山东省济宁市嘉祥县第一中学2025届高三第二次考试数学试题

2025届高三第二次考试数学试题参考答案 1.C 2.A 3.A 4.D 5.D 6.C 7.B 8.D 9.BC 10.ACD 11.ACD 12. -2 13. 20 14.1 1.【详解】， 因，则，即，可得，，解得，或7．故选：C． 2.【详解】由解得；由，则；所以，，则，且或，则，，.故选：A. 3.【详解】由题，，则， ， ，，故选：A. 4.【详解】因为在黄金矩形中，， 所以，故，而，， 所以.故选：D. 5.【详解】由，函数值域为，又对任意的实数，在区间上的值域均为，则，解得，故选：D. 6.【解析】由题意，，所以，，A：当，不变，比原来提高时， 则，所以比原来提高超过，故A错误； B：由选项A的分析知，，所以比原来提高不超过，故B错误； C：当，不变，比原来提高时，，所以比原来降低不超过，故C正确；D：由选项C的分析知，比原来降低不超过，故D错误.故选：C 7.【详解】由可得，，即，也即， 因，①当时，可得，即得；②当时，可得，即得，综上可得，，即， 因故，当且仅当时，取得最小值,等于4.故选：B. 8.【详解】解法一：令，，则，解得，A正确； 令，则，所以，即是偶函数， 所以，所以函数关于直线对称，B正确； 令，则，令，则，所以，C正确；令，则①，所以②， ①②联立得，所以，，即的周期为，D错误； 解法二：构造函数，满足， 且， ，A正确；， 因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称， 所以关于直线对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知，C正确；的周期，D错误；故选：D 9.【详解】对于选项A：因为定义域为R，且， 当时，；当或时，；可知在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，则，且，可得，因为函数在上单调递增，所以，故C正确； 对于选项D：对于不等式，因为，即为不等式的解，但，所以不等式的解集不为，故D错误；故选：BC. 10.【详解】由题可，，，则， 有，，，， 把代入上式，得，解得（负值舍去）， ，，由，解得， 解得，，对A，，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误；对C：，为奇函数，故C正确；对D：当时，，在单调递减，为奇函数，故D正确.故选：ACD. 11.【解析】对于A，在数列中，，则，又对于任意的都有，则，即，即对于任意的，都有，故A项正确； 对于B，不妨设数列可能为常数列，则，又，则，则， 即时，数列为常数列，故B项错误；对于C， 又，则，即，同理，当，都有，即，即，即数列为递增数列，故C项正确； 对于D，，则，即，同理，当，都有，又，即数列为递减数列，即当时，，故D项正确.故答案为：ACD. 12．【解析】向量，向量，则，故向量在向量上的投影向量为：，故．故答案为：． 13.【详解】 的第项为， 令，解得，令，得， 代入通项可得展开式中的和项分别为：，分别与和相乘， 得的展开式中项为，故的系数为20.故答案：20. 14.【解析】设点的坐标为，则线段的中点为， 由题意可知，点在曲线上，所以，即， 构造函数，其中，由于函数与函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，因为，，所以函数存在唯一零点，即只有一个解，所以曲线关于曲线的关联点的个数为. 15.【小问1详解】在中，由及正弦定理，得，即， 所以，而,所以， 又由及正弦定理，得， 显然，则，所以. 【小问2详解】由（1）知，，由正弦定理，得， 选①，，的3个内角确定，没有边长信息，此三角形不唯一，不能选①； 选②，周长为，则，存在且唯一， 设边上中线， 在中，， 所以. 选③，，则，存在且唯一， 设边上中线， 在中，， 所以. 16. 【小问1详解】记事件：员工所获得的红包数额不低于90元， 事件：取到面值为60元的球， 因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且 ，，， 所以， 又，所以． 【小问2详解】设X为员工取得的红包数额，则可能取值为， 所以，， ，， 所以， ． 17.【小问1的详解】 由题意可知，则扇形的面积为， ，则，且， 所以， 梯形的面积为， ，且，则，故， 所以，，. 【小问2的详解】 设，， ，且， 记为锐角，且， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，当时，，即时，取最小值，此时取最大值. 18.【小问1详解】，，又， ∴切线方程为； 【小问2详解】由（1）， 函数在处取得极小值，则，即，， 设，则，， 由的图象的连续性知在附近是正值， 因此在附近是递增的，又， 所以在附近从左到右，由负变正， 在左侧递减，在右侧递增，是极小值，符合题意； 所以． 【小问3详解】，， 当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递增， 因此，不合题意， 当，即时， 由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递减， 因此，满足题意，时，，时，，，恒成立，在上递增，，不合题意， 综上，的取值范围是． 19.【小问1详解】若时，因为，所以为8的所有正约数，故. 【小问2详解】由题意可知. 因为，依题意可知，所以， 化简可得，所以. 因为，所以，因此可知是完全平方数. 