精品解析：上海市位育中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2024学年第一学期位育中学期中考试试卷 高三年级 数学学科 （考试时间 120分钟，总分150分 ） 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12 题每题 5分，满分54分） 1. 已知集合，，则________. 2. 设抛物线的准线方程为__________. 3. 不等式的解集是_________. 4. 若正数满足，则的最大值为_________. 5. 复数（为虚数单位），则_________. 6. 已知函数，若，则___________. 7. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是____________. 8. 已知点，则在 方向上的投影为____________ 9. 若，则的值为______. 10. 设无穷等比数列的公比，，，则______ 11. 日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 中，AB=3，BC=2，AA₁=1.店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中 的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）（图A中各棱的点是棱的三等分点）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为__________.（） 12. 已知实数满足：，则的最大值是__________． 二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 15. 已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①； ②； ③ ④； 其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分 78分） 17. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. （1）求证: AF⊥BE; （2）若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 18. 已知向量.设. （1）求函数的单调增区间； （2）在中，角所对的边分别为.若，三角形的面积为，求边的长. 19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； （2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； （3）为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 20. 已知椭圆为坐标原点； （1）求的离心率； （2）设点，点在上，求的最大值和最小值； （3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 21. 设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期位育中学期中考试试卷 高三年级 数学学科 （考试时间 120分钟，总分150分 ） 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12 题每题 5分，满分54分） 1. 已知集合，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集运算直接求解即可. 【详解】集合，，所以. 故答案为： 2. 设抛物线的准线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可. 【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为. 故答案为． 【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题. 3. 不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】分式不等式等价为整数不等式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 4. 若正数满足，则的最大值为_________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求得. 【详解】为正数，，即 ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号. 故答案为：. 5. 复数（为虚数单位），则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先对化简，然后可求出其共轭复数 【详解】， 所以共轭复数是. 故答案为： 6. 已知函数，若，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，借助单调性分析取值范围，再列式计算作答. 【详解】依题意，当时，函数单调递增，；当时，单调递增，， 因此由，得，解得， 所以. 故答案为：4 7. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论，当时，满足题意；当时，只需要满足解不等式组即可. 【详解】不等式对一切实数x都成立， 当时，对一切实数都成立，满足题意； 当时，只需要满足 解得 综上结果为：. 故答案为： 8. 已知点，则在 方向上的投影为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影的定义求解. 【详解】因为，， 所以在 方向上的投影为, 故答案为： 9. 若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】根据题意，， 令，得， 令，得， 所以. 故答案为：. 10. 设无穷等比数列的公比，，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义先分析出数列也为等比数列，再求出其前项和的极限即可. 【详解】由题意得，，，…， 以此类推，， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此. 故答案为. 11. 日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 中，AB=3，BC=2，AA₁=1.店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中 的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）（图A中各棱的点是棱的三等分点）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为__________.（） 【答案】 【解析】 【分析】计算出两种捆扎法中绳的长度后相减即得． 【详解】易知图中绳的长度是两个长方形的周长，即为， 图中，由于绳与长方体的棱的交点是各棱相应的三等分点，因此有： ，，，， 因此绳的长度为， 两者相差， 故答案为：4. 12. 已知实数满足：，则的最大值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知条件及三角换元，利用三角方程的解法及三角函数的性质即可求解. 【详解】因为 故令，且， 因为， 所以， 所以 ，仅当时等号成立. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用三角换元及三角方程，结合三角函数的性质即可. 二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 14. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A由对数函数的性质判断奇偶性；B根据正切函数的性质判断单调性；C利用奇偶性定义及幂函数的单调性判断；D根据分式型函数的性质判断单调性. 【详解】A：的定义域为，显然不是奇函数； B： 在定义域上不单调，不合要求； C：且定义域为R，即为奇函数，又在定义域上递增，即为增函数，符合要求； D：定义域为，在定义域上不单调性，不合要求； 故选：C 15. 已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①； ②； ③ ④； 其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义可判断③④,即可得答案. 【详解】对于①，，为偶函数，定义域为， 对于任意实数对， 则存在，满足，集合M是“垂直对点集”； 对于②，，取实数对, 假设存在，使成立，则，与矛盾， 即不是“垂直对点集”； 对于③，,作出函数的图象如图， 图象过点，向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线， 在的图象上任取一点，连接OA，作， 则OB总与函数图象相交，设交函数图象于， 即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”； 对于④，作出函数的图象如图， 图象向左向右无线延伸， 在的图象上任取一点，连接OA，作， 则OB总与函数图象相交，设交函数图象于， 即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”； 故集合M是“垂直对点集”的有3个， 故选：D 16. 数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和公式计算，再建立方程并判断①；求出等差数列的通项，再拆分成两个等差数列，结合等差数列前n项和建立方程判断②. 【详解】对于①，由等比数列，得， 若对任意正整数，总存在正整数，使得，则，即，显然不成立，①为假命题； 对于②，设等差数列的公差为，则. 令，，则， 下面证是“某数列”. 设的前项和为，则， 于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“某数列”. 同理，可证也是“某数列”. 所以对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得成立，故②为真命题. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、解答题（本大题共有5题，满分 78分） 17. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. （1）求证: AF⊥BE; （2）若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 【答案】（1） 连接，则，又平面，而平面， ∴，又，平面， ∴平面，又∵平面， ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，得证线线垂直； （2）设是中点，证明是直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设是中点，连接，因为点E是的中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面 是直线与平面所成的角. 设正方形的边长为，则，， ∴，∴， ∴与平面所成的角为． 18. 已知向量.设. （1）求函数的单调增区间； （2）在中，角所对的边分别为.若，三角形的面积为，求边的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算法则，求出函数的解析式，继而求出单调增区间即可； （2）根据，求出角，继而利用三角形面积公式求出边，再利用余弦定理即可求出边的长. 【小问1详解】 因为， 则 , 令 得, 故函数的单调增区间为. 【小问2详解】 因为， 所以， 又,则 所以，则，又， ， 所以， 由余弦定理可得： ， 故 19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： （1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； （2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； （3）为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）按照求百分数的计算步骤计算即可； （2）分别算出第一种与第二种生产方式中优秀的概率相乘即可； （3）据直方图面积为1的性质及第一组第二组的人数建立方程组，解出，进而得解. 【小问1详解】 40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 因为， 所以第75百分数为； 【小问2详解】 由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为， 第二种生产方式中优秀的概率为， 所以选出的两个人均为优秀的概率为. 【小问3详解】 依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，. 20. 已知椭圆为坐标原点； （1）求的离心率； （2）设点，点在上，求的最大值和最小值； （3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由； 【答案】（1） （2）的最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率； （2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解； （3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得，再联立直线与椭圆方程得到关于的表达式，进而化简得到与的关系，由此得解. 【小问1详解】 设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，则，所以. 【小问2详解】 依题意，设，则，，故， 则， 所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 【小问3详解】 设，又， 易得，则直线为，即 ， 而， ， ， 联立，消去，得 则，得， 所以， 故 ， 所以， 故存在，使得恒成立. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 设函数的定义域为R，其导函数为，．若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值． 对于以下两个命题，：对任意，都有与恒成立；：对任意正整数，满足函数都是上的函数；判断P是否为Q的充要条件，并说明理由． 【答案】（1）是，理由如下： 设定义域为的函数 在上可导，导函数为 ． 若区间及实数满足：，对任意成立， 则称函数为上的“函数”． ，， ，在时恒成立， 是 上的函数． （2） （3）为的充要条件，理由如下： 若成立，则对任意正整数，有：， 即 为上的函数，成立．故为充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：（2） 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与（2）矛盾． 则有恒成立，这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知， 但，所以， 于是． 对任意 ，可取一个与有关的正整数，使得， 由（2）知：． 于是成立，故也为的必要条件． 故为的充要条件． 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义来判断即可； （2）根据函数，将问题转化为不等式问题，进一步转化为恒成立问题进行求解； （3）推导出为的充分条件，若成立，即对任意正整数，有：，记函数的最大值为．用反证法证明恒成立和恒成立，从而为的充要条件． 【小问1详解】 是 上的函数，理由略； 【小问2详解】 实数满足：函数为上的函数， 则有，得， 函数，有在上恒成立， 在单调递减，在上， 所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 为的充要条件，理由略. 【点睛】思路点睛： 本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，（1）中直接根据定义来判断，（2）将不等式问题转化为恒成立问题来求解；（3）巧用反证法来证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $