，故①为假命题； ②若，，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故②为真命题； ③若，，，则，故③为真命题； ④若，，，如图，则与可能相交，故④为假命题． A． B． C． D． 5．B【解析】根据题意，设与的夹角为θ，非零向量、满足，则有()••2＝0，变形可得2•，又由，则有()2＝52，即2+2•2＝52，即222，则有cosθ，又由0≤θ≤π，则θ， 6.B【解析】设米，在中，，则， 在中，，则， 因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米). 7.【解析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则，底面圆的周长为，又扇形的弧长为，所以，解得，所以，故底面圆的面积为，扇形的面积为，所以该圆锥的表面积是． 8．B【解析】连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C'，连接AC'，则AC'即为AP+PC1的最小值，由题意可知AA1＝1，AB＝BC，cos∠ABC，得A1B＝BC'＝A1C'＝2，∠AA1B＝∠BA1C'＝60°，在△AA1C'中，AC'， 9．BCD【解析】对于A，AP⊥PB，BC⊥PB，不能证明AP⊥BC，不合题意；对于B，AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，则AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，可得AP⊥BC，合题意；对于C，平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP，合题意；对于D，AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，可得AP⊥BC，合题意； 10.ACD. 【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确；由，得，故B错误；由于前3组的频率和，前4组的频率和，所以中位数在第4组，设中位数为，则，得，故C正确；低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数为，则，解得，故D正确. 11．【答案】ACD 【详解】对于A：在中，若，则，由正弦定理可得，所以，即，所以，可得，故选项A正确； 对于B：由余弦定理可得只能判断角为锐角，而角和角无法确定是什么角，所以得不出为锐角三角形，故选项B不正确； 对于C：由正弦定理可得，右边等于左边显然成立，故选项C正确； 对于D：因为，，所以，， 由正弦定理可得，故选项D正确； 12．{λ|}【解析】∵与的夹角为锐角，∴且与不共线，由，得1+3λ＞0，解得，当与共线时，1×3＝1×λ，解得λ＝3，故实数λ的取值范围为{λ|}． 13．答案为：． BD＝2，因为3CD＝2AD，所以CD，由题意得∠BDC＝π， △BCD中，由余弦定理得BC2＝CD2+BD2﹣2CD×BD×cos， 即BC24﹣22（），∴BC． 14【答案】 【详解】 连接BC1，则BC1∥AD1，∴∠MBC1为异面直线AD1与BM所成角， 在正四棱柱AC1中，由AB＝2，A1A＝4，M为A1A的中点， 得，，． 在△MBC1中，由余弦定理得：cos∠MBC1． 15.（1）由已知，则中，； （2）中，，，， 由余弦定理得：，解得，所以的面积为. 16.(2)如图，连接PC，PD，CD，C，D分别为AB，EF的中点， 由(1)知PA＝PB，故PC⊥AB，又CD∥AE，AE⊥AB，∴CD⊥AB， 故∠PCD为二面角P﹣AB﹣F的平面角，由(1)知，AE⊥平面PEF，又AE⊂平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE，又平面ABFE∩平面PFE＝EF，PD⊥EF，∴PD⊥平面ABFE，设EF＝2a，则PE＝AEa，PA2a，PCa，PD＝ED＝a，故二面角P﹣AB﹣F的正弦值为sin∠PCD； (3)由(2)得PD⊥平面ABFE，又AB，所以AE＝1，PD， 故四棱锥P﹣ABEF的体积为1． 17．(1)由题意，因为acosB+bcosA＝2ccosC， 所以由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A+B)＝2sinCcosC，可得sinC＝2sinCcosC，因为sinC≠0，所以， 又因为C∈(0，π)，所以． (2)由正弦定理得，可得R＝1，由题意可得，可得：，所以，由于，可得， 则，可得△ABC的周长的取值范围为． 18．【解析】（1）因为第二、三、四组的频率之和为0.9．所以（b+0.045+0.020）×10＝0.9，解得b＝0.025．再由第一组、第五组的频率之和为1﹣0.9＝0.1．即（a+a）×10＝0.1，解得a＝0.005． （2）根据频率分布直方图可知，第一、二组的频率之和为0.3，第一、二、三组的频率之和为0.75．所以中位数在第三组，设中位数为x，即0.3+（x﹣65）×0.045＝0.5，解得x≈69.4． （3）由（1）可得面试成绩在[45，55）段和[55，65）段的候选者分别有5人和25人，若用分层随机抽样的方法从中抽取6人．则需在[45，55）段中抽取1人，设为A，在[55，65）段中抽取5人，分别设为B，C，D，E，F．则该试验的样本空间为．Ω＝{AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF}，共有15个样本点．设从这6人中随机抽取2人，这2人来自同一分数段为事件M，则M＝{BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF}，有10个样本点．故． 19.【解析】（1）如图， 连接，，四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点，又点为的中点，，又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，，又点为的中点，且面，面，所以，，又面，平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为，. 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$郓城一中文苑校区高二上学期开学摸底考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知i是虚数单位，则复数，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2． 某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测， 则质量指标在区间内的零件应抽取（    ）A．30个 B．40个 C．60个 D．70个 3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）A．事件与事件互斥 B． C． D．事件与事件不相互独立 4．已知,是两条不同直线，,是两个不同平面，给出四个命题，其中正确的是　 　　 ①若，，，则②若，，则 ③若，，，则④若，，，则 A． ①② B．②③ C．①④ D．②④ 5．若非零向量、满足，且，则与的夹角为(　　) A． B． C． D． 6.灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（    ） A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 7． 已知圆锥的高为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是 　A． B． C． D． 8． 如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中．AA1＝1，AB＝BC，cos∠ABC，P是A1B上的一动点，则AP+PC1的最小值为(　　) A． B． C．1 D．3 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，能推出AP⊥BC的条件是(　　) A．AP⊥PB，BC⊥PB B．AP⊥PB，AP⊥PC C．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC 10.某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ） A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人B．图中的值为0.020 C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7 D．估计全校学生成绩的80%分位数为95 11．在中，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．等式恒成立. D．若，则 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为 　 　． 13．如图，在△ABC中，点D在边AC上，3CD＝2AD，△ABD是等边三角形，且面积为，则BC＝　 　． 14．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，A1A＝4，M为A1A的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为_____． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分）已知中，，是边上一点，，，. （1）求的长；（2）求的面积. 16．(15分)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝45°，AE⊥CD，BF⊥CD．将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形． (1)证明：平面PAE⊥平面PBF；(2)求二面角P﹣AB﹣F的正弦值； (3)若，求四棱锥P﹣ABFE的体积． 17．（15分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB+bcosA＝2ccosC，． (1)求角C；(2)求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围． 18．（17分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并按照[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.9，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）； （3）若先用分层随机抽样的方法从面试成绩在[45，65）段的候选者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自同一分数段的概率． 19(17分).已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$