精品解析：北京市第五十五中学2024～2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

北京市第五十五中学2024－2025学年度第一学期 期中调研试卷 初三数学 本试卷共8页，共100分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共16分） 一、单选题（共16分，每题2分） 1. 2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据其概念“中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称”，由此即可求解． 【详解】解：A、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意； B、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意； C、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意； D、文字上方的图案是中心对称图形，符合题意； 故选：D ． 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据二次函数的定义：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：A、，不符合二次函数定义，不是二次函数，故该选项错误； B、，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误； C、，符合二次函数的定义，是二次函数，故该选项正确； D、，不符合二次函数定义，不是二次函数，故该选项错误； 故选：C． 3. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系即可求出两根之和． 【详解】解：是一元二次方程的两根， ∴． 故选：D． 4. 如图，将绕点逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，理解图示，掌握旋转的性质，找出旋转角，确定角度关系是解题的关键． 根据旋转得到，由旋转的性质得到，由即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针方向旋转得， ∴，， ∴， 故选：B ． 5. 如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 6. 小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 令，再解关于x的方程，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去） 故选B 7. 已知二次函数的y与x 的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在 2 与 3 之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，先求出抛物线的解析式为，即可判断A、B，再求出当时的值即可判断C，求出方程的判别式，并结合表格即可判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将，，代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 抛物线与y轴交于，即抛物线与y轴交于正半轴，故B错误，不符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； ∵当时，，且方程的判别式， ∴结合表格可得，方程的正根在 2 与 3 之间，故D正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为3， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标 ：求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解是是方程成立的未知数的值，将代入方程，即可求解a的值． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， 故答案为：2． 11. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件100件，第三天揽件144件．设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．根据题意，第三天揽件数量=第一天揽件数量×列方程即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12. 若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是__________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求圆锥的侧面展开图的弧长，根据圆锥的展开图的弧长等于底面圆的周长，先由勾股定理求出底面半径即求解． 【详解】解：圆锥底面半径； 这个圆锥的侧面展开图的弧长是 故答案为：． 13. 将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．根据“上加下减，左加右减”求出新抛物线解析式，再改为一般式即可． 【详解】解：先将抛物线先向上平移3个单位，得到的新抛物线解析式为， 再向左平移3个单位后，得到的新抛物线解析式为． 故答案为： . 14. 若点，都在抛物线上，请将按从小到大的顺序用“”连接：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得，对称轴为直线，在对称轴左侧y随x增大而减小，再由，即可得到． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵，点，都在抛物线上， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是的内接四边形，为直径，，则的度数为_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理．注意掌握数形结合思想的应用． 由是直径，可得，又由圆内接四边形的性质得到，根据三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：∵是直径， ∴， 又∵是的内接四边形，， ∴， ∴． 故答案为：． 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． 16. （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； 17. （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 三、解答题（共68分，17题6分，18－24题每题5分，25题6分，26－28题每题7分） 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键。 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，； 【小问2详解】 解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，5)，B(1，1)，C(4，3)． （1）画出ABC关于原点O成中心对称的图形A1B1C1． （2）求A1B1C1的面积． 【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）5． 【解析】 【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）＝3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5． 【点睛】此题考查了中心对称图形的性质和作图，三角形面积的求法，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的性质和作图，三角形面积的求法． 20. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求此函数解析式； （2）求出该抛物线顶点C的坐标，并求出 的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式即可； （2）根据（1）中的解析式求出，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 把和代入得：， 解得：， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 由（1）得：函数解析式为， ∴ ， ∴， ∴． 21. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】（1） 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 22. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 23. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： … 0 2 … … 5 … （1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再将其改为顶点式即得出顶点坐标； （2）依题意，把代入，解得；把代入，解得；再结合顶点坐标为，即可作答． 本题考查求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 【小问1详解】 解：将，，代入， 得：， 解得， 该二次函数的表达式为， ， 这个二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵，且顶点坐标为； ∴开口向上，当时，； 则把代入，解得； 把代入，解得； ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 24. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：直线PA和相切． 作法：如图， ①连接AO； ②以A为圆心，AO长为半径作弧，与的一个交点为B； ③连接BO； ④以B为圆心，BO长为半径作圆； ⑤作的直径OP； ⑥作直线PA． 所以直线PA就是所求作的的切线． 根据小亮设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：在中，连接BA． ∵，， ∴． ∴点A在上． ∵OP是的直径， ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 又∵点A在上， ∴PA是的切线（______）（填推理的依据）． 【答案】（1） 补全的图形如图所示； （2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据圆周角定理得到∠OAP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：在中，连接BA． ∵，， ∴． ∴点A在上． ∵OP是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）． ∴． 