数列专项训练-2025届高考数学一轮复习

数列专项训练-2025年高考数学一轮复习 一、单选题 1．等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（   ） A．4 B． C．4或 D．2 2．记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．16 3．若数列、满足，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 4．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15 5．若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（    ） A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺 8．已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法错误的是（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 11．下列递推关系式或其通项公式可以使数列为周期数列的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．等差数列中，若，则的值为 ． 13．我国数学著作《九章算术》中很早就有有关数列问题的记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”，译文为：“现有人分钱（一种单位），要使分得钱数最多的两人所得的钱数和与其他三人所得的钱数和相等，且五人分得的钱数的某种排列成等差数列，问各得多少钱.”在上述问题中随机取一人，这个人得到的钱数可能为： .（写出一种可能即可）. 14．已知公比为的等比数列满足，且，则的取值范围为 ． 四、解答题 15．记是等差数列的前项和，，且，，成等比数列. (1)求和； (2)若，求数列的前20项和. 16．记为等差数列的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)若，求使取得最大值时的值． 17．设函数，数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，若对一切成立，求最小正整数的值. 18．已知数列的前项和为，，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 19．若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”. (1)若数列为“数列”，写出所有可能的； (2)若“数列”中，，求的最大值； (3)设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，记，其中表示这个数中最大的数，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A B C D C ABD ABC 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】由等差数列的前项和公式可求得的值，由等差数列的性质可求得值，利用等比数列的性质求得的值，即可求的值. 【详解】因为数列是等差数列，且，所以，解得， 由等差数列的性质可得， 因为2，，，，8成等比数列，所以，解得， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 2．A 【分析】根据给定条件，利用等比数列的公比，再利用性质计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得， 因此，所以. 故选：A 3．C 【分析】又已知可得，可知数列为等差数列，进而可得解. 【详解】因为，，所以， 又，， 则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则数列的前项和为， 故选：C. 4．A 【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值. 【详解】由，， 所以，数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：A 5．B 【分析】根据等差数列性质由可得，即可求出数列前6项均为负值，可得结论. 【详解】由等差数列性质可得，即可得； 又，所以； 因此可得数列的公差，且前6项均为负值， 所以的最小值为前6项和，即为. 故选：B 6．C 【分析】根据已知条件得，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解. 【详解】数列满足①， 当时，，即， 当时，②，      由②①得， 数列的所有奇数项，， 数列的所有偶数项，， 综上，数列的通项公式为. 记， 所以数列的前项和为： ， 由得，即， 因为，随着的增大而增大， 故当时，刚好满足， 所以，的最小值为.          故选：C. 7．D 【分析】设等差数列，公差为，根据条件列出关于的方程组，求出可得答案. 【详解】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷长分别为 ，且是等差数列，设其公差为， 依题意有， 解得，则. 故选：D. 8．C 【分析】根据可得数列是首项为1，公比为9的等比数列，再根据相减法得数列的通项公式，从而由等比数列求和得所求. 【详解】由题意可得，则， 所以数列是首项为1，公比为9的等比数列，即， 时，即 且时，不满足上式， 故， 故． 故选：C． 9．ABD 【分析】根据递推关系可知数列是以为周期的周期数列，根据周期性依次推导各个选项即可. 【详解】， ， 数列是以为周期的周期数列； 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，， ，C正确； 对于D，，， ，D错误. 故选：ABD. 10．ABC 【分析】由等差数列得，然后在或分别确定的单调性判断AB，进行讨论判断各选项．再由或确定的范围，从而确定的单调性判断CD． 【详解】数列是各项为正数的等比数列，则公比为， 由题意，得， 时，，有，，数列单调递增，A选项错误； 时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误； 时，，解得， 时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误； 时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定与的关系，利用此关系通过的范围确定的单调性，同样根据的大小确定的范围，再得单调性． 11．AC 【分析】根据数列的周期性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A：由选项知，又，计算得， 因此为周期数列，且周期为4，故A正确； 对于B：，，， ，…，不是周期数列，故B错误； 对于C：；；；；； ，…，，归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，故C正确； 对于D：是单调递增数列，不是周期数列，故D错误． 故选:AC 12． 【分析】设等差数列的公差为，再根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，即， 所以. 故答案为：. 13．或. 【分析】根据等差数列的定义和通项公式，利用对称设法，可求得首项和公差，从而得到数列中的项. 【详解】根据题意，设这五人所得钱数从少到多依次为：， 则有 解的：，则这五人所得钱数依次为：. 故答案为：或. 14． 【分析】先判断的符号和公比的关系，求得关于的表达式，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】由，得0时，时，， 由，得，所以， 令，则， 当时，3； 单调递增，所以， 当时，，故， 当时，，又，故； ，单调递减，又， 故，故， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在求解关于等比数列有关的取值范围时，通过构造函数并利用导数分析其单调性，找出函数的取值范围．这种方法可以有效地处理涉及不等式与单调性的范围问题. 15．(1)； (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差，由给定条件列出方程求出，利用等差数列前项和公式求解即可. （2）由（1）的结论求出，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由，得，即，解得， 所以，. （2）由（1）知，，又，则 因此， 所以. 16．(1)； (2)3. 【分析】（1）由递推式可得，，结合已知可得，再代入，可得，即可得答案； （2）由题意可得，由，求解即可. 【详解】（1）解：因为为等差数列，且，， 所以当时，则有， 两式相减，得（为等差数列的公差）， 解得； 当时，则有， 即，， 解得， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以， 当取得最大值时， 则有，即， 整理得，解得，所以 又因为， 解得， 所以最大，且. 所以当取得最大值时，. 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）通过两边取倒数进行变形构造，再利用定义法证明; （2）利用裂项相消法求和，再利用函数方法研究最值来处理恒成立问题. 【详解】（1）结合题意可知， 两边取倒数可得：，即. 所以数列是以首项，公差为的等差数列. （2）由上问可知数列是以首项，公差为的等差数列， 所以，所以. 所以. 又，也满足上式，所以 由可得： ， 所以，因为对一切成立， 所以,解得. 最小正整数的值为. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推式可推出，求出，由此可求得答案； （2）结合（1）可得的表达式，利用裂项求和法求出表达式，即可证明结论. 【详解】（1）将两边同时除以， 得. 所以是等差数列. 当时，，公差是， 得，则，① 当时，，② ①-②，得，整理得， 则， 也符合，所以. （2）证明：由（1）得， 所以， 因为，所以. 19．(1)或或 (2) (3) 【分析】（1）利用“数列”的定义，得到关于的不等式组，列出所有满足条件，即可得解； （2）利用“数列”的定义，推得，进而得到，解得；再取，推得符合题意，由此得解； （3）利用“数列”的定义，结合（2）中结论推得；再取特殊例子证得成立，从而得解. 【详解】（1）依题意，因为数列1，，，7为“数列”， 则，注意到， 故所有可能的，为或或. （2）一方面，注意到：， 对任意的，令， 则且，故对任意的恒成立（★）， 当时，注意到， 得， 此时， 即，解得，故； 另一方面，取， 则对任意的，，故数列为“数列”， 此时，即符合题意. 综上，的最大值为. （3）当时， 一方面：由（★）式，， 则， 此时有 ， 故， 另一方面，当，，，，，，，时， ， 取，则，，， 且， ， 此时， 综上，的最小值为. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$