空间几何体的表面积与体积专项训练-2025届高三数学一轮复习

空间几何体的表面积与体积专项训练-2025年高考数学一轮复习 一、单选题 1．若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 4．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（   ）    A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 5．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 6．如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（    ）    A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π 7．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．已知棱长为4的正方体，球O是该正方体的内切球，E，F，P分别是棱，，的中点，M是正方形的中心，则（   ） A．球O与该正方体的表面积之比为 B．直线与所成的角的正切值为 C．直线被球O截得的线段的长度为 D．球O的球面与平面的交线长为 10．如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ）    A．若平面，则点P的轨迹长度为 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为 D．若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 11．如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（    ） A．该几何体的体积 B．直线PD与平面ABCD所成角的正切值为 C．异面直线AP与CC1的夹角正弦值为 D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，点均在球的同一个大圆（球面被经过球心的平面截得的圆）上，则球的表面积为 ． 13．已知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为和，高为，将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中（不考虑外包装的厚度），则外包装盒的表面积的最小值为 .    14．如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 四、解答题 15．如图，三棱锥中，平面． (1)求证： (2)若三棱锥的体积为，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带长度的最小值． 16．如图，在长方体中，，，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求三棱锥的体积. 17．如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 18．如图，在长方体中，，.为上一动点，记.    (1)求线段的最小值； (2)当取最小值时，求三棱锥的体积； (3)当平面时，求的值. 19．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体Ω．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．    (1)求几何体下半部分圆柱的体积； (2)如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的上的点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B C B B C ACD ACD 题号 11 答案 ABCD 1．B 【分析】利用球的体积公式和表面积公式列方程求解即可. 【详解】由题意，所以. 故选：B 2．B 【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解. 【详解】    如图所示，正四棱柱为，正四棱锥， 设底边边长，高， 则， 又正四棱柱的侧面积， 正四棱锥的侧面积， 则，解得， 所以正四棱锥体积， 故选：B. 3．B 【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积. 【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为， 其中，故， 所以， 又，由勾股定理得， 其中，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 其侧面积为. 故选：B 4．B 【分析】利用棱柱与棱锥的体积公式求解． 【详解】由题意，， 所以， 所以. 故选：B． 5．C 【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 6．B 【分析】根据几何体结构特征，利用球、正方体和圆的面积公式可得. 【详解】由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分， 其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的圆，再加上2为半径的球面， 则. 故选：B 7．B 【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算即可. 【详解】 因为底面，底面，即， 根据题意可知为等边三角形，为直角三角形， 而， 则， 取的中点，连接，所以， 易知，则， 所以三棱锥的外接球的球心为F， ， ∴该外接球的体积为. 故选：B 8．C 【分析】如图，将直三棱柱展开成矩形，连结交于，此时最小，则，利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】将直三棱柱展开成矩形， 如下图，连接，交于，此时最小， ∵，则，而， 由且都在面，则面， 又，则面，即面， 点为侧棱上的动点，当最小时，即，得， 又为直角三角形，此时三棱锥的体积为： . 故选：C 9．ACD 【分析】对A，根据正方体和球的表面积公式，计算判断；对B，取的中点，连接，，可得就是直线与所成角，求解；对C，连接，，取的中点，得到，求得，结合圆的弦长公式，可判定C正确；对D，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量，结合距离公式，得到平面恰好过球的球心，可求解判定. 【详解】对于A，因为球是正方体的内切球，所以球的半径， 正方体的表面积为，球的表面积为， 所以球与正方体的表面积之比为，故A正确； 对于B，因为是正方形的中心，所以，取的中点， 连接，，则，则就是直线与所成角， 平面，平面，又平面， ，，，则， 所以直线与所成角的正切值为，故B错误； 对于C，连接，，取的中点，连接，可得， 在中，， 又，可得， 所以直线被球截得的线段的长度为.故C正确； 对于D，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，得， ， 所以点到平面的距离为， 所以平面恰好过球的球心， 所以球的球面与平面的交线长为.故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离为0，得到平面恰好过球的球心，由此得解. 10．ACD 【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断，将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到最小值，利用勾股定理求出即可判断，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求出外接球的表面积即可判断. 【详解】如图，取，的中点为，连接，，    所以，又E，F分别是棱，的中点， 所以，所以， 平面，平面， 平面， 因为分别是棱，的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 平面， 又，平面， 所以平面平面， 点P是正方形内的动点，且平面， 所以点P的轨迹为线段，由勾股定理得，故正确；    如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴， 由题意得，设， ， 所以，所以点的轨迹为为圆心，半径为1的个圆， 所以点P的轨迹长度为.故错误；    如图，将平面翻折到与平面共面， 连接，与交于点，此时取到最小值， ，且， 所以点为的中点，所以， 所以， 即的最小值为，故正确；    如图，连接，交于点，连接， 若P是棱的中点，则， 所以是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心， 过点作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在该垂线上， 连接，设，则， 连接，，所以， 所以，解得， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法： （1）先找两个面的外心； （2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心； （3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径. 有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上. 11．ABCD 【分析】对于A，根据长方体和棱锥的体积公式求解即可；对于B，连接交于，连接，则可得为直线与平面所成角，然后求解即可；对于C，由于,则可得的补角为异面直线与的夹角，然后在中求解即可；对于D，先求出长方体的外接球半径，然后判断点是否在该球上即可. 【详解】对于A，该几何体的体积为，故A正确； 对于B，连接交于，连接， 由题意可知四棱锥为正四棱锥， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正方形的边长为1， 所以， 所以，故B正确； 对于C，设， 因为， 所以或其补角为异面直线与的夹角, 且， 所以， 所以异面直线与的夹角余弦值为,正弦值为，故C正确； 对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为， 则为的中点， 且，得， 因为， 所以点长方体的外接球上， 所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，故D正确. 故选：ABCD. 12． 【分析】由题意得，则即外接圆的直径，即是球的直径，求出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】由， 得，则， 所以为直角三角形， 则即外接圆的直径，即是球的直径． 因为， 所以，得球的半径为， 故球的表面积为． 故答案为：. 13． 【分析】分三种放置情况计算可求得最小表面积. 【详解】水平放入长方体的盒子中有三种放法， 第一种，两个圆台一个正放，一个倒置放入，其俯视图如图所示，    此种放置时，要使表面积最小， 可求得正方形的对角线长为， 可得正方形的边长为， 表面积为， 第二种，两个圆台一个正放，一个倒置放入，其俯视图如图所示，    此种放置时，要使表面积最小， 可得长方体的底面长方形的一边长为，另一边为，长方体的高为， 表面积为， 第三种两个两个圆台重叠方放入，则长方体表面积最小时的长方体的底面是的正方形，高为， 可得表面积为， 比较可得，表面积最小为. 故答案为：. 14． 【分析】利用棱锥、棱柱的体积公式求、，即可得结果. 【详解】令，棱柱的高为， 由题意，， 所以. 故答案为： 15．(1)证明见解析. (2)彩带长度的最小值为 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理证明，然后利用线面垂直判定定理证明平面，最后利用线面垂直性质定理证明即可. （2）先利用三棱锥体积计算出，然后将两个三角形放入同一平面，利用两点间线段最短得到彩带最短时的情况，然后利用两个三角形的图像和余弦定理计算即可. 【详解】（1）由题可知，平面，平面，所以， 因为,平面，平面， 所以平面，显然平面， 所以； （2）由题可知，，， 所以， 如图，将三角形与三角形放在同一平面， 显然， 所以当彩带长度最小时为图中， 由余弦定理可知，， 所以. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）计算出的面积，再利用三棱锥的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：设，连接，    在长方体中，底面为矩形，且， 所以，为的中点， 又因为为的中点，所以，， 因为平面，平面，所以，平面. （2）证明：在矩形中，，则矩形为正方形，故， 在长方体，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3）解：因为四边形是边长为的正方形，则， 因为，为的中点，则， 因为平面，则. 17．(1)17 (2)880元 【分析】（1）根据圆柱、球的体积计算公式即可求出几何体体积； （2）根据圆柱、球的表面积计算公式即可求出整个几何体表面积，从而得到建造费用. 【详解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标，以及模长公式，即可根据二次函数的性质求解最值， （2）利用等体积法，由体积公式即可求解， （3）求解平面法向量，即可根据向量垂直求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 故， 因为， ,故， 则 ， 故当时，取得最小值. （2）取最小值时，，，则， 故 . （3）因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时，故，即，解得. 19．(1) (2)；满足建筑要求 【分析】（1）利用柱体的体积公式计算即可； （2）连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可，，求值后判断是否满足. 【详解】（1）圆柱的体积， （2）连接，，    根据题意可得，为圆柱母线和圆锥母线所成的角， ，，， 圆柱母线EF和圆锥母线PR所在异面直线所成角的正切值为， ，， 有，故该亭子满足建筑要求. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$