又∵点A在上， ∴PA是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）． 故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 25. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 26. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是，根据原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：装裱后左右两边的边宽分别是． 27. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）抛物线上两点，，且，． ①当时，直接写出，的大小关系； ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线 （2）①；② 或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合应用，考查了二次函数的性质与图象，二次函数与方程、不等式的关系掌握这些关系是解答关键． （1）求出抛物线与y轴的交点坐标，此点与点关于抛物线对称轴对称，则可求得对称轴； （2）①由可得的范围，则可得P、Q到对称轴的距离大小关系，结合即可判断； ②设点P关于直线的对称点为，由可得，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：在抛物线中，令，则， 即抛物线与y轴的交点， 故点与点关于抛物线对称轴对称， 而，则抛物线对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①当时，，， ； ， 即， ， ； ②设点P关于直线的对称点为， 则，即； ， ； 而， 则． ， ， 故当或时，， 解得：或． 28. 如图，在中，，，点E在射线上（不与点B，点C重合），点D为线段的中点，连接．将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交射线于点F． （1）如图1，点E在线段上，求证：． （2）如图2，，点E在线段的延长线上，点D在线段上，连接，． ①依题意补全图形； ②写出线段与之间是数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） ①如图所示， ②，证明如下： 过点作于点G，过点F作于点H，则， ∴， ∵，则，， ∴，即：是等腰直角三角形， ∴， 又∵，则， ∴是等腰直角三角形，则，， ∴， ∴， ∴，，则 ∵是的中点， ∴，则， ∴， 又∵，即：， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，即：， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，由旋转可知，结合直角三角形两锐角互余可得，即可证明结论； （2）①根据题意画出图形即可求解； ②过点作，，先证明，是等腰直角三角形，再证明，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质，结合是的中点，证明，再根据勾股定理可得，由即可证明结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 29. 给出如下定义：在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形 上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形，之间的距离． 已知，在平面直角坐标系中，点 （1）若点 ①点到线段 的距离为 ，点 到以线段为直径的圆的距离为 ； ②当线段绕中点旋转时，则点到线段距离的取值范围为 ； ③以为边，在轴下方做矩形，其中平行轴，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形 的距离 的取值范围为 ； （2）当点在圆心，半径为的圆上运动时，求点到线段的距离的取值范围？ 【答案】（1）①，；②；③； （2）． 【解析】 【分析】（）利用点到直线距离和两点之间距离即可求解； （）根据圆心，则点在直线上，再由勾股定理及圆上动点即可求解； 此题考查了点和圆的关系，直线和圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题． 【小问1详解】 如图，根据点到直线的距离可知，点到线段的距离为， ∵，， ∴， ∴的半径为， 在中，由勾股定理得：， ∴点到以线段为直径的圆的距离为， 故答案为：，； 如图，由（）得， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴点到线段距离的取值范围为， 故答案为：； 如图，同理，可得：圆心， ∴，圆半径为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 由圆心， ∴点在直线上， 如图， 同理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十五中学2024－2025学年度第一学期 期中调研试卷 初三数学 本试卷共8页，共100分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共16分） 一、单选题（共16分，每题2分） 1. 2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 4. 如图，将绕点逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（ ） A. 1 B. C. D. 4 6. 小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的y与x 的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在 2 与 3 之间 8. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 2 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根是1，则a的值为______． 11. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件100件，第三天揽件144件．设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程为__________． 12. 若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是__________．（结果保留π） 13. 将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线解析式为______． 14. 若点，都在抛物线上，请将按从小到大的顺序用“”连接：______． 15. 如图，是的内接四边形，为直径，，则的度数为_____． 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． 16. （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； 17. （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 三、解答题（共68分，17题6分，18－24题每题5分，25题6分，26－28题每题7分） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，5)，B(1，1)，C(4，3)． （1）画出ABC关于原点O成中心对称的图形A1B1C1． （2）求A1B1C1的面积． 20. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求此函数解析式； （2）求出该抛物线顶点C的坐标，并求出 的面积． 21. 已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 22. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： … 0 2 … … 5 … （1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，y的取值范围是 ． 24. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：直线PA和相切． 作法：如图， ①连接AO； ②以A为圆心，AO长为半径作弧，与的一个交点为B； ③连接BO； ④以B为圆心，BO长为半径作圆； ⑤作的直径OP； ⑥作直线PA． 所以直线PA就是所求作的的切线． 根据小亮设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：在中，连接BA． ∵，， ∴． ∴点A在上． ∵OP是的直径， ∴（______）（填推理的依据）． ∴． 又∵点A在上， ∴PA是的切线（______）（填推理的依据）． 25. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 26. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 27. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）直接写出抛物线的对称轴； （2）抛物线上两点，，且，． ①当时，直接写出，的大小关系； ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 28. 如图，在中，，，点E在射线上（不与点B，点C重合），点D为线段的中点，连接．将射线绕点A逆时针旋转得到射线，过点D作交射线于点F． （1）如图1，点E在线段上，求证：． （2）如图2，，点E在线段的延长线上，点D在线段上，连接，． ①依题意补全图形； ②写出线段与之间是数量关系，并证明． 29. 给出如下定义：在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形 上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形，之间的距离． 已知，在平面直角坐标系中，点 （1）若点 ①点到线段 的距离为 ，点 到以线段为直径的圆的距离为 ； ②当线段绕中点旋转时，则点到线段距离的取值范围为 ； ③以为边，在轴下方做矩形，其中平行轴，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形 的距离 的取值范围为 ； （2）当点在圆心，半径为的圆上运动时，求点到线段的距离的取值范围？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $