精品解析：2024-2025学年北师大版数学九年级上册期中自我测试题

北师大版九年级上册数学期中自我测试题 考试时间∶120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3， B. 3，2 C. 3，5 D. 5，2 3. 下列语句正确的是（ ） A. 对角线互相垂直四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 对角线相等平行四边形是矩形 D. 平行四边形是轴对称图形 4. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 5 6. 设、是一元二次方程两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 12. 在中，是斜边上中线，若，则______． 13. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100 杯口朝上频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22 估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为______（结果精确到0.1） 14 若，则___________． 15. 如图，在中，， ， 把绕点A逆时针旋转得到， 点D与点B对应，点 D 恰好落在上，过E作交 的延长线于点F， 连接并延长交于点G，连接交于点 H． 下列结论： ①； ②；③；④其中正确的有_________________（填正确的序号）． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 如图，在中，过点A作平分交于点F，过点F分别作、的平行线、，点E、G分别在、上．求证：四边形是菱形． 18. 已知关于x的一元二次方程无实数根．求关于y的一元二次方程根的情况． 19. 如图，在矩形中，过对角线的中点O作线段，线段分别与和的延长线交于点E，F．求证：． 20. 近些年来，“校园安全”受到全社会的广泛关注，为了了解学生对于安全知识的了解程度，学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 　 　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 　 　； （2）补全条形统计图； （3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率． 21. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个根，求的值； （2）当时，求该方程的根； （3）当时，判断该方程的根的情况，并说明理由． 23. 已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若求菱形的面积． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 25. 下图是两个等宽的矩形（）和矩形叠合得到的四边形的部分图形，与和分别交于点D、C． （1）请用直尺和圆规在图①作出四边形．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； （2）如图②，若点M与点C关于对称，求的度数； （3）在（2）的条件下，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版九年级上册数学期中自我测试题 考试时间∶120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，列表适用于两个因素的问题，三个或三个以上因素的问题只能用树状图．根据列表法或者树状图分析出所有可能的结果，然后根据概率公式求出结果即可． 【详解】解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是． 故选：A． 2. 关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3， B. 3，2 C. 3，5 D. 5，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c． 【详解】解：关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是3，， 故选A． 3. 下列语句正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定与性质，平行四边形的性质及轴对称图形，根据菱形的判定，矩形的判定与性质，平行四边形的性质逐一分析即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，故选项符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 4. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可． 【详解】解：， 配方得：，即， 故选：C． 5. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出，由勾股定理求出的长． 连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到． 【详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ， ，E为中点， ， ， ， ∵G，H分别为，中点， 是的中位线， ． 故选：D． 6. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题意得，，， 所以 ， 故选：D． 7. 如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， ∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8. 我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D 9. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故①正确； 过B作，交的延长线于F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即点B到直线距离为1， 故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上可知，①③④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 【答案】A 【解析】 【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解． 【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴∠1=∠2， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， △DBM∽△EMC， ∴， 即：， 即． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 因此， 故答案为：． 12. 在中，是斜边上中线，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，由题意知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 13. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100 杯口朝上频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22 估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为______（结果精确到0.1） 【答案】0.2 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可． 【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为0.2， 故答案为：0.2 14. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质得出，代入代数式，即可求解． 详解】解：∵ 即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 15. 如图，在中，， ， 把绕点A逆时针旋转得到， 点D与点B对应，点 D 恰好落在上，过E作交 的延长线于点F， 连接并延长交于点G，连接交于点 H． 下列结论： ①； ②；③；④其中正确的有_________________（填正确的序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】连接、，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；根据勾股定理证明④的准确性． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点， 即，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设交于， ∵是等腰直角三角形，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 即，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，综合性较强． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法和步骤． （1）首先将原方程整理为，再用公式法求解即可； （2）首先将原方程整理为，再用公式法求解即可． 小问1详解】 解：， 整理可得 ， ∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 整理可得 ， ∵， ∴ ∴， ∴，． 17. 如图，在中，过点A作平分交于点F，过点F分别作、的平行线、，点E、G分别在、上．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行四边形的判定及菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键；根据角平分线定义和平行线性质得，根据等角对等边得出，先证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 18. 已知关于x的一元二次方程无实数根．求关于y的一元二次方程根的情况． 【答案】一元二次方程有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．熟记相关结论即可，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求k的取值范围．根据k的取值范围可得方程根的情况． 【详解】解：关于x的一元二次方程无实数根， ，即， 解得：； 在关于y的一元二次方程中， ， ∵， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 19. 如图，在矩形中，过对角线的中点O作线段，线段分别与和的延长线交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形， O是的中点，可得，，则，，进而可证． 【详解】证明：∵矩形， O是的中点， ∴，， ∴，， ∴． 20. 近些年来，“校园安全”受到全社会的广泛关注，为了了解学生对于安全知识的了解程度，学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 　 　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 　 　； （2）补全条形统计图； （3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率． 【答案】（1）60，90° （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据了解很少的人数和所占的百分比求出抽查的总人数； （2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“不了解”的人数，求出“了解”的人数，从而补全统计图； （3）根据题意先画出树状图或列表，再根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：接受问卷调查的学生共有（人）， “基本了解”部分所对应扇形的圆心角， 故答案为：，； 【小问2详解】 “了解”的人数为（人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 画树状图得： ∵可能的情况一共有种，抽到“一男一女”学生的情况有种， ∴抽到“一男一女”学生的概率是：． 【点睛】此题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，读懂题意，根据题意求出总人数是解题的关键；概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质. （1）先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形的判定即可得证； （2）先利用菱形的性质得出， ，，然后勾股定理求出，然后利用等面积法求出，即可求解. 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，对角线与交于点O ，，， ， ， 菱形的面积 ， ， ∵四边形矩形， ． 22. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个根，求的值； （2）当时，求该方程根； （3）当时，判断该方程的根的情况，并说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）该方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【解析】 【分析】（）把代入方程计算即可求解； （）把代入方程，再利用公式法解方程即可； （）由得，再计算即可判断求解； 本题考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵是该方程的一个根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，方程为， ，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：该方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 23. 已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； （2）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是中线， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积=． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点B在的垂直平分线上 （2）当时，的长度等于 （3）存在，当时，使得的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 25. 下图是两个等宽的矩形（）和矩形叠合得到的四边形的部分图形，与和分别交于点D、C． （1）请用直尺和圆规在图①作出四边形．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； （2）如图②，若点M与点C关于对称，求的度数； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为 （3）的值为 【解析】 【分析】（1）以A为圆心，为半径画弧交于点D，以B为圆心，为半径画弧交于点C，然后连接即可； （2）先说明四边形是菱形可得，再根据轴对称的性质可得，进而得到，最后根据平角的定义即可解答； （3）先说明是等边三角形可得是等边三角形，再根据轴对称的性质可得，进而证明四边形是菱形，即；再说明，最后根据直角三角形的性质及等量代换即可解答． 【小问1详解】 解：如图：四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图：连接 ∵, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∵点M与点C关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵,, ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∵点M与点C关于对称， ∴, ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、尺规作图、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键． 第1页/共1页 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