山东省济宁市嘉祥县第一中学2025届高三第三次考试数学试题

第三次考试数学试题 第 1 页 共 4 页 2025 届高三第三次考试数学试题 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合U  R，  2 ,A x x n n  N ，   2 0B x x x   ，则  UA B  ð （ ） A.  0 B.  2 C.  0,2 D.  0,1,2 2. 已知数列 na ，则“  2 2 2 3n n na a a n n     N， ”是“数列 na 是等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知向量 a,b,c    满足 | | | |a b   ， a  与b  的夹角为 3  ，若 0a b c       ，则 a  与 c  的夹角为（ ） A. 6  B. 3  C. 2 3  D. 5 6  4. 已知数列{ }na 的前 n项和为 nS ，若 1 12 5, 1n na a n a    ，则 8S （ ） A. 54 B.52 C. 50 D. 48 5．已知 sin( ) 2sin( ) 3 6       ，则 sin(2 ) ( 3    ) A． 3 4  B． 3 4 C． 4 5  D． 4 5 6. 已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､下底面边长分别为 2, 2 2，高为 3，则该球 的表面积为（ ） A. 40π B. 20π C. 16π D. 20 5π 3 7. 已知函数   1 1cos cos2 cos3 2 3 f x x x x   ，则下列结论正确的是（ ） A. π是  f x 的一个周期 B. π ,0 2       是  f x 图象的一个对称中心 C. πx  是  f x 图象的一条对称轴 D.  f x 在区间  0, π 内单调递减 8. 已知函数   ln 1 1 xf x x x        ，则 2023 1 2024i if         （ ） 第三次考试数学试题 第 2 页 共 4 页 A. 2024 B. 2023 C. 1012 D. 2023 2  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 设 i为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ） A． 1 2 1 2z z z z  B．若 1 2,z z 互为共轭复数，则 1 2z z C．若 1 2z z ，则 2 21 2z z D．若 2 21 2 0z z  ，则 1 2z z 10. 已知函数 ( )f x 及其导函数 ( )f x ，若存在 0x 使得    0 0f x f x ，则称 0x 是 ( )f x 的一个“巧 值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A. 2( )f x x B. ( ) xf x e C. ( ) lnf x x D. ( ) tanf x x 11．如图，已知二面角 l   的棱 l上有 ,A B 两点， , ,C a AC l D    BD l , 若 2, 2 2AC AB BD CD    , 则下列结论正确的有（ ） A. 直线 AB与CD所成角的大小为 45 B. 二面角 l   的大小为 60 C. 三棱锥 A BCD 的体积为 2 3 D. 直线CD 与平面  所成角的正弦值为 6 4 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知 10 2 100 1 2 10(2 1)x a a x a x a x      ，则 0 1 2 3 102 3 10a a a a a     ________． 13. 已知函数 ( ) sin 2 sin(2 ) 3 f x x x    在区间 (0, )m 上有且仅有 2 个零点，则实数m的取值范 围为_____． 14.已知函数  21 2( ) 3 1 2f x x ax bx x             ，对任意的 0x  时，都有 1( ) 0f x f x       ，则 2a b = ① ，函数  f x 的最小值是 ② . 第三次考试数学试题 第 3 页 共 4 页 四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分）数列 na 中， 1 2a  ， nT 为 na 的前 n项积，若 nT 是公差为 1的等差数列. (1)求数列 na 的通项公式； (2)令 2 n n n nab  ，求数列 nb 的前 n项和 nS . 16.（15分）某学校对高三（1）班 50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得 到数据如下：数学成绩的方差为 2 1 10s  ，化学成绩的方差为 2 2 8s  ， 50 2 1 500500i i x   ，其中 ,i ix y （ iN，且1 50i  ）分别表示这 50名学生的数学成绩和化学成绩， y关于 x的线性回归方 程为 0.4y x t  . （1）求 y与 x的样本相关系数 r； （2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布 2( , )N   ，用 样本平均数 x作为  的估计值，用样本方差 21s 作为 2 的估计值，试估计该校共 1600名高三学 生中，数学成绩位于区间 (96.84,106.32)的人数. 