专题 与线段有关的计算问题（35题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级上册数学《第4章 基本平面图形》 专题 与线段有关的计算问题（解答题35题） （ 基础题＆提升题＆压轴题 ） 题型一 基础题 1．（2023秋•历下区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6且BC＝2AC，点M是线段AB的中点，求线段CM的长度． 2．（2023秋•闽清县期末）已知：如图，线段AB＝24，点C、D是线段AB的三等分点，点E是线段AB的中点．求线段CE的长． 3．（2023秋•定陶区期中）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点，若AM＝2厘米，BC＝8厘米，求MN的长度． 4．（2024春•桓台县期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．求线段BC，MN的长． 5．（2024春•莱芜区期末）如图，线段AB＝12，C是线段AB的中点，M是线段AB上的一点，AM＝8，N是线段BM的中点．求线段CN的长． 6．（2023秋•思明区校级期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，点E是线段AD的中点，AD＝12cm，CE＝2cm，求线段AB的长． 7．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，已知点C为AB上一点，AC＝30cm，，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长． 8．（2023春•栖霞市期末）如图，已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，满足BD：AB＝1：4，且点D，E分别是线段AC，AB的中点，若EC＝24，求线段AB和AC的长度． 9．（2023秋•垫江县期末）如图，点C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点． （1）如果AB＝30cm，AM＝8cm，求NC的长； （2）如果MN＝6cm，求AB的长． 10．（2023秋•肥西县期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21cm，BCAB． （1）试求出线段AC的长； （2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长． 11．（2023•克东县校级开学）如图，已知A、B、C、D、E五点在同一直线上，D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，线段AC＝12． （1）写出AC、DC、CB的数量关系； （2）求线段DE的长． 12．（2023秋•惠城区期末）已知点C是线段AB上一点，ACAB． （1）若AB＝60，求BC的长； （2）若AB＝a，D是AC的中点，E是BC的中点，请用含a的代数式表示DE的长，并说明理由． 题型二 提升题 13．（2024春•泰山区期末）如图，已知线段AB和CD的公共部分，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，AC的长． 14．（2023秋•路桥区期末）如图，C是线段AB上的一点，且AB＝8，AC＝3BC，D为AB的中点，E为BC的中点． （1）线段BC的长为 　 　； （2）求线段DE的长． 15．（2022秋•玉环市期末）如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，AB＝12，CD＝4BD． （1）若BC＝15，求AD的长； （2）若AB＝2BD，E为AC的中点，求BE的长． 16．（2023秋•海珠区期末）如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长． 17．（2023秋•化州市期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BD＝2cm． （1）求AC的长． （2）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长． 18．（2023秋•仓山区期末）如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC：CB＝1：4，AC＝12cm． （1）求AB的长； （2）若F为CB的中点，求EF长． 19．（2023秋•锡山区期末）已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段AB上． （1）如图，若线段AB＝24，点C是线段AB的中点，，求线段CD的长度； （2）若线段AB＝21a，点C是线段AB上一点，且满足 AC＝2BC，AD：BD＝3：4，求线段CD的长度（用含a的式子表示）． 20．（2023秋•河东区校级期末）如图，线段AB＝20，BC＝14，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝3：4．求MN的长． 21．（2023秋•九江期末）如图，点C、D为线段AB上两点，点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点． （1）若AB＝14cm．CD＝4cm．求AC+BD的长及MN的长． （2）若AB＝a，CD＝b．直接用含a、b的式子表示MN的长． 22．（2023秋•姜堰区期末）如图，点M，C、N在线段AB上，给出下列三个条件：①AMAC、②BNBC、③MNAB． （1）如果 　 　，那么 　 　．（从上述三个条件中任选两个作为条件，余下的一个作为结论，填序号，完成上面的填空，并说明结论成立的理由．） （2）在（1）的条件下，若AM＝3cm，MN＝5cm，求线段BN的长． 23．（2024春•双流区校级月考）如图，线设AB＝18，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． （1）如图①，求线段AD的长； （2）如图②，点N是线段AC上的一点，且满足NC：AN＝3：1，求DN的长度． 24．（2024春•烟台期末）如图，点C在线段AB的延长线上，，点D在AB的反向延长线上，． （1）设线段AB长为x，请用含x的代数式表示BC和AD的长； （2）设AB＝12cm，求线段CD的长． 25．（2023秋•黄石港区期末）如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝12，AC＝4CD． （1）求AC的长； （2）若点E在直线AB上，且AE＝3，求DE的长． 题型二 压轴题 26．（2022秋•温州期末）如图，线段AB＝10，C为AB延长线上的一点，D是线段AC中点，且点D不与点B重合． （1）当BC＝6时，求线段BD的长． （2）若线段BD＝4，求线段BC的长． 27．（2023春•福山区期中）如图，已知线段AB＝18cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若点C恰好是AB中点，则DE＝　 　cm； （2）若AC＝8cm，求DE的长； （3）说明不论AC取何值（不超过18cm），DE的长不变． 28．（2023秋•自贡期末）如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，M，N分别是AB，CD的中点． （1）如果MB＝2cm，NC＝1.8cm，BC＝5cm，则AD的长为　 　cm； （2）如果MN＝10cm，BC＝6cm，则AD的长为　 　cm； （3）如果MN＝a，BC＝b，求AD的长，并说明理由． 29．（2023秋•凉州区期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t＝2时，①AB＝　 　cm．②求线段CD的长度． （2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长． （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 30．在数轴上，点O为原点，点A表示的数为9，动点B，C在数轴上移动（点C在点B右侧），总保持BC＝n（n大于0且小于4.5），设点B表示的数为m． （1）如图1，当动点B，C在线段OA上移动时， ①若n＝2，且B为OA中点时，则点C表示的数为 　 ； ②若AC＝OB，求多项式4m+2n﹣20的值； （2）当线段BC在射线AO上移动时，且AC﹣OBAB，用含n的式子表示m． 31．（2023秋•桥西区期中）如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点． （1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝5cm，则线段AB的长 　 　cm，线段MN的长 　 cm； （2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长； （3）若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝a，直接写出线段MN的长． 32．（2023秋•渝北区期末）如图1，点A，C在射线OM上，OA＝10cm，AC＝35cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度向右匀速运动，点Q从点C出发，在线段CO上向左匀速运动，两点同时出发． （1）若点Q运动速度为8cm/s，当点P和点Q都运动到线段OA上，且点Q恰好为线段PA的中点时，求点Q运动的时间； （2）如图2，若点B也为射线OM上一点，且AB＝30cm，当PA＝2PB时，点Q运动到线段AB上且恰好满足，求点Q的运动速度． 33．（2024秋•吴中区校级月考）如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）直尺AB的长为 　 　个单位长度； （2）若直尺AB在数轴上O、C间，且B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍，求此时A点对应的数； （3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以1个单位秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值； ②当t＝10时，B、P、C三个点互不重合，且恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 34．（2023秋•义乌市期末）【问题探究】 （1）如图，点C，D均在线段AB上且点C在点D左侧，若AC＝BD，CD＝6cm，AB＝9cm，则线段AC的长为 　 　cm． 【方法迁移】 （2）已知点C，D均在线段AB上，若AC＝BD，CD＝a cm，AB＝b cm（b＞a），则线段AC的长 　　cm．（用含a，b的代数式表示） 【学以致用】 （3）已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数有n人（n＜m），其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女生是女生总人数的，求m与n的数量关系．小聪同学在思考这个问题时联想到了上面的几何问题，并将这个实际问题转化为几何模型来解决，请你建立这个几何模型并求解．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义） 35．（2023秋•东阳市期末）如图①，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在射线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且|m﹣14|+（7﹣n）2＝0 （1）若BC＝4，求AD的长． （2）当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段AD，BC的中点，求MN的长． （3）当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级上册数学《第4章 基本平面图形》 专题 与线段有关的计算问题（解答题35题） （ 基础题＆提升题＆压轴题 ） 题型一 基础题 1．（2023秋•历下区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6且BC＝2AC，点M是线段AB的中点，求线段CM的长度． 【分析】先根据AC＝6且BC＝2AC求出线段AB的长度，然后根据线段中点的定义求出AM的长，最后用AM减去AC即可求出线段CM的长． 【解答】解：∵AC＝6，BC＝2AC， ∴BC＝12，AB＝18， ∵点M是线段AB的中点， ∴AMAB＝9， ∴CM＝AM﹣AC＝9﹣6＝3． 【点评】本题主要考查线段的和差倍分以及线段中点定义，熟练掌握线段的和差倍分的计算方法是解决问题的关键． 2．（2023秋•闽清县期末）已知：如图，线段AB＝24，点C、D是线段AB的三等分点，点E是线段AB的中点．求线段CE的长． 【分析】先利用线段中点的定义得到AE＝12，利用线段三等份的定义得到AC＝8，于是可得CE＝4． 【解答】解：∵点C、D是线段AB的三等分点， ∴ACAB8， ∵点E是线段AB的中点， ∴AEAB12， ∴CE＝AE﹣AC＝12﹣8＝4． 【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 3．