由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以， 所以可写为，经检验该关系满足条件， 所以. 【小问3详解】由题意知， 所以. 因为， 所以 . 因为，所以.所以. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三第二次考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若且，则x取值的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 4.宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，中点为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 5．已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式 ，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率. 当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（    ） A．若不变，则比原来提高不超过 B．若不变，则比原来提高超过 C．为使不变，则比原来降低不超过 D．为使不变，则比原来降低超过 7. 已知，，设函数，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 8. 已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 函数关于直线对称 C. D. 的周期为3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分，共18分） 9.设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. C. 当时， D. 不等式的解集为 10. 如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象不关于直线对称 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于原点对称 D. 在单调递减 11.在数列中各项均为正数，且，则下列结论正确的有： A.对任意的，都有 B.数列不可能为常数列 C.若，则数列为递增数列 D.若，则当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若向量在向量上的投影向量为，则等于______． 13. 的展开式中的系数为______．（用数字作答） 14．已知，点在曲线上，线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，称为曲线关于曲线的一个关联点，则曲线关于曲线的关联点的个数为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （13分） 在中，角所对边分别为．已知，且 ． （1）求的大小； （2）请从条件①②③中选出一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线长． ①； ②周长为； ③面积为． 16.（15分） 某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． （1）若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； （2）若，，当袋中球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 17.（15分）疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理．校园内某区域由矩形与扇形组成，，，．消毒装备的喷射角，阴影部分为可消毒范围，要求点在弧上，点在线段上，设，可消毒范围的面积为． （1）求消毒面积关于的关系式，并求出的范围； （2）当消毒面积最大时，求的值． 18.（17分）已知函数， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在时取得极小值，求的值； （3）若存在实数，使对任意的，都有，求的取值范围. 19. （17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数所得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为，. （1）若，求的值； （2）当时，若为等比数列，求正整数（用和表示）； （3）记，证明：. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 8 页 2025届高三第二次考试数学试题参考答案 1.C 2.A 3.A 4.D 5.D 6.C 7.B 8.D 9.BC 10.ACD 11.ACD 12. -2 13. 20 14.1 1.【详解】 i (2 i)(2 i) ( i) (5 ) i2 i 2 i 2 i 2 i x x xz               ， 因 | | 1z  ，则 (5 ) i 1 2 i x    ，即 | (5 ) i | 1 | 2 i | x    ，可得， 2(5 ) 1 5x   ，解得， 3x  或 7．故选：C． 2.【详解】由 2log 1x  解得0 2x  ；由 2x  ，则0 2 4x  ；所以  0 2A x x   ，  0 4B y y   ， 则 A B ，且  0,B y y Rð 或 4y  ，则 A B B ， A B A ， A B Rð .故选：A. 3.【详解】由题，  sin 2sin 2    ，则    sin 2sin               ，        sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin                  ，    sin cos 3cos sin         ，  tan 3 tan 6       ，故选：A. 4.【详解】因为在黄金矩形 ABCD中， 5 1,BC AB BC   ， 所以 5 1 2 BC AB   ，故 2AB  ，而 1 2 AE AD DE AD AB         ， 0AB AD  uuur uuur ， 所以 2 21 1 10 2 2 2 2 2 AB AE AB AD AB AB AD AB                       .故选：D. 5.【详解】由    2 π π4cos 1 2cos 1 0 2 6 3 xf x x                   ，函数值域为  1,3 ，又对任意的实数 t，  f x 在区间 2π, 3 t t     上的值域均为  1,3 ，则 2π 2π 3 T    ，解得 3  ，故选：D. 6.【解析】由题意， 21 ,2f CSv P fv  ，所以 31 2 P CSv ， 3 2PC Sv  ，A：当 ,S ，C不变，v比原来提高10%时， 则 3 3 3 3 31 1 1 1(1 10%) (1.1) 1.33 2 2 2 P CS v CS v CSv       ，所以 P比原来提高超过30%，故 A错误； B：由选项 A的分析知， 31 11.33 2 P CSv  ，所以 P比原来提高不超过 40%，故 B错误； C：当 ,S ，P不变，v比原来提高10%时， 1 3 3 3 3 2 2 20.75 1.1 1.33 P P PC Sv Sv Sv       ，所以C比原来降低不超过30%， 故 C正确；D：由选项 C的分析知，C比原来降低不超过30%，故 D错误.故选：C 7.【详解】由   0f x  可得，   1 2 log 0x a x b   ，即  1 1 2 2 log log 1x ax b   ，也即   0( )x ax b x b   ， 因 0x b  ，①当 1x b  时，可得 0x a  ，即得 1a b  ；②当0 1x b   时，可得 0x a  ，即 得1 b a  ，综上可得，1 b a  ，即 1a b  ， 第 2 页 共 8 页 因 0, 0,a b  故 1 1 1 1( )( ) 2 2 2 4a b a ba b a b a b b a b a            ，当且仅当 1 2 a b  时，1 1 a b  取 得最小值,等于 4.故选：B. 8.【详解】解法一：令 1x  ， 0y  ，则      22 1 1 0 3 f f f ，解得  0 3f  ，A正确； 令 0x  ，则          2 0 2 3 f y f y f f y f y    ，所以    f y f y  ，即  f x 是偶函数， 所以      2 1 2 1 2 1 1f x f x f x        ，所以函数  2 1f x 关于直线 1 2 x  对称，B正确； 令 y x ，则      222 0 0 3 f x f f x   ，令 2t x ，则    0 0f t f  ，所以    0 0f x f  ，C 正确；令 1y  ，则      1 1f x f x f x    ①，所以      2 1f x f x f x    ②， ①②联立得    2 1f x f x    ，所以    3f x f x   ，      6 3f x f x f x     ，即  f x 的 周期为6，D错误； 解法二：构造函数 π( ) 3cos 3 f x x ，满足   31 2 f  ， 且            π π π π 23cos 3cos 6cos cos 3 3 3 3 3 f x y f x y x y x y x y f x f y         ，  0 3cos0 3f   ，A正确；    π 2π π 2π 12 1 3cos 2 1 3cos 3cos 3 3 3 3 2 f x x x x                   ， 因为  2 1f x 表示 2π3cos 3 y x 的图象向右平移 12 个单位，且 2π3cos 3 y x 的图象关于 y轴对称， 所以  2 1f x 关于直线 1 2 x  对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知     π0 3cos 1 0 3 f x f x    ， C正确；  f x 的周期 2π 6π 3 T   ，D错误；故选：D 9.【详解】对于选项 A：因为  f x 的定义域为 R，且            22 1 4 1 3 1 3f x x x x x x        ， 当  1,3x 时，�′ � < �；当  ,1x   或  3,x   时，�′ � > �；可知  f x 在  ,1 ， 3,  上 单调递增，在  1,3 上单调递减，所以 1x  是函数  f x 的极大值点，故 A错误； 对于选项 B：因为        2 22 2 ( 1) 2 (1 ) 2 4f x f x x x x x            ，故 B正确； 对 于 选 项 C ： 因 为 π0 2 x  ， 则 0 sin 1x  ， 且  2sin sin sin 1 sin 0x x x x    ， 可 得 20 sin sin 1x x   ，因为函数  f x 在 �, � 上单调递增，所以    2sin sinf x f x ，故 C正确； 第 3 页 共 8 页 对于选项 D：对于不等式  4 2 1 0f x    ，因为  7 25 4,0 2 8 f          ，即 9 4 x  为不等式  4 2 1 0f x    的解，但  9 1,2 4 x   ，所以不等式  4 2 1 0f x    的解集不为 |1 2x x  ，故 D错误；故选：BC. 10.【详解】由题可  2,0A ， π2 ,0B       ，  0, sinC A  ，则 π sin1 , 2 2 AD        ， 有 π3 sin 2A     ，  sin 2 0   ， 2 21 3 AD  ， 2 2 2π sin 281 2 4 3 A           ， 把 1sin 2 3 A         代入上式，得 2π π2 24 0            ，解得 π 6   （负值舍去）， π 6   ， πsin 0 3        ，由 π 2   ，解得 π 3    ， π3 sin 8 3 A        解得 16 3 A  ，   16 π πsin 3 6 3 f x x       ，对 A，   16 π π8 sin 8 0 3 6 3 f         ，故 A正确； 对 B：  f x 的最小正周期为 2π 12π 6  ，故 B错误；对 C：    16 π π 16 π2 sin 2 sin 3 6 3 3 6 f x x x                 ，  2f x  为奇函数，故 C正确；对 D：当5 7x  时， π π π 5π 2 6 3 6 x   ， ( )f x\ 在 5,7 单调递减， 为奇函数，故 D正确.故选：ACD. 11.【解析】对于 A，在数列 na 中， 2 1 1n n na a a   ，则  1 1 1n n na a a    ，又对于任意的 Nn  都有 0na  ， 则 1 1 0na    ，即 1 1na   ，即对于任意的 2n  ，都有 1na  ，故 A 项正确； 对于 B，不妨设数列 na 可能为常数列，则 1n na a  ，又 2 1 1n n na a a   ，则 2n n na a a  ，则 2na  ， 即 1 2a  时，数列 na 为常数列，故 B项错误；对于 C， 21 1 11 12 (2 )n nn n n na a a a aa         又 10 2a  ，则 2 2 20 2a a   ，即 21 2a  ，同理，当 2n  ，都有 2na  ，即 2 1 1 1 1 12 (2 ) 0n n n nn na a a aa a          ，即 1n na a  ，即数列 na 为递增数列，故 C 项正确； 对于 D， 1 2a  ，则 2 2 2 2a a  ，即 2 2a  ，同理，当 2n  ，都有 2na  ，又 21 1 1 1 12 (2 ) 0n n n nn na a a aa a          ， 即数列 na 为递减数列，即当 2n  时， 12 na a  ，故 D 项正确.故答案为：ACD. 第 4 页 共 8 页 12．【解析】向量  3, 4a   ，向量  2,1b    ，则 6 4 10, 5a b b         ，故向量  3, 4a   在向 量  2,1b    上的投影向量为： 2a b b b b b          ，故 2   ．故答案为： 2 ． 13.【详解】 51x x      的第 1r  项为  5 5 21 5 5 1C 1 C r rr r r r rT x xx            ， 令5 2 1r  ，解得 2r  ，令5 2 3r  ，得 1r  ， 代入通项可得 51( )x x  展开式中的 x和 3x 项分别为： 310 5x x和 ，分别与 2x 和 2 相乘， 得 5 2 1( 2)x x x       的展开式中 3x 项为 3 3 310 10 20x x x  ，故 3x 的系数为 20.故答案为：20. 14.【解析】设点 B的坐标为   0 0, lg 1x x  ，则线段 AB的中点为  00 lg 11, 2 2 xxE       ， 由题意可知，点 E在曲线 1:M y x = 上，所以  0 0 lg 1 2 2 1 x x    ，即  0 0 4lg 1 1 x x    ， 构造函数   4lgf x x x   ，其中 0x  ，由于函数 lgy x 与函数 4y x   在  0,  上为 增函数，所以函数   4lgf x x x   在  0,  上为增函数，因为  1 4 0f    ，   210 1 0 5 f    ，所以函数   4lgf x x x   存在唯一零点，即  0 0 4lg 1 1 x x    只有一个解，所以曲线 G关于曲线M 的关联点的个数为 1. 15.【小问 1详解】在 ABCV 中，由 sin sin sin A C c b B a c     及正弦定理，得 a c c b b a c     ，即 2 2 2a b c bc   ， 所以 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc      ，而0 A   ,所以 2 π 3 A  ， 又由 2 cosa b B 及正弦定理，得 3sin 2sin cos sin2 2 A B B B   ， 显然 22 (0, π) 3 B ，则 π2 3 B  ，所以 π 6 B  . 【小问 2详解】由（1）知， π 6 C B  ，由正弦定理 sin sin sin a b c A B C   ，得 3 3a b c  ， 选①， 3a b= ， ABCV 的 3个内角确定，没有边长信息，此三角形不唯一，不能选①； 选②， ABCV 周长为3 2 3 ，则 3 , 3b c a   ， ABC 存在且唯一， 第 5 页 共 8 页 设 AC边上中线 BD， 在 ABD△ 中， 2 2 2 1 3 3 212 ( ) 3 2 4 2 4 BD AB AD AB AD          ， 所以 21 2 BD  . 选③， 2 1 3 3 3sin 2 4 4 S bc A b   ，则 3 , 3b c a   ， ABC 存在且唯一， 设 AC边上中线 BD， 在 ABD△ 中， 2 2 2 1 3 3 212 ( ) 3 2 4 2 4 BD AB AD AB AD          ， 所以 21 2 BD  . 16. 【小问 1详解】记事件A：员工所获得的红包数额不低于 90元， 事件 B：取到面值为 60元的球， 因为球中有 2个所标面值为 40元，1个为50元，1个为60元，且 40 50 90  ， 40 60 90  ，50 60 90  ， 所以 1 1 2 2 2 2 2 4 C C C 5( ) C 6 P A    ， 又 1 3 2 4 C 3 1( ) C 6 2 P AB    ，所以 1 ( ) 32( ) 5( ) 5 6 P BAP B A P A   ∣ ． 【小问 2详解】设 X 为员工取得的红包数额，则 X 可能取值为80,90,100,110， 所以 4 5 1 1( 80) C 5 P X    ， 4 5 1 1( 90) C 5 P X    ， 4 5 2 2( 100) C 5 P X    ， 4 5 1 1( 110) C 5 P X    ， 所以 1 1 2 1( ) 80 90 100 110 96 5 5 5 5 E X          ， 2 2 2 21 1 2 1( ) (80 96) (90 96) (100 96) (110 96) 104 5 5 5 5 D X              ． 17.【小问 1的详解】 第 6 页 共 8 页 由题意可知 π 3 COE    ，则扇形COE的面积为  21 1 π 2 3 2π 62 3S            ， //OC AB ，则 AFO FOC     ，且 2 tan AF   ， 所以， 梯形OCBF 的面积为 2 1 2 24 3 2 4 3 2 tan tan S         ， 3tan 3 OAABO AB    ，且 π0 3 ABO   ，则 π 3 AOB  ，故 π π 6 3   ， 所以， 1 2 22π 4 3 6 tan S S S         ， 3tan , 3 3        . 【小问 2的详解】 设 26 tan y     ， 3tan , 3 3        ，   2 2 2 2 2 3sin 1 3sin 12 6sin 26 sin sin sin y            ，且 1 3s 2 in , 2         ， 记 为锐角，且 3sin 3   ， 当 π 6    时， 0y  ，此时函数 26 tan y     单调递减， 当 π 3    时， 0y  ，此时函数 26 tan y     单调递增， 所以，当 3sin 3   时， 6cos 3   ，即 sin 2tan cos 2     时， y取最小值，此时 S 取最大值. 18.【小问 1详解】 ( ) e cosxf x a x   ， (0) 1f a   ，又 (0) 0f  ， ∴切线方程为 (1 )y a x  ； 【小问 2详解】由（1） ( ) e cosxf x a x   ， 函数  f x 在 0x  处取得极小值，则 (0) 0f   ，即1 0a  ， 1a   ， 设 ( ) ( ) e cosxg x f x x   ，则 ( ) e sinxg x x   ， (0) 1g   ， 由 ( )g x 的图象的连续性知 ( )g x 在 0x  附近是正值， 第 7 页 共 8 页 因此 ( )f x 在 0x  附近是递增的，又 (0) 0f   ， 所以 ( )f x 在 0x  附近从左到右，由负变正， ( )f x 在 0x  左侧递减，在 0x  右侧递增， (0)f 是极小值，符合题意； 所以 1a   ． 【小问 3详解】 ( ) e cosxf x a x   ， (0) 0f  ， 当 (0) 1 0f a    ，即 1a   时，由 ( )g x 的图象的连续性知必存在 0m  ，使得对任意 (0, )x m ， ( ) 0f x  ，对应 ( )f x 递增， 因此 ( ) (0) 0f x f  ，不合题意， 当 (0) 1 0f a    ，即 1a   时， 由 ( )g x 的图象的连续性知必存在 0m  ，使得对任意 (0, )x m ， ( ) 0f x  ，对应 ( )f x 递减， 因此 ( ) (0) 0f x f  ，满足题意， 1a   时， ( ) e cosxf x x   ， 0x  时， e 1x  ， cos 1x ， ( ) e cos 0xf x x    恒成立， ( ) e sin 1xf x x   在 (0, ) 上递增， ( ) (0) 0f x f  ，不合题意， 综上，a的取值范围是 ( , 1)  ． 19.【小问 1详解】若 8a  时，因为 1 8 2 4a     ，所以1,2, 4,8为 8的所有正约数，故 4k  . 【小问 2详解】由题意可知 1 1 2 2 3 1, , ,k k k a aa a a a a a a      . 因为 4k  ，依题意可知 3 2 1 2 1 1 2 k k k k a a a a a a a a         ，所以 3 2 2 2 1 2 3 aa a a a a aa a a a      ， 化简可得    2 23 2 2 1 3a a a a a   ，所以 2 3 2 3 2 1 a aa a a       . 因为 * 3a N ，所以 *3 2 2 1 a a a a    N ，因此可知 3a 是完全平方数. 由于 2a 是整数 a的最小非 1因子， 3a 是 a的因子，且 3 2a a ，所以 2 3 2a a ， 第 8 页 共 8 页 所以 2 1 3 2 1, , , k ka a a a a a    可写为 2 1 22 2 2 2 21, , , k ka a a a a    ，经检验该关系满足条件， 所以  12 , 4ka a k  . 【小问 3详解】由题意知  1 2 1 1 i, , , , , 1k k i ka a a a a a a a a i k        ， 所以 2 2 2 1 2 1 1 2k k k k a a aA a a a a a a       . 因为 12 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , k k k k k k k k a aa a a a a a a a a a a a a a            ， 所以 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 k k k k k k k k a a aA a a a a a a a a a a a a a                     2 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k a a a a a a a a a a                      . 因为 1 1, ka a a  ，所以 1 1 1 1 ka a   .所以 2A a . 第 1 页 共 4 页 2025届高三第二次考试数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 若 i2 i ( ) 2 i xz x     R 且 | | 1z  ，则 x 取值的集合为（ ） A. {2} B. {3} C. {3,7} D. {1,3} 2. 已知集合  2log 1A x x  ，  2 , 2xB y y x   ，则（ ） A. A B B B. A B A C. A B B D.  A B R R ð 3. 已知  sin 2sin 2    ，且 tan 2  ，则  tan   （ ） A. 6 B. 2 C. 2 D. 6 4.宽与长的比为 5 1 0.618 2   的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然 界中，令人赏心悦目．在黄金矩形 ABCD中， 5 1, ,BC AB BC CD   中点为 E，则 AB AE   的 值为（ ） A. 5 1 B. 5 1 C. 4 D. 2 5．已知函数    2 π4cos 1 02 6 xf x          ，若对任意的实数 t，  f x 在区间 2π, 3t t      上的值域 均为 1,3 ，则的取值范围为（ ） A．  0,2 B．  0,3 C．  2, D．  3, 6.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 f 满足公式 21 2 f CSv ，其中  是空气密度，S是 该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C 是空气阻力系数（其大小取决于 多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率 P fv . 当 ,S 不变，v比 原来提高10%时，下列说法正确的是（ ） A．若C不变，则 P比原来提高不超过30% B．若C不变，则 P比原来提高超过40% C．为使 P不变，则C比原来降低不超过30% D．为使 P不变，则C比原来降低超过40% 7. 已知 0a  ， 0b  ，设函数      1 2 logf x x a x b   ，若   0f x  ，则 1 1 a b  的最小值为（ ） 第 2 页 共 4 页 A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 8. 已知函数  f x 满足          2 31 3 2 f x y f x y f x f y f    ， ，则下列结论不正确的是 （ ） A.  0 3f  B. 函数  2 1f x 关于直线 1 2 x  对称 C.    0 0f x f  D.  f x 的周期为 3 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，错 选不得分，共 18 分） 9.设函数    2( 1) 4f x x x   ，则下列结论正确的是（ ） A. 1x  是  f x 的极小值点 B.    2 2 4f x f x     C. 当 π0 2 x  时，    2sin sinf x f x D. 不等式  4 2 1 0f x    的解集为 |1 2x x  10. 如图，函数� � = ���� �� + � � > �,� > �, � ≤ π � 的图象与 x轴的其中两个交点为 A，B，与 y轴交于点C，D为线段 BC的中点， 3OB OC ， 2OA  ， 2 21 3 AD  ，则下列 结论正确的是（ ） A.  f x 的图象不关于直线 8x  对称 B.  f x 的最小正周期为12π C. � −� + � 的图像关于原点对称 D.  f x 在 �, � 单调递减 11.在数列 na 中各项均为正数，且 2 1 1n n na a a   ( 1,2,3, )n = ¼ ，则下列结论正确的有： A.对任意的 2n… ，都有 1na  B.数列 na 不可能为常数列 C.若 10 2a  ，则数列 na 为递增数列 D.若 1 2a  ，则当 2n… 时， 12 na a  三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12.若向量  3, 4a   在向量  2,1b    上的投影向量为 b  ，则等于______． 第 3 页 共 4 页 13.   5 2 12x x x       的展开式中 3x 的系数为______．（用数字作答） 14．已知 ( )1,0A ，点 B在曲线 :G  ln 1y x  上，线段 AB与曲线 :M 1y x  相交且交点恰为线段 AB 的中点，称 B 为曲线G关于曲线M 的一个关联点，则曲线G关于曲线M 的关联点的个 数为 ． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分） 在 ABCV 中，角 A B C， ， 所对边分别为a b c， ， ．已知 sin sin sin A C c b B a c     ，且 2 cosa b B ． （1）求 B的大小； （2）请从条件①②③中选出一个作为已知，使 ABCV 存在且唯一确定，并求出 AC边上的中 线长． ① 3a b= ； ② ABCV 周长为3 2 3 ； ③ ABCV 面积为 3 3 4 ． 16.（15分） 某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装 有 n个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取 m 个球 ( )m n ，摸 完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． （1）若 4n  ， 2m  ，当袋中的球中有2个所标面值为 40元，1个为50元，1个为60元时， 在员工所获得的红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率； （2）若 5n  ， 4m  ，当袋中的球中有 1个所标面值为10元，2个为 20元，1个为30元，1 个为40元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 第 4 页 共 4 页 17.（15分）疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理．校园内某区域由矩形OABC 与扇形OCD组成， 2mOA  ， 2 3mAB  ， π 3 COD  ．消毒装备的喷射角 π 3 EOF  ，阴 影部分为可消毒范围，要求点 E在弧CD上，点 F 在线段 AB上，设 FOC   ，可消毒范围 的面积为 S． （1）求消毒面积 S关于 的关系式，并求出 tan的范围； （2）当消毒面积 S最大时，求 tan的值． 18.（17分）已知函数    e sin 1 Rxf x a x a    ， （1）求曲线  y f x 在点   0, 0f 处的切线方程； （2）若函数  f x 在 0x  时取得极小值，求 a的值； （3）若存在实数m，使对任意的  0,x m ，都有   0f x  ，求 a的取值范围. 19. （17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数 a除以整数  0m m  所得的商正好是整 数而没有余数，我们就称 a为m的倍数，称m为 a的约数.设正整数 a共有 k个正约数，即为 1a ，  2 1 1 2, , ,k k ka a a a a a     . （1）若 8a  ，求 k的值； （2）当 4k  时，若 1k ka a  为等比数列，求正整数 a（用 k和 2a 表示）； （3）记 1 2 2 3 1k kA a a a a a a    ，证明： 2A a .