附：①回归方程  y bx a  中， 1 2 1 ( )( ) , ( ) n i i i n i i x x y y b a y bx x x             ； ②样本相关系数 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            ；③ 5 2.24, 10 3.16  ； ④若 2( , )N   ，则 ( ) 0.68, ( 2 2 ) 0.95P P                   . 第三次考试数学试题 第 4 页 共 4 页 17.（15分） 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥BC， 90ADC  ，平面 PAD⊥底面 ABCD，Q为 AD的中点， M是棱 PC上的点， 2PA PD  ， 1 1 2 BC AD  ， 3CD  ． （1）求证：平面MQB⊥平面 PAD； （2）若二面角M-BQ-C的大小为 60°，求 QM的长． 18. （17分）设函数   2 cos 1f x ax x   ， aR . （1）当 1 π a  时，求函数  f x 的最小值； （2）当 1 2 a  时，证明：   0f x  ； （3）证明：  *1 1 1 4cos cos cos , 12 3 3      n n nn NL . 19. （17分）若函数  f x 的定义域为R，且存在非零常数T，使得对任意 xR，都有      f x T f x T Tf x    ，则称  f x 是类周期为T 的“类周期函数”. （1）若函数  f x 是类周期为 1的“类周期函数”，证明：  f x 是周期函数； （2）已知   2 sin ( 0)f x x x    是“类周期函数”，求的值及  f x 的类周期； （3）若奇函数  f x 是类周期为 ( 0)T T  的“类周期函数”，且     3 1 f T f T  ，求T 的值，并给出 符合条件的一个  f x . 2025届高三第三次考试数学试题参考答案 1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.ABD 10.AC 11.ABD 12. 21 13. 14. ①. －1 ②. －36 1.【解析】集合，因为集合A为大于等于0的偶数集，集合或， 所以，.故选：C. 2.【解析】数列{} 是等差数列，根据等差数列的性质得 , 必要性成立;若 , 则 , 则满足 .而此时不满足 是等差数, 充分性不成立,所以" "是"数列 是等差数列"的必要不充分条件.故选：B. 3.【解析】可设，由题意得，， 而.故选：D. 4.【解析】，故选：B 5.【解析】因为，又，所以， 则．故选：． 6.【解析】正四棱台的对角面的外接圆为其外接球的大圆（如图）， 对角面为等腰梯形，其上下底边长分别为2，4，高为3， 由正四棱台的对称性可知，球的球心在梯形上下底的中点连线所在直线上， 设，则，球半径为， 由，可得，解得， 所以所求的球的表面积为，故选：B. 7.【解析】A：因为 即，所以不是的一个周期，故A错误； B：因为， 即，所以不是图象的一个对称中心，故B错误； C：因为， 即，所以是图象的一条对称轴，故C正确； D：因为 ，当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间内不单调递减，故D错误；故选：B. 8.【解析】当时，，，， 所以， 则.故选：D. 9.【解析】由题意得：对于选项A：令 则 所以，故A正确； 对于选项B：令，，所以，故B正确； 对于选项C：令，，根据复数的乘法运算可知：， ，，所以C错误； 对于选项D：若，则，所以， ，同理，所以， 所以，故D正确.故选：ABD 10.【解析】对于A：∵，∴，令，即，解得：x=0或x=2，故有“巧值点”.对于B：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”.对于C：∵，∴，令，即，由和的图像可知，二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点” 对于D：∵，∴，令，即，可得，无解，故没有“巧值点”.故选：AC 11. ABD 【解析】过点 作 , 且 , 连按 , 如图,则四边形 是平行四边形,即 且 是直线 与 所成角或其补角,因为, 则 , 而 平面 , 所以 平面 平面 , 所以 , 则 , 所以 , 故 A 正确; 因为 , 即 , 又 , 则 是二面角 的平面角, 又 , 结合 , 即 是等边三角形,所以 , 故 正确;因为 平面 , 则平面 平面 , 在平面 内过点 作 于点 , 于是得 平面 , 而 , 故 C 不正确;连接 , 因为 平面 , 则 是直线 与平面 所成角, , 故 D 正确. 12. 【解析】对两边求导可得：， 令，可得，即， 又，令，可得， 所以.故答案为：. 13.【解析】，由可得，若函数在上有且仅有2个零点，只需，解得. 14.【解析】依题意，因为，则，是的两个零点， 又，则，也是的两个零点， 故，则，故； 又，故， 令，则或，故， 对称轴是，故当时，即时，函数取得最小值－36.， 故答案为：-1；-36. 15.【解】(1) 当 时, ,所以 , 所以 , 当 时, , 所以 又 符合 , 所以 . (2) 由 (1) 得 ,所以 ①, ②, 由①②得 所以 . 16.【解】（1）由关于的线性回归方程为知， 即， 又由，可得， 所以与的样本相关系数 （8分） 由，解得，所以， 又由， 及可得 ， 于是估计该校1600名高三学生中，数学成绩位于区间的人数约为人. 17.【解】（1）证明：∵ADBC，，Q为AD的中点， ∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CDBQ，∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面，∴BQ⊥平面PAD， ∵平面MQB，∴平面MQB⊥平面PAD； （2）∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD， 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，且0≤λ≤1，得， 所以，， 设平面MBQ法向量为， 由，得， 令，则，由题意知平面BQC的一个法向量为， ∵二面角M-BQ-C为60°， ∴，即，，解得， ∴，则，∴． 18.【解】（1）因为的定义域为，且， 所以为偶函数，下取， 当时，，则， 当时，则，可知在内单调递增， 当时，令，则，可知在内单调递增， 因为，则，使得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 则在内恒成立，可知在内单调递减； 综上所述：在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为， 又因为为偶函数，所以在内的最小值为. （2）由（1）可知为定义在上的偶函数，下取， 可知，令， 因为，则， 则在内单调递增，可得， 即在内恒成立，可知在内单调递增， 所以在内的最小值为，结合偶函数性质可知：. （3）由（2）可得：当时，，当且仅当时，等号成立， 即，令，则， 当时，， 即，则有： ，，，， 相加可得：， 因为，则，所以， 即 19.【解】（1）证明：因为是类周期为1的“类周期函数”，所以，① 用代换得，② ①+②得，所以， 所以，所以是周期为6的周期函数. （2）因为是“类周期函数”， 所以存在非零常数，使得对任意，都有， 即， 整理得，所以所以， 所以的类周期为2. （3）因为奇函数是类周期为的“类周期函数”，所以，且， 取，得，所以， 取，得， 所以， 因为，所以（负值舍去）， 所以， 不妨设，则，整理得， 所以，则，即， 取. 第三次考试数学试题参考答案第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第三次考试数学试题参考答案 第 1 页 共 8 页 2025届高三第三次考试数学试题参考答案 1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.ABD 10.AC 11.ABD 12. 21 13. 7 13 12 12 m   14.①. －1 ②. －36 1.【解析】集合U  R，因为集合 A为大于等于 0的偶数集，集合 { | 0B x x  或 2}x  ， 所以  0 2UB x x  ð ，  0,2UA C B  .故选：C. 2.【解析】数列{ na } 是等差数列，根据等差数列的性质得  2 2 3,2n n na a a n n    N… , 必要性成立; 若 12 ( 1)nna    , 则 3 12 22 ( 1) , 2 ( 1) n n n na a          , 则满足 3 1 1 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 n n n n n na a a                 .而此时不满足  na 是等差数, 充分性不成 立,所以"  2 2 n2 , 3,n na a a n n     N "是"数列 { }na 是等差数列"的必要不充分条件.故选：B. 3.【解析】可设 | | | | 1a b    ，由题意得 c a b      ， 2( ) | |c a a b a a a b                 1 31 2 2      ， 而 2 2 22 3 5( ) 2 3,| | 3,cos , , , 2 6 c a b a a b b c a c a c                           .故选：D. 4.【解析】 8 1 2 3 4 5 6 7 8( ) ( ) ( ) ( ) 7 11 15 19 52S a a a a a a a a             ，故选：B 5.【解析】因为 sin( ) 2sin( ) 3 6       ，又 sin( ) cos( ) 3 6      ，所以 1tan( ) 6 2     ， 则 2 2 2 2sin( )cos( ) 2 tan( ) 1 46 6 6sin(2 ) 2sin( )cos( ) 13 6 6 5( ) ( ) 1 ( ) 1 6 6 6 4 sin cos tan                                  ．故选：C． 6.【解析】正四棱台的对角面的外接圆为其外接球O的大圆（如图）， 对角面为等腰梯形 AA C C  ，其上下底边长分别为 2，4，高为 3， 由正四棱台的对称性可知，球O的球心O在梯形上下底的中点连线 1 2OO 所在直线上， 设 1OO d ，则 2 3OO d  ，球O半径为OC R OC   ， 由 1Rt OOC ， 2Rt OO C 可得 2 2 2 2 2| 3 | 2 1R d d     ，解得 2, 5d R  ， 所以所求的球O的表面积为 24π 20πR  ，故选：B. 7.【解析】A：因为        1 1π cos π cos2 π cos3 π 2 3 f x x x x       1 1cos cos2 cos3 2 3 x x x    即    πf x f x  ，所以 π不是  f x 的一个周期，故 A错误； 第三次考试数学试题参考答案 第 2 页 共 8 页 B：因为        1 1 1 1cos cos2 cos3 cos cos2 cos3 2 3 2 3 f x x x x x x x          ， 即    πf x f x    ，所以 π ,0 2       不是  f x 图象的一个对称中心，故 B错误； C：因为        1 1π cos π cos2 π cos3 π 2 3 f x x x x       1 1cos cos2 cos3 2 3 x x x    ， 即    π πf x f x   ，所以 πx  是  f x 图象的一条对称轴，故 C正确； D：因为      sin sin2 sin3 sin 2 sin 2 sin2f x x x x x x x x x             2sin2 cos sin2 sin2 2cos 1x x x x x        ，当 π0, 2 x      时，sin2 0,2cos 1 0x x   ，此时�′ � < �； 当 π 2π, 2 3 x      时， sin2 0,2cos 1 0x x   ，此时�′ � > �； 当 2π , π 3 x      时， sin2 0,2cos 1 0x x   ，此时�′ � < �； 可知  f x 在 π0, 2       上单调递减，在 π 2π, 2 3       上单调递增，在 2π , π 3       上单调递减， 所以  f x 在区间 �,π 内不单调递减，故 D错误；故选：B. 8.【解析】当  0,1x 时，  1 0,1x  ， 0 1 x x   ，   ln 1 1 xf x x x     ， 所以     1 11 ln 1 1 ln 1 ln 1 1 1 1 x x x xf x x x f x x x x x                    ， 则 2023 1 1 2 2023 2024 2024 2024 2024i if f f f                              2023 1 2023 20232 2024 2024 2f f                 .故选：D. 9.【解析】由题意得：对于选项 A：令 1 2i, iz a b z c d    则      1 2 i i iz z a b c d ac bd ad bc           2 2ac bd ad bc    2 2 2 2 2 2 2 2a c b d a d b c      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2z z a b c d a c b d a d b c        所以 1 2 1 2z z z z  ，故 A正确； 对于选项 B：令 1 2i, iz a b z a b    ， 2 2 2 21 2,z a b z a b    ，所以 1 2z z ，故 B正确； 对于选项C：令 1 2i, iz a b z a b    ， 2 21 2z z a b   ，根据复数的乘法运算可知：   22 2 2 1 i 2 iz a b a b ab     ，  22 2 22 i 2 iz a b a b ab     ， 2 21 2z z ，所以 C错误； 第三次考试数学试题参考答案 第 3 页 共 8 页 对于选项 D：若 2 21 2 0z z  ，则 2 21 2z z  ，所以 2 2 2 1 2 2z z z   ，    2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 12 i 4z a b ab a b a b a b a b z           ，同理 22 2 2z z ，所以 2 2 1 2z z ， 所以 1 2z z ，故 D正确.故选：ABD 10.【解析】对于 A：∵ 2( )f x x ，∴ ( ) 2f x x  ，令    f x f x  ，即 2 2x x ，解得：x=0或 x=2， 故有“巧值点”.对于 B：∵ ( ) xf x e ，∴   xf x e   ，令    f x f x  ，即 x xe e   ， 无解，故没有“巧值点”.对于 C：∵ ( ) lnf x x ，∴ 1( )f x x   ，令    f x f x  ，即 1ln x x  由 ( ) lnf x x 和 1( )f x x   的图像可知，二者图像有一个交点，故    f x f x  有一个根，故有“巧值点”. 对于 D：∵ ( ) tanf x x ，∴ 2 1( ) cos f x x   ，令    f x f x  ，即 2 1tan cos x x  ，可得 sin 2 2x  ，无 解，故没有“巧值点”.故选：AC 11. ABD 【解析】过点 A 作 / /AE BD , 且 AE BD , 连按 ,CE DE , 如 图,则四边形 ABDE 是平行四边形,即 / /DE AB 且 ,DE AB CDE 是直线 AB 与 CD 所成角或其补角,因为 ,AC l BD l  , 则 ,DE AE DE AC  , 而 , ,AE AC A AE AC   平面 AEC , 所以 DE  平面 ,AEC CE  平面 AEC , 所以 DE CE , 则 cos CDE  2 2 DE AB CD CD   , 所以 45CDE   , 故 A 正确; 因为 BD l , 即 AE l , 又 AC l , 则 CAE 是二面角 l   的平面角, 又 CE DE 2 , 结合 2AE AC  , 即 ACE 是等边三角形,所以 60CAE   , 故 B 正确;因为 DE  平面 ,AEC DE  , 则平面   平面 AEC , 在平面 AEC 内过点 C 作 CO AE 于点 O , 于是得 CO 平面 3, 3 2 CO AC   , 而 1 1 2 32, 2 3 3ABD A BCD C ABD ABD S AB BD V V CO S         , 故 C 不正确;连接 DO , 因为 CO  平面  , 则 CDO 是直线 CD 与平面  所成角, 3 6sin 42 2 COCDO CD     , 故 D 正确. 第三次考试数学试题参考答案 第 4 页 共 8 页 12.【解析】对 10 2 100 1 2 10(2 1)x a a x a x a x      两边求导可得： 9 10 1 2 9 120(2 1) 2 10x a a x a x     ， 令 1x  ，可得 1 2 10 920(2 1 1) 2 10a a a      ，即 1 2 102 10 20a a a    ， 又 10 2 10 0 1 2 10(2 1)x a a x a x a x      ，令 0x  ，可得 0 1a  ， 所以 0 1 2 3 102 3 10 1 20 21a a a a a       .故答案为： 21 . 13.【解析】 1 3( ) sin2 sin2 cos2 3sin(2 ) 2 2 6 f x x x x x      ，由0 x m  可得 2 2 6 6 6 x m       ， 若函数 ( )f x 在0 x m  上有且仅有 2个零点，只需 2 2 6 m     ，解得 7 13 12 12 m   . 14.【解析】依题意，因为  21 2( ) 3 1 2f x x ax bx x             ，则 1 1 3 x   ， 2 2x  是  f x 的两个零点， 又 1( )f x f x       ，则 3 1 2 x  ， 4 3x   也是  f x 的两个零点， 故 1 0 2 f       ，则 1 12 0 4 2 a b    ，故 2 1a b   ； 又  3 0f   ，故 1 2 3 2( ) 3 1 (2 1)( 3) 3 10 2 5f x x x x x x x x x                           ， 令 1t x x   ，则 2t  或 2t   ，故 2(3 10)(2 5) 6 5 50y t t t t      ， 对称轴是 5 12 t   ，故当 2t   时，即 = 1x  时，函数  f x 取得最小值－36.， 故答案为：-1；-36. 15.【解】(1) 当 1n  时, 1 1 2T a  ,所以  1 1 1 1nT T n n      , 所以 1 2 3 1na a a a n  , 当 2n… 时, 1 2 3 1na a a a n  , 所以   1 2n na n n   … 又 1 2a  符合 1 n na n   , 所以 1,n na n n  N . (2) 由 (1) 得 1 2n n nb  ,所以 2 3 n 1 2 3 4 1 2 2 2 2 2n n n nS         ①, 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 2 2 2n n n n nS         ②, 第三次考试数学试题参考答案 第 5 页 共 8 页 由①②得 1 2 3 1 1 1 1 1[1 ( ) ]1 2 1 1 1 1 1 3 1 14 2( ) 1 ( )12 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n n nS                      所以 33 2n n nS   . 16.【解】（1）由 y关于 x的线性回归方程为 0.4y x t  知 50 1 50 2 1 ( )( ) 0.4 ( ) i i i i i x x y y b x x           ， 即 50 50 2 1 1 ( )( ) 0.4 ( )i i i i i x x y y x x        ， 又由 2 1 10s  ， 2 2 8s  可得 50 50 2 2 1 1 ( ) 500, ( ) 400i i i i x x y y        ， 所以 y与 x的样本相关系数 50 50 2 1 1 50 50 50 50 2 2 2 2 1 1 1 1 ( )( ) 0.4 ( ) 5 2.24 0.448 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i i x x y y x x r x x y y x x y y                         （8分） 由 50 2 22 2 1 1 1 1,10 500500 50 50ii s x x x       ，解得 100x  ，所以 (100,10)N  ， 又由106.32 100 2 3.16,96.84 100 3.16     ， 及 ( ) 0.68, ( 2 2 ) 0.95P P                   可得 0.68 0.95(96.84 106.32) 0.815 2 P      ， 于是估计该校 1600名高三学生中，数学成绩位于区间 (96.84,106.32) 的人数约为1600 0.815 1304  人. 17.【解】（1）证明：∵AD // BC， 1 2 BC AD ，Q 为 AD 的中点， ∴四边形 BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ，∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即 QB⊥AD， 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD＝AD， BQ 平面 ABCD，∴BQ⊥平面 PAD， ∵ BQ 平面 MQB，∴平面 MQB⊥平面 PAD； （2）∵PA＝PD，Q 为 AD 的中点，∴PQ⊥AD， 第三次考试数学试题参考答案 第 6 页 共 8 页 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD＝AD，∴PQ⊥平面 ABCD， 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系， 则  0,0,0Q ，  1,0,0A ，  0,0, 3P ，  0, 3,0B ，  1, 3,0C  ， 设 PM PC   ，且 0≤λ≤1，得  , 3 , 3 3M     ， 所以  , 3 , 3 3QM      ，  0, 3,0QB  ， 设平面 MBQ 法向量为  , ,m x y z  ， 由 0 0 m QM m QB         ，得  3 3 3 0 3 0 x y z y           ， 令 3x  ，则 13,0,m          ，由题意知平面 BQC 的一个法向量为  0,0,1n   ， ∵二面角 M-BQ-C 为 60°， ∴ 2 1 1cos60 213 n m n m                     ，即 2 1 1 24 2 1        ，  2 24 1 4 2 1      ，解得 1 2   ， ∴ 1 3 3, , 2 2 2 QM          ，则 2 221 3 3 2 2 2 QM                       ，∴ 7 2 QM  ． 18.【解】（1）因为  f x 的定义域为R，且        2 2cos 1 cos 1         f x a x x ax x f x ， 所以  f x 为偶函数，下取 0x  ， 当 1 π a  时，   21 cos 1 π   f x x x ，则   2 sin π   f x x x， 当 π 2 x  时，则   2 sin 1 sin 0 π      f x x x x ，可知  f x 在 π , 2      内单调递增， 当 π0 2 x  时，令    g x f x ，则   2 cos π   g x x，可知  g x 在 π0, 2      内单调递增， 因为 20 1 π   ，则 0 π0, 2 x       ，使得 0 2cos π x  ， 第三次考试数学试题参考答案 第 7 页 共 8 页 当  00,x x 时，   0g x  ；当 0 π, 2 x x    时，   0g x  ； 所以  g x 在 00, x 上单调递减，在 0 π, 2 x    上单调递增，且   π0 0 2 g g       ， 则     0f x g x   在 π0, 2      内恒成立，可知  f x 在 π0, 2      内单调递减； 综上所述：  f x 在 π0, 2      内单调递减，在 π , 2      内单调递增， 所以  f x 在 0,  内的最小值为 π π 1 2 4 f        ， 又因为  f x 为偶函数，所以  f x 在R内的最小值为 π 1 4  . （2）由（1）可知  f x 为定义在R上的偶函数，下取 0x  ， 可知   2 sinf x ax x   ，令     2 sin   x f x ax x， 因为 1 2 a  ，则   2 cos 1 cos 0x a x x      ， 则  x 在 0,  内单调递增，可得    0 0x   ， 即   0f x  在 0,  内恒成立，可知  f x 在  0,  内单调递增， 所以  f x 在 0,  内的最小值为  0 0f  ，结合偶函数性质可知：   0f x  . （3）由（2）可得：当 1 2 a  时，   21 cos 1 0 2 f x x x    ，当且仅当 0x  时，等号成立， 即 21cos 1 2 x x  ，令 *1 , 2,  x n n n N ，则 2 1 1cos 1 2n n   ， 当 2n  时， 2 2 2 1 1 2 2 1 1cos 1 1 1 1 2 4 4 1 2 1 2 1n n n n n n               ， 即 1 1 1cos 1 2 1 2 1n n n        ，则有： 1 1 1cos 1 2 3 5        ， 1 1 1cos 1 3 5 7        ，  ， 1 1 1cos 1 2 1 2 1n n n        ， 相加可得：  1 1 1 1 1 4 1cos cos cos 1 2 3 3 2 1 3 2 1 n n n n n                ， 第三次考试数学试题参考答案 第 8 页 共 8 页 因为 2n  ，则 1 0 2 1n   ，所以 1 1 1 4cos cos cos 2 3 3     L n n ， 即  *1 1 1 4cos cos cos , 12 3 3      n n nn NL . 19.【解】（1）证明：因为  f x 是类周期为 1的“类周期函数”，所以      1 1f x f x f x    ，① 用 1x  代换 x得      2 1f x f x f x    ，② ①+②得    2 1f x f x    ，所以    3f x f x   ， 所以      6 3f x f x f x     ，所以  f x 是周期为 6的周期函数. （2）因为  f x 是“类周期函数”， 所以存在非零常数T ，使得对任意 x R ，都有      f x T f x T Tf x    ， 即        2 sin 2 sin 2 sinx T x T x T x T Tx T x             ， 整理得4 2sin cos 2 sinx x T Tx T x     ，所以 4 2 , 2cos T T T    所以 2,cos2 1T   ， 所以    *π ,k k f x  N 的类周期为 2. （3）因为奇函数  f x 是类周期为T 的“类周期函数”，所以  0 0f  ，且      f x T f x T Tf x    ， 取 x T ，得      0 2f f T Tf T  ，所以    2f T Tf T ， 取 2x T ，得        23 2f T f T Tf T T f T   ， 所以      23 1f T T f T  ， 因为       3 1, 0 f T f T f T   ，所以 2 1 1, 2T T   （负值舍去）， 所以      2 2 2f x f x f x    ， 不妨设   sinf x ax ，则    sin 2 sin 2 2sinax a ax a ax    ，整理得2sin cos 2 2sinax a ax ， 所以 2cos 2 2 a  ，则 2 2 , 4 a k k  Z，即 22 , 8 a k k  Z， 取  2π 2π, sin 8 8 a f x x  . 2025届高三第三次考试数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知向量满足，与的夹角为，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 5．已知，则　　 A． B． C． D． 6. 已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､下底面边长分别为，高为3，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 是图象一个对称中心 C. 是图象的一条对称轴 D. 在区间内单调递减 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（    ） A． B．若互为共轭复数，则 C．若，则 D．若，则 10. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A. B. C. D. 11．如图，已知二面角 的棱上有 两点， , 若 , 则下列结论正确的有（ ） A. 直线与所成角的大小为 B. 二面角 的大小为 C. 三棱锥的体积为 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则________． 13. 已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为_____． 14.已知函数，对任意的时，都有，则 ① ，函数的最小值是 ② . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分）数列中，，为的前项积，若是公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 16.（15分）某学校对高三（1）班50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，，其中（，且）分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. （1）求与的样本相关系数； （2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值，试估计该校共1600名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中，； ②样本相关系数；③； ④若，则. 17.（15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，． （1）求证：平面MQB⊥平面PAD； （2）若二面角M-BQ-C的大小为60°，求QM的长． 18. （17分）设函数，. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：； （3）证明：. 19. （17分）若函数的定义域为，且存在非零常数，使得对任意，都有，则称是类周期为的“类周期函数”. （1）若函数是类周期为1的“类周期函数”，证明：是周期函数； （2）已知是“类周期函数”，求的值及的类周期； （3）若奇函数是类周期为的“类周期函数”，且，求的值，并给出符合条件的一个. 第三次考试数学试题第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$