（2023秋•定陶区期中）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点，若AM＝2厘米，BC＝8厘米，求MN的长度． 【分析】先根据线段中点的定义得到CM＝AM＝2厘米，厘米，再根据相等的和差关系进行求解即可． 【解答】解：∵M是AC的中点，AM＝2厘米， ∴CM＝AM＝2厘米， ∵N是BC的中点，BC＝8厘米， ∴CN＝BC＝4厘米， ∴MN＝CM+CN＝6厘米． 【点评】本题主要考查了与线段中点有关的计算， 4．（2024春•桓台县期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．求线段BC，MN的长． 【分析】根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 【解答】解：∵M是AC的中点，AC＝6cm， ∴MC＝AMAC＝3cm， ∴BC＝MB﹣MC ＝10﹣3 ＝7（cm）， 又∵N为BC的中点， ∴CNBC＝3.5cm， ∴MN＝MC+NC＝6.5cm． 【点评】本题考查两点之间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系是正确解答的关键． 5．（2024春•莱芜区期末）如图，线段AB＝12，C是线段AB的中点，M是线段AB上的一点，AM＝8，N是线段BM的中点．求线段CN的长． 【分析】根据线段中点的定义，结合图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 【解答】解：∵AB＝12，C是线段AB的中点， ∴AC＝BCAB＝6， 又∵AM＝8， ∴BM＝AB﹣AM＝12﹣8＝4， ∵N是线段BM的中点． ∴BN＝MNBM＝2， ∴CN＝BC﹣BN＝6﹣2＝4． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握相等中点的定义是正确解答的关键． 6．（2023秋•思明区校级期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，点E是线段AD的中点，AD＝12cm，CE＝2cm，求线段AB的长． 【分析】根据点E是线段AD的中点，AD＝12cm，先求出AE，进而求出AC，根据点C是线段AB的中点求出AB即可． 【解答】解：∵E是线段AD的中点， ∴AE， ∵AD＝12cm， ∴AE6（cm）， ∵CE＝2cm， ∴AC＝AE+CE＝6+2＝8（cm）， ∵点C是线段AB的中点， ∴AB＝2AC＝2×8＝16（cm）， 即线段AB的长为16cm． 【点评】本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，已知点C为AB上一点，AC＝30cm，，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长． 【分析】根据题意求出BC，进而求出AB，再根据线段中点的定义计算即可． 【解答】解：∵BCAC，AC＝30cm， ∴BC30＝12cm， ∴AB＝AC+BC＝30+12＝42（cm）， ∵E为AB的中点， ∴AEAB＝21cm， ∵D为AC的中点， ∴ADAC＝15cm， ∴DE＝AE﹣AD＝21﹣15＝6（cm）． 【点评】本题考查的是两点间的距离、线段中点的定义，熟记线段中点的定义是解题的关键． 8．（2023春•栖霞市期末）如图，已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，满足BD：AB＝1：4，且点D，E分别是线段AC，AB的中点，若EC＝24，求线段AB和AC的长度． 【分析】设BD＝x，得到AB＝4BD＝4x，根据线段中点的定义得到BE＝AEAB4x＝2x，求得AD＝3x，得到AC＝2AD＝6x，于是得到结论． 【解答】解：设BD＝x， ∵BD：AB＝1：4， ∴AB＝4BD＝4x， ∵点E是线段AB的中点， ∴BE＝AEAB4x＝2x， ∴DE＝x， ∴AD＝3x， ∵点D是线段AC的中点， ∴AC＝2AD＝6x， ∴CE＝AC﹣AE＝6x﹣2x＝24， 解得：x＝6， ∴AB＝4x＝4×6＝24，AC＝6x＝6×6＝36． 【点评】本题综合考查了两点间的距离，线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法． 9．（2023秋•垫江县期末）如图，点C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点． （1）如果AB＝30cm，AM＝8cm，求NC的长； （2）如果MN＝6cm，求AB的长． 【分析】（1）根据M是AC的中点，有AC＝2AM，再根据BC＝AB﹣AC即可求解； （2）根据M是AC的中点，N是BC的中点，可得AB＝AC+BC＝2MN，即可求解． 【解答】解：（1）∵点M是线段AC的中点，AM＝8cm， ∴AC＝2AM＝16cm． ∵AB＝30cm， ∴BC＝AB﹣AC＝30﹣16＝14（cm）． ∵点N是线段BC的中点， ∴； （2）∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，MN＝6cm， ∴，， ∴， ∴AB＝12（cm）． 【点评】本题考查了线段中点有关的计算以及线段之间的数量关系等知识，理清线段之间的数量关系是解答本题的关键． 10．（2023秋•肥西县期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21cm，BCAB． （1）试求出线段AC的长； （2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长． 【分析】（1）由B在线段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝21cm，BCAB代入即可得到答案； （2）根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO﹣BC即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AB＝21cm，BCAB＝7cm， ∴AC＝AB+BC＝21+7＝28（cm）； （2）由（1）知：AC＝28cm， ∵点O是线段AC的中点， ∴COAC28＝14（cm）， ∴OB＝CO﹣BC＝14﹣7＝7（cm）． 【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键． 11．（2023•克东县校级开学）如图，已知A、B、C、D、E五点在同一直线上，D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，线段AC＝12． （1）写出AC、DC、CB的数量关系； （2）求线段DE的长． 【分析】（1）根据线段的中点求出AD＝BD，CE＝BE，BC＝2CE，求出AC＝AD+DC＝2CE+2CD即可； （2）根据（1）得出AC＝2CE+2CD＝12，再求出CE+CD即可． 【解答】解：（1）∵D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点， ∴AD＝BD，CE＝BE，BC＝2CE， ∴AC＝AD+DC ＝BD+DC ＝BE+CE+DC+DC ＝2CE+2CD ＝CB+2CD， 即AC、DC、CB的数量关系是AC＝CB+2CD； （2）由（1）知：AC＝2CE+2CD＝12， 所以CE+CD＝6， 即DE＝CE+CD＝6． 【点评】本题考查了两点间的距离，能求出AC＝2CE+2CD是解此题的关键． 12．（2023秋•惠城区期末）已知点C是线段AB上一点，ACAB． （1）若AB＝60，求BC的长； （2）若AB＝a，D是AC的中点，E是BC的中点，请用含a的代数式表示DE的长，并说明理由． 【分析】（1）首先根据AB＝60，ACAB，求出AC的长度是多少；然后用AB的长减去AC的长，求出BC的长是多少即可． （2）首先根据D是AC的中点，E是BC的中点，可得：DCAC，CEBC，推得DEAB；然后根据AB＝a，用含a的代数式表示DE的长即可． 【解答】解：（1）∵AB＝60，， ∴， ∴BC＝AB﹣AC＝60﹣20＝40． （2）如图，， ∵D是AC的中点，E是BC的中点， ∴，， ∴DE＝DC+CEACBC（AC+BC）ABa． 【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握． 题型二 提升题 13．（2024春•泰山区期末）如图，已知线段AB和CD的公共部分，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，AC的长． 【分析】设BD＝x cm，则AB＝3x cm，CD＝4x cm，则AC＝6x cm．根据线段中点的定义可得出 cm， cm．再根据EF＝2.5x cm，即可得出关于x的一元一次方程，求解即可得出BD的值，进一步即可得出答案． 【解答】解：设BD＝x cm，则AB＝3x cm，CD＝4x cm，则AC＝6x cm． ∵点E、点F分别为AB、CD的中点， ∴ cm， cm． ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6x﹣1.5x﹣2x＝2.5x cm． ∵EF＝10cm， ∴2.5x＝10， 解得：x＝4． ∴AB＝12cm，AC＝24cm． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，关键是注意运用数形结合思想和方程思想． 14．（2023秋•路桥区期末）如图，C是线段AB上的一点，且AB＝8，AC＝3BC，D为AB的中点，E为BC的中点． （1）线段BC的长为 　 　； （2）求线段DE的长． 【分析】（1）根据AC+BC＝AB，AB＝8，AC＝3BC得3BC+BC＝8，据此可得BC的长； （2）根据AB＝8，D为AB的中点得DBAB＝4，再由（1）可知BC＝2，则DC＝DB﹣BC＝2，然后根据E为BC的中点得CEBC＝1，由此可得DE的长． 【解答】解：（1）∵C是线段AB上的一点， ∴AC+BC＝AB， 又∵AB＝8，AC＝3BC， ∴3BC+BC＝8， ∴BC＝2， 故答案为：2． （2）∵AB＝8，D为AB的中点， ∴DBAB＝4， 由（1）可知：BC＝2， ∴DC＝DB﹣BC＝4﹣2＝2， 又∵E为BC的中点， ∴CEBC＝1， ∴DE＝DC+CE＝3． 【点评】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键． 15．（2022秋•玉环市期末）如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，AB＝12，CD＝4BD． （1）若BC＝15，求AD的长； （2）若AB＝2BD，E为AC的中点，求BE的长． 【分析】（1）根据BC＝5BD，可求得BD＝3，据此即可求得答案； （2）先求得BD＝6，进而可求得AC＝42，根据线段中点的定义，可求得AE＝21． 【解答】解：（1）∵DC＝4BD， ∴BC＝5BD． ∵BC＝15， ∴BD＝3． ∵AB＝12， ∴AD＝AB+BD＝15． （2）∵AB＝2BD＝12， ∴BD＝6． ∵DC＝4BD＝24， ∴AC＝AB+BD+CD＝42． ∵E是AC的中点， ∴． ∴BE＝AE﹣AB＝9． 【点评】本题主要考查线段和线段的中点，正确记忆相关知识点是解题关键． 16．（2023秋•海珠区期末）如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长． 【分析】（1）根据图示知AMAC，AC＝AB﹣BC； （2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC． 【解答】解：（1）线段AB＝20，BC＝15， ∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5． 又∵点M是AC的中点． ∴AMAC5，即线段AM的长度是． （2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3， ∴CNBC15＝6． 又∵点M是AC的中点，AC＝5， ∴MCAC， ∴MN＝MC+NC，即MN的长度是． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质． 17．（2023秋•化州市期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BD＝2cm． （1）求AC的长． （2）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长． 【分析】（1）根据AC＝AD﹣CD＝AC﹣2BC，即可求出答案； （2）分点E在A的左边和右边两种情形求解即可． 【解答】解：（1）∵点B为CD的中点， ∴CB＝BD＝2cm， ∴CD＝BC+BD＝4cm， ∴AC＝AD﹣CD＝9﹣4＝5cm， 答：AC的长为5cm． （2）AB＝AC+BC＝7cm，EA＝3cm， 当点E在线段AD上时， BE＝AB﹣AE＝7﹣3＝4cm， 当点E在线段DA的延长线上时， BE＝AB+AE＝7+3＝10cm． 答：BE的长为4cm或10cm． 【点评】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解答本题的关键． 18．（2023秋•仓山区期末）如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC：CB＝1：4，AC＝12cm． （1）求AB的长； （2）若F为CB的中点，求EF长． 【分析】（1）由线段的和差倍分，线段的中点，方程解得AB的长20cm； （2）由线段的中点，线段的和差计算出EF长为6cm． 【解答】解：如图所示： （1）设EC的长为x， ∵EC：CB＝1：4， ∴BC＝4x， 又∵BE＝BC+CE， ∴BE＝5x， 又∵E为线段AB的中点， ∴AE＝BE， ∴AE＝5x， 又∵AC＝AE+EC，AC＝12cm， ∴6x＝12， 解得：x＝2， ∴AB＝10x＝20cm； （2）∵F为线段CB的中点， ∴， 又∵EF＝EC+CF ∴EF＝3x＝6cm． 【点评】本题综合考查了线段的和差倍分，线段的中点等知识点，重点掌握两点间距离计算方法． 19．（2023秋•锡山区期末）已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段AB上． （1）如图，若线段AB＝24，点C是线段AB的中点，，求线段CD的长度； （2）若线段AB＝21a，点C是线段AB上一点，且满足 AC＝2BC，AD：BD＝3：4，求线段CD的长度（用含a的式子表示）． 【分析】（1）根据线段中点的定义得到AC＝BC12，于是得到CDBC12＝3； （2）根据AB＝21a，AD：BD＝3：4，得到AD＝9a，BD＝12a，求得AC＝14a，BC＝7a，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵线段AB＝24，点C是线段AB的中点， ∴AC＝BC12， ∵， ∴CDBC12＝3； （2）∵点D在线段AB上，AB＝21a，AD：BD＝3：4， ∴AD＝9a，BD＝12a， ∵AB＝21a，AC＝2BC， ∴AC＝14a，BC＝7a， ∴CD＝AC﹣AD＝14a﹣9a＝5a； 故线段CD的长度为5a． 【点评】本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点、三等分点的概念是解题的关键． 20．（2023秋•河东区校级期末）如图，线段AB＝20，BC＝14，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝3：4．求MN的长． 【分析】（1）根据图示知AMAC，AC＝AB﹣BC； （2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC． 【解答】解：（1）线段AB＝20，BC＝14， ∴AC＝AB﹣BC＝20﹣14＝6． 又∵点M是AC的中点． ∴AMAC6＝3，即线段AM的长度是3． （2）∵BC＝14，CN：NB＝3：4， ∴CNBC14＝6． 又∵点M是AC的中点，AC＝6， ∴MCAC＝3， ∴MN＝MC+NC＝9，即MN的长度是9． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质． 21．（2023秋•九江期末）如图，点C、D为线段AB上两点，点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点． （1）若AB＝14cm．CD＝4cm．求AC+BD的长及MN的长． （2）若AB＝a，CD＝b．直接用含a、b的式子表示MN的长． 【分析】（1）已知AB＝14cm，CD＝4cm，可得AC+BD的长，因为点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点，所以CM+DN（AC+BD），因为MN＝MC+CD+DN，可得MN的长； （2）已知AB＝a，CD＝b，可得AC+BD的长，因为点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点，所以CM+DN（AC+BD），因为MN＝MC+CD+DN，可得MN的长． 【解答】解：（1）∵AB＝14cm，CD＝4cm， ∴AC+BD＝10cm， ∵点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点， ∴CM+DN（AC+BD）＝5cm， ∵MN＝MC+CD+DN， ∴MN＝9cm； （2）∵AB＝a，CD＝b， ∴AC+BD＝a﹣b， ∵点M为线段AC的中点，点N为线段BD的中点， ∴CM+DN（AC+BD）（a﹣b）， ∵MN＝MC+CD+DN， ∴MN（a+b）． 【点评】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． 22．（2023秋•姜堰区期末）如图，点M，C、N在线段AB上，给出下列三个条件：①AMAC、②BNBC、③MNAB． （1）如果 　 　，那么 　 　．（从上述三个条件中任选两个作为条件，余下的一个作为结论，填序号，完成上面的填空，并说明结论成立的理由．） （2）在（1）的条件下，若AM＝3cm，MN＝5cm，求线段BN的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义以及线段和差关系，即可求解； （2）设BN＝xcm，根据题意，列方程求解即可． 【解答】解：（1）如果，，那么； 证明：，， 则，， ∴， 故答案为：①②，③； （2）设BN＝x cm， ∵， ∴BC＝2BN＝2x cm， ∵AM＝3cm，， ∴AC＝2AM＝6cm， 则AB＝AC+BC＝（6+2x）cm， 由（1）可得，， 解得x＝2cm， 即线段BN的长为2cm． 【点评】此题考查了线段的中点以及线段的和差计算，解题的关键是理解题意，找到线段之间的关系，正确列出方程． 23．（2024春•双流区校级月考）如图，线设AB＝18，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． （1）如图①，求线段AD的长； （2）如图②，点N是线段AC上的一点，且满足NC：AN＝3：1，求DN的长度． 【分析】（1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝BCAB＝9， 又∵点D是线段BC的中点， ∴CD＝BDBC， ∴AD＝AC+CD ＝9 ； （2）∵NC：AN＝3：1， ∴NCAC， ∴DN＝NC+CD ． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． 24．（2024春•烟台期末）如图，点C在线段AB的延长线上，，点D在AB的反向延长线上，． （1）设线段AB长为x，请用含x的代数式表示BC和AD的长； （2）设AB＝12cm，求线段CD的长． 【分析】（1）根据AC＝AB+BC和ACBC求出BC，根据BDDC、CD＝BD+BC和BD＝AD+AB求出AD即可； （2）根据CD＝AD+AB+BC和AB＝x＝12cm计算即可． 【解答】解：（1）AC＝AB+BC， ∵ACBC，AB＝x， ∴BC＝x+BC， ∴BCx； ∵BDDC，CD＝BD+BC， ∴2BD＝3BC， ∵BD＝AD+AB， ∴2（AD+AB）＝3BC，即2（AD+x）x， ∴ADx． （2）∵AB＝x＝12cm， ∴CD＝AD+AB+BC x+xx x 12 ＝45（cm）． 【点评】本题考查两点间的距离、列代数式，找到线段之间的关系是解题的关键． 25．（2023秋•黄石港区期末）如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝12，AC＝4CD． （1）求AC的长； （2）若点E在直线AB上，且AE＝3，求DE的长． 【分析】（1）根据线段中点的性质，可用CD表示BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，AC的长； （2）分类讨论：点E在线段AB上，点E在线段BA的延长线上，根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：（1）由点D为BC的中点，得BC＝2CD＝2BD， 由线段的和差，得AB＝AC+BC＝4CD+2CD＝12， 解得：CD＝2， ∴AC＝4CD＝4×2＝8； （2）①当点E在线段AB上时， 由线段的和差，得DE＝AB﹣AE﹣DB＝12﹣3﹣2＝7， ②当点E在线段BA的延长线上， 由线段的和差，得DE＝AB+AE﹣BD＝12+3﹣2＝13． 综上所述：DE的长为7或13． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差；分类讨论是解题关键． 题型二 压轴题 26．（2022秋•温州期末）如图，线段AB＝10，C为AB延长线上的一点，D是线段AC中点，且点D不与点B重合． （1）当BC＝6时，求线段BD的长． （2）若线段BD＝4，求线段BC的长． 【分析】（1）如图1，根据线段的和差得到AC＝AB+BC＝16，根据线段中点的定义即可得到结论； （2）当点D在B的右侧时，如图2，AD＝AB+BD＝10+4＝14，当点D在B的左侧时，如图3，AD＝AB﹣BD＝10﹣4＝6，根据线段中点的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1， ∵AB＝10，BC＝6， ∴AC＝AB+BC＝16， ∵D是线段AC中点， ∴ADAC＝8， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣8＝2； （2）当点D在B的右侧时，如图2，AD＝AB+BD＝10+4＝14， ∵D是线段AC中点， ∴AD＝CD＝14， ∴BC＝BD+CD＝4+14＝18； 当点D在B的左侧时，如图3，AD＝AB﹣BD＝10﹣4＝6， ∵D是线段AC中点， ∴AD＝CD＝6， ∴BC＝CD﹣BD＝6﹣4＝2， 综上所述，线段BC的长为18或2． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质，分类讨论是解题关键，以防遗漏． 27．（2023春•福山区期中）如图，已知线段AB＝18cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若点C恰好是AB中点，则DE＝　 　cm； （2）若AC＝8cm，求DE的长； （3）说明不论AC取何值（不超过18cm），DE的长不变． 【分析】（1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算； （3）同（1）的解法相同． 【解答】解：（1）∵点D，E分别是AC和BC的中点， ∴DCAC，CECB， ∴DC+CE（AC+CB）＝9cm； 故答案为：9； （2）∵AC＝8cm， ∴CD＝4cm， ∵AB＝18cm，AC＝8cm， ∴BC＝10cm， ∴CE＝5cm，DE＝DC+CE＝4+5＝9（cm）； （3）∵点D，E分别是AC和BC的中点， ∴DCAC，CECB， ∴DC+CE（AC+CB）， 即DEAB＝9cm， 故无论AC取何值（不超过18cm），DE的长不变． 【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． 28．（2023秋•自贡期末）如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，M，N分别是AB，CD的中点． （1）如果MB＝2cm，NC＝1.8cm，BC＝5cm，则AD的长为　 　cm； （2）如果MN＝10cm，BC＝6cm，则AD的长为　 　cm； （3）如果MN＝a，BC＝b，求AD的长，并说明理由． 【分析】（1）根据线段的和，可得（MB+CN）的长，根据线段中点的性质，可得AB与MB的关系，CD与CN的关系，根据线段的和，可得答案； （2）先根据线段的和与差，计算出BM+CN的长，再根据线段中点的性质，可得AB与MB的关系，CD与CN的关系，根据线段的和，可得答案； （3）根据（2）的解题过程，即可解答． 【解答】解：（1）∵MB＝2cm，NC＝1.8cm， ∴MB+NC＝3.8， ∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB＝2BM，CD＝2CN， ∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）＝7.6， ∴AD＝AB+CD+BC＝7.6+5＝12.6（cm）， 故答案为：12.6； （2）∵MN＝10cm，BC＝6cm， ∴BM+CN＝MN﹣BC＝10﹣6＝4， ∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB＝2BM，CD＝2CN， ∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）＝8， ∴AD＝AB+CD+BC＝8+6＝14（cm）， 故答案为：14； （3）∵MN＝a，BC＝b， ∴BM+CN＝a﹣b， ∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB＝2BM，CD＝2CN， ∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）， ∴AB+CD＝2（a﹣b）， ∵AD＝AB+CD+BC， ∴AD＝2（a﹣b）+b＝2a﹣2b+b＝2a﹣b． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出（MB+CN）的长，利用线段中点的性质，得出AB＝2MB，CD＝2CN． 29．（2023秋•凉州区期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t＝2时，①AB＝　 　cm．②求线段CD的长度． （2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长． （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【分析】（1）①根据AB＝2t即可得出结论； ②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长； （2）分类讨论； （3）直接根据中点公式即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动， ∴当t＝2时，AB＝2×2＝4cm． 故答案为：4； ②∵AD＝10cm，AB＝4cm， ∴BD＝10﹣4＝6cm， ∵C是线段BD的中点， ∴CDBD6＝3cm； （2）∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动， ∴当0≤t≤5时，AB＝2t； 当5＜t≤10时，AB＝10﹣（2t﹣10）＝20﹣2t； （3）不变． ∵AB中点为E，C是线段BD的中点， ∴EC（AB+BD） AD 10 ＝5cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． 30．在数轴上，点O为原点，点A表示的数为9，动点B，C在数轴上移动（点C在点B右侧），总保持BC＝n（n大于0且小于4.5），设点B表示的数为m． （1）如图1，当动点B，C在线段OA上移动时， ①若n＝2，且B为OA中点时，则点C表示的数为 　 ； ②若AC＝OB，求多项式4m+2n﹣20的值； （2）当线段BC在射线AO上移动时，且AC﹣OBAB，用含n的式子表示m． 【分析】（1）①运用两点间的距离公式求解；②根据AC＝OB得到2m+n＝9，然后整体代入求值； （2）分类讨论：点C在线段OB上和点C在线段AB上两种情况． 【解答】解：（1）①∵点A表示的数为9，B为OA中点， ∴OB＝4.5， ∵BC＝2， ∴OC＝4.5+2＝6.5， 故答案为：6.5； ②∵OA＝9， ∴OB+BC+CA＝9． 又∵AC＝OB， ∴2OB+BC＝9． ∴2m+n＝9． ∴4m+2n﹣20＝2（2m+n）﹣20＝﹣2； （2）如图1， 当点B位于原点左侧时，由题意，得： 9﹣（m+n）+m（9﹣m）． 解得：m＝2n﹣9． 如图2， 当点B位于原点右侧时，由题意，得： 9﹣（m+n）﹣m（9﹣m）． 解得：m＝3n； 综上可知，m＝3n或2n﹣9． 【点评】本题主要考查了列代数式和数轴，解题的关键是找到等量关系，列出代数式，注意运用分类讨论的数学思想解答（2）题． 31．（2023秋•桥西区期中）如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点． （1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝5cm，则线段AB的长 　 　cm，线段MN的长 　 cm； （2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长； （3）若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝a，直接写出线段MN的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义得AB＝2AP，AP＝2MP，进而得出AB＝4MP，然后再根据MP＝5cm可得线段AB的长；根据线段中点的定义得AP＝BP，MPAP，NPBP，进而得MP＝NP，则MN＝MP+NP＝2MP，然后根据MP＝5cm可得出MN的长； （2）根据线段中点的定义得MPAP，NPBP，进而得MP+NP（AP+BP）AB，然后根据MN＝MP+NP可得出MNAB，由此可得线段MN的长； （3）由（2）即可得出线段MN的长． 【解答】解：（1）∵点P是线段AB的中点， ∴AB＝2AP， ∵点M是AP的中点， ∴AP＝2MP， ∴AB＝4MP， 又∵MP＝5cm， ∴AB＝20cm； ∵点P是线段AB的中点， ∴AP＝BP， ∵点M、N分别是线段AP、PB的中点， ∴MPAP，NPBP， ∴MP＝NP， ∴MN＝MP+NP＝2MP， 又∵MP＝5cm， ∴MN＝10cm； 故答案为：20，10． （2）点M、N分别是线段AP、PB的中点， ∴MPAP，NPBP， ∴MP+NP（AP+BP）AB， 又∵MN＝MP+NP，AB＝12cm， ∴MNAB12＝6（cm）， （3）∵点P是直线AB上的任意一点， ∴有以下三种情况， ①当点P在线段AB上时，由（2）可知：MNAB； ②点P在AB的延长线上时，如图1所示： ∵点M、N分别是线段AP、PB的中点， ∴PMAP（AB+BP），PPNBP， ∴MN＝PM﹣PN（AB+BP）BPAB； ③当点P在BA的延长线上时，如图2所示： ∵点M、N分别是线段AP、PB的中点， ∴PMAP，NPBP（AB+AP）， ∴MN＝NP﹣PM（AB+AP）APAB． 综上所述：点P是直线AB上的任意一点，线段MN． 【点评】此题主要考查了线段中点的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握线段中点的定义是解决问题的关键． 32．（2023秋•渝北区期末）如图1，点A，C在射线OM上，OA＝10cm，AC＝35cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度向右匀速运动，点Q从点C出发，在线段CO上向左匀速运动，两点同时出发． （1）若点Q运动速度为8cm/s，当点P和点Q都运动到线段OA上，且点Q恰好为线段PA的中点时，求点Q运动的时间； （2）如图2，若点B也为射线OM上一点，且AB＝30cm，当PA＝2PB时，点Q运动到线段AB上且恰好满足，求点Q的运动速度． 【分析】（1）设运动时间为t秒，表示出AQ和AP，根据列出方程，解之即可； （2）设点Q的运动速度为x cm/s，运动时间为t秒，分P在线段AB上和P在射线BM上两种情况，分别求解． 【解答】解：（1）设运动时间为t秒， 由题意可得： OP＝t，CQ＝8t， 则AQ＝CQ﹣AC＝8t﹣35，AP＝OA﹣OP＝10﹣t， ∴，即， 解得：， 即点Q运动的时间为； （2）设点Q的运动速度为x cm/s，运动时间为t秒， 当P在线段AB上时， t﹣10＝2（10+30﹣t）， 解得：t＝30， ∵， ∴， 解得：； 当P在射线BM上时， t﹣10＝2（t﹣10﹣30）， 解得：t＝70， ∵， ∴， 解得：； 综上：点Q的运动速度为或． 【点评】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程，数轴上两点之间的距离，解题的关键是能用未知数表示出相应线段的长度． 33．（2024秋•吴中区校级月考）如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． （1）直尺AB的长为 　 　个单位长度； （2）若直尺AB在数轴上O、C间，且B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍，求此时A点对应的数； （3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以1个单位秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值； ②当t＝10时，B、P、C三个点互不重合，且恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 【分析】（1）根据题意列代数式求解； （2）根据“B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍”列方程求解； （3）①根据“B、P、C三点恰好在同一时刻重合”列方程组求解； ②根据“恰好有一个点到另外两个点的距离相等”列方程求解． 【解答】解：（1）由题意得：AB＝OA＝BC60＝20， 故答案为：20； （2）设A点对应的数为x， 则：60﹣（x+20）＝4x， 解得：x＝8， 答：此时A点对应的数为8； （2）点B表示的数为28+t，点P表示的数为8+mt，点C表示的数为60， ①由题意得：28+t＝60且8+mt＝60， 解得：t＝32，m； ②当t＝10时，点B表示的数为38，点P表示的数为8+10m，点C表示的数为60， 由题意得：2（8+10m）＝38+60或2×38＝8+10m+60或2×60＝38+8+10m， 解得：m＝4.1或m＝0.8或m＝7.4． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系和两点之间的距离公式是解题的关键． 34．（2023秋•义乌市期末）【问题探究】 （1）如图，点C，D均在线段AB上且点C在点D左侧，若AC＝BD，CD＝6cm，AB＝9cm，则线段AC的长为 　 　cm． 【方法迁移】 （2）已知点C，D均在线段AB上，若AC＝BD，CD＝a cm，AB＝b cm（b＞a），则线段AC的长 　　cm．（用含a，b的代数式表示） 【学以致用】 （3）已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数有n人（n＜m），其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女生是女生总人数的，求m与n的数量关系．小聪同学在思考这个问题时联想到了上面的几何问题，并将这个实际问题转化为几何模型来解决，请你建立这个几何模型并求解．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义） 【分析】（1）先由CD＝6cm，AB＝9cm求出AC+BC＝3cm，再根据AC＝BD可得AC的长； （2）先根据CD＝a cm，AB＝b cm（b＞a），求出AC+BD＝b﹣a，再根据AC＝BD可得AC的长； （3）依题意画出线段图，根据线段图说明相应线段所表示的实际意义，然后根据线段的和差计算即可得出m和n的数量关系． 【解答】解：（1）∵CD＝6cm，AB＝9cm， ∴AC+BC＝AB﹣CD＝9﹣6＝3（cm）， ∵AC＝BD， ∴AC＝1.5cm， 故答案为：1.5． （2）∵点C，D均在线段AB上，且CD＝a cm，AB＝b cm（b＞a）， ∴有以下两种情况： ①当点C在点D左侧时，如图所示： ∴AC+BD＝AB﹣CD＝b﹣a， ∵AC＝BD， ∴AC， ②当点C在点D的右侧时，如图所示： ∴AC＝BD， ∴AC﹣CD＝BC﹣CD， ∴AD＝BC， ∵AD+BC+CD＝AB， ∴2AD+b＝a， ∴AD， ∴AC＝AD+CD． 综上所述：线段AC的长或． 故答案为：或． （3）如图所示： 线段AB表示七年级某班人数， 线段AD表示该班男生人数， 线段BD表示该班女生人数， 线段AC表示参加围棋课的男生人数， 线段CD表示未参加围棋课的男生人数， 线段BE表示参加围棋课的女生人数， 线段DE表示未参围棋课的女生人数， 设CD＝x，DE＝y， ∴AC＝2CD＝2x，BEBD＝2y， ∴AD＝AC+CD＝3x，BD＝BE+DE＝3y， ∵选择围棋课的人数有n人， ∴AC+BE＝n， 即2x+2y＝n， ∴x+y， 又∵七年级某班共有m人， ∴AB＝m， ∵AB＝AD+BD＝3x+3y， ∴3x+3y＝m， 即x+y， ∴， ∴． 【点评】此题主要考查了线段和差的计算，准确识图，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键． 35．（2023秋•东阳市期末）如图①，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在射线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且|m﹣14|+（7﹣n）2＝0 （1）若BC＝4，求AD的长． （2）当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段AD，BC的中点，求MN的长． （3）当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【分析】先根据非负数的性质求出m＝14，n＝7，则AB＝14，CD＝7． （1）若BC＝4，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则BD＝CD﹣BC＝3，根据AD＝AB+BD可得AD的长；②当点C在点B的右侧时，根据AD＝AB+BC+CD可得AD的长； （2）设BC＝a，则AD＝AB+BC+CD＝21+a，根据线段中点定义得，AMAD（21+a），BNBCa，从而得BM＝AM﹣AB（a﹣7），由此可得MN的长； （3）设PB＝t，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段AB上，再根据点P在线段AB的延长线上画出图形，结合图形得PA＝14+t，PC＝7+t，则PA+PB＝2（7+t），据此可得出结论． 【解答】解：∵|m﹣14|≥0，（7﹣n）2≥0，|m﹣14|+（7﹣n）2＝0， ∴m﹣14＝0，7﹣n＝0， 解得：m＝14，n＝7， ∴AB＝m＝14，CD＝n＝7， （1）若BC＝4，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ∵AB＝14，CD＝7，BC＝4， ∴BD＝CD﹣BC＝7﹣4＝3， ∴AD＝AB+BD＝14+3＝17； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ∵AB＝14，CD＝7，BC＝4， ∴AD＝AB+BC+CD＝14+4+7＝25； 综上所述：线段AD的长为17或25． （2）设BC＝a，如图2所示： ∴AD＝AB+BC+CD＝14+a+7＝21+a， ∵点M，N分别是线段AD，BC的中点， ∴AMAD（21+a），BNBCa， ∴BM＝AM﹣AB（21+a）﹣14（a﹣7）， ∴MN＝BN﹣BMa（a﹣7）； （3）为定值，理由如下： 设PB＝t， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段AB上， 又∵点P在线段AB的延长线上，如图3所示： ∴PA＝PB+PD＝14+t，PC＝CD+PB＝7+t， ∴PA+PB＝14+t+t＝2（7+t）， ∴2． 【点评】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$