精品解析：山东省枣庄市滕州市北辛街道北辛中学2024-2025学年上学期九年级期中测试

山东省枣庄市滕州市北辛中学中学2024-2025学年上学期 九年级期中模拟测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D. 正方形的对角线平分一组对角 3. 地铁站有A，B两个入口，D，E，F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的方程（为常数）的实数根的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 5. 定义新运算：，例如： ，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 6. 下列说法正确的是（ ） A. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形 C. 已知点 C 为线段的黄金分割点，若，则 D. 中午用来乘凉的树影是中心投影 7. 点B把线段AC分成两部分，如果＝k，那么k的值为（ ） A. B. C. ＋1 D. －1 8. 小明和小颖同学交流学习心得，小明发现将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着图③中的虚线剪下，就能得到一个特殊的图形．这个特殊的图形是（ ） A. 矩形 B. 三角形 C. 菱形 D. 正方形 9. 如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为(　　) A. 60mm B. mm C. 20mm D. mm 10. 如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 12. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 13. 已知 ，是一元二次方程的两个根，则______． 14. 寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为______． 15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边DF离地面的高度，，则树高为______． 16. 如图，直线 与坐标轴分别相交于点 A，B，点C 在射线上，点 D 在射线上，且，将沿直线翻折得到，连接．若则的长为_______． 三、计算题：本大题共1小题，共16分． 17. 解下列方程： （1）；直接开平方法 （2）；  配方法 （3）；公式法 （4）．因式分解法 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出绕原点顺时针旋转得到的，点的坐标是___________； （2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是___________； （3）的面积是___________平方单位． 19. 为了丰富学生在学校的课余生活，学校开展了合唱、手工、机器人编程、书法这四项活动（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对以上四项活动的喜好程度，学校随机抽取部分同学进行了“你最喜欢哪一项活动”的问卷调查，要求必选且只选一种．并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图： （1）请补全条形统计图； （2）估计全校3000名学生中最喜欢手工活动的人数约为______人； （3）现从喜好机器人编程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档加入活动策划会，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同时被选到的概率． 20. 如图，已知点是的边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形为矩形； （3）在（2）条件下，当再满足条件时，四边形为正方形． 21. 已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． （1）试说明：无论取何值方程总有两个实数根； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 22. 如图，在四边形中， 为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接，使得平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）当四边形是矩形时，若，求的长． 23. 某超市销售一种饮料， 每瓶进价为元，当每瓶售价元时，日均销售量瓶.经市场调查表明，每瓶售价每增加元，日均销售量减少瓶. （1）当每瓶售价为元时，日均销售量为 瓶； （2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为元； （3）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 24. 在矩形中，，，点E是的中点，点F是射线边上一动点，连接，交于点P． （1）如图1，连接，过点D作交于点Q． ①求证：； ②求证：； ③若，求的长； （2）如图2，延长交的延长线于点G，在点F运动的过程中，交于点H，使，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市滕州市北辛中学中学2024-2025学年上学期 九年级期中模拟测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D. 正方形的对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，根据正方形的判定和性质逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意； B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意； D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 3. 地铁站有A，B两个入口，D，E，F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：列出表格如下： 入口 出口 A B D E F 由表可知，一共有6种情况，从A入口进，F出口出的有1种， ∴从A入口进，F出口出的概率， 故选：D． 4. 关于x的方程（为常数）的实数根的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可分当时和当时，然后利用一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：由关于x的方程（为常数）可得： 当时，原方程为，故方程只有一个解， 当时，原方程为一元二次方程，则有： ， ∴该方程有两个不相等的实数根； 综上所述：该方程根的个数为1个或2个； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 5. 定义新运算：，例如： ，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形 C. 已知点 C 为线段的黄金分割点，若，则 D. 中午用来乘凉的树影是中心投影 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定，中点四边形的判定，黄金分割的含义，平行投影的含义；本题根据菱形的判定，中点四边形的判定，黄金分割的含义结合线段的黄金分割点有2个，以及太阳光线是平行光线逐一分析判定即可，熟记基础概念是解本题的关键． 【详解】解：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A不符合题意； 顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形，表述正确，故B符合题意； 如图，是的黄金分割点， 则，则， 或，则， ∴，故C不符合题意； 中午用来乘凉的树影是平行投影，故D不符合题意； 故选B 7. 点B把线段AC分成两部分，如果＝k，那么k的值为（ ） A. B. C. ＋1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】设AC=1，由题意得AB=k，BC=，由AC=AB+ BC=1得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设AC=1， ∵=k，且， ∴AB=k，BC=， ∵AC=AB+ BC=1， ∴，即， ∵，，， ， ∴(负值舍去)， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键． 8. 小明和小颖同学交流学习心得，小明发现将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着图③中的虚线剪下，就能得到一个特殊的图形．这个特殊的图形是（ ） A. 矩形 B. 三角形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、剪纸问题；由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：据折叠方法可知：所得到图形的条边都是所剪直角三角形的斜边，并且相等，根据四条边相等的四边形是菱形可得这个图形是菱形． 故选：C． 9. 如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为(　　) A. 60mm B. mm C. 20mm D. mm 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】如图，设AD交PN于点K， ∵PM：PQ=3：2， ∴可以假设MP=3k，PQ=2k， ∵四边形PQNM是矩形， ∴PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， ∵AD⊥BC，BC∥PM， ∴AD⊥PN， ∴， ∴， 解得k=20mm， ∴PM=3k=60mm， 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；由平行线性质可得，，可证；通过证明，可得，可求，即可得，则可求解． 【详解】解：在矩形中， ， ， ， 是边的中点， ， ， ，故①正确； 如图，过作交于， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，且， 是的垂直平分线， ，故②正确； 四边形是矩形， ，，， ，， ，故④正确； ， ， ， ，且，， ，且， ， ， ， ， ， ∴，故③错误． 故选：B． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，斜边上的中线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系，求代数式的值，一元二次方程解的定义．解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，． 12. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 13. 已知 ，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ． 故答案为：． 14. 寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，画树状图可得出所有等可能的结果数以及选择的两位老师中恰好有甲老师的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下 共有12种等可能的结果，其中选择的两位老师中恰好有甲老师的结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，丙甲，丁甲，共6种， 选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为， 故答案为：． 15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边DF离地面的高度，，则树高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，得到，即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， ， ∵，，，， ， ∴， 故答案为：． 16. 如图，直线 与坐标轴分别相交于点 A，B，点C 在射线上，点 D 在射线上，且，将沿直线翻折得到，连接．若则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】求出点 A，B的坐标，翻折，推出四边形为菱形，进而得到，设交轴与点，分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线 与坐标轴分别相交于点 A，B， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴的横坐标相同， 设交轴与点， 当点在线段上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时： ∵ ∴， ∴点为的中点， ∴，， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共16分． 17. 解下列方程： （1）；直接开平方法 （2）；  配方法 （3）；公式法 （4）．因式分解法 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）利用公式法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ，； 【小问3详解】 解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出绕原点顺时针旋转得到的，点的坐标是___________； （2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是___________； （3）的面积是___________平方单位． 【答案】（1）如图，即为所求；点的坐标是， （2） 如图，即为所求；点的坐标是， （3）10 【解析】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键． （1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可； （3）利用等腰直角三角形的性质得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴的面积是：（平方单位）． 故答案为：10． 19. 为了丰富学生在学校的课余生活，学校开展了合唱、手工、机器人编程、书法这四项活动（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对以上四项活动的喜好程度，学校随机抽取部分同学进行了“你最喜欢哪一项活动”的问卷调查，要求必选且只选一种．并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图： （1）请补全条形统计图； （2）估计全校3000名学生中最喜欢手工活动的人数约为______人； （3）现从喜好机器人编程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档加入活动策划会，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同时被选到的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示： （2）1200 （3）甲和丁同时被选到的概率 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，根据树状图求概率． （1）先计算出总人数，再计算出B组和C组人数，即可补全条形统计图； （2）用全校人数乘以最喜欢手工活动的人数所占百分比，即可求解； （3）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数：（人）， C组人数：（人）， B组人数：（人）， 【小问2详解】 解：（人）， 故答案为：1200； 【小问3详解】 解：画出树状图如图所示： 由图可知，一共有12种情况，甲和丁同时被选到的有2种情况， ∴甲和丁同时被选到的概率． 20. 如图，已知点是的边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形为矩形； （3）在（2）条件下，当再满足条件时，四边形为正方形． 【答案】（1） 在中，，， ∴ ， ∵ E为的中点 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （3）添加条件：． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，平行四边形、矩形、正方形的证明，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的性质可得到，从而可得到，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是的中点，从而可根据“”来判定，得到，从而根据“一组对边平行且相等是四边形是平行四边形”得证四边形是平行四边形； （2）根据全等三角形的对应边相等可证得，从而，由得，从而，得证是矩形； （3）矩形要想成为正方形，只需要一组邻边相等即可，由此可添另条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当为等腰三角形，即时，矩形为正方形． 21. 已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． （1）试说明：无论取何值方程总有两个实数根； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】（1） 证明：方程， ， 无论取何值方程总有两个实数根； （2）2 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出的值是解题关键． （1）利用根的判别式求出的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， 方程为， ， 即菱形的边长为2． 22. 如图，在四边形中， 为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接，使得平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）当四边形是矩形时，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为对角线的中点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）的长为3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，可得平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 解得 ． 故的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 23. 某超市销售一种饮料， 每瓶进价为元，当每瓶售价元时，日均销售量瓶.经市场调查表明，每瓶售价每增加元，日均销售量减少瓶. （1）当每瓶售价为元时，日均销售量为 瓶； （2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为元； （3）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）元或元；（3）元时利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】（1）当每瓶售价为元时，每瓶售价增加1元，日均销售量减少80瓶，即可求解. （2）设每瓶售价为x元，根据题意表示出每瓶利润，日销售量，根据等量关系列方程解答即可. （3）设每瓶售价为a元，日均总利润为y元，求出y关于a的函数表达式，配方即可求解. 【详解】（1）当每瓶售价为元时，每瓶售价增加1元，日均销售量减少80瓶，560-80=480瓶 故答案为：480 （2）设每瓶售价为x元时，所得日均总利润为元，根据题意得： 解得：x1=12，x2=14 答：当每瓶的售价为12元或14元时，所得日均总利润为元. （3）设每瓶售价为a元，日均总利润为y元，根据题意得： 答：每瓶售价为13元时利润最大，最大利润1280元. 【点睛】本题考查的是一元二次方程及二次函数的利润问题，解题关键在于对利润问题中等量关系的把握，由于计算量颇大，所以计算时要细心，避免出错. 24. 在矩形中，，，点E是的中点，点F是射线边上一动点，连接，交于点P． （1）如图1，连接，过点D作交于点Q． ①求证：； ②求证：； ③若，求的长； （2）如图2，延长交的延长线于点G，在点F运动的过程中，交于点H，使，求的值． 【答案】（1） ①证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ； ②证明：由①得：， ， 点E是的中点， ， ， ③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识； （1）①可证，，从而得， ②根据，得出，进一步的出结果； ③可证，从而得，进而证明，从而得，进一步的出结果； （2）作于Q，根据四边形是矩形，可得出 ，从而得出，进而得出、、进而得出，根据可得，进一步得出结果． 【小问1详解】 ①略 ②略 ③四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 作于Q， 四边形是矩形， ， ，点E是的中点， ， 中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $