4.3多边形和圆的初步认识（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级上册数学《第4章 基本平面图形》 4.3 多边形和圆的初步认识 知识点一 多边形及其相关概念 ◆1、多边形的定义：三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形. ①组成多边形的线段在“同一平面内” ②线段必须“不在同一直线上”且线段条数不少于3条 ③首尾顺次相连 ④封闭图形 ◆2、多边形相关的概念 (1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. (2)外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 举例：如图，在多边形ABCDE中， ①点A，B，C，D，E是多边形的顶点； ②线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边； ③∠A，∠B，∠C，∠D， ∠E是多边形的内角. (3)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. ▲n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数） ◆3、正多边形 正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 【解读】正多边形必备的两个条件： (1) 各个角都相等； (2) 各条边都相等. 【注意】若一个多边形的各个角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形. 知识点二 圆和扇形及其相关概念 ◆1、圆的定义：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫作圆.固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径. ◆2、圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧(简称弧). 记作 .读作“圆弧AB”或“弧AB”. ◆3、扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形. 顶点在圆心的角叫作圆心角. 知识点三 圆心角的度数和扇形的面积 扇形的圆心角与周角的比等于扇形面积与圆的面积的比. 题型一 多边形及其相关的概念 解题技巧提炼 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 1．下列图形中，属于多边形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有选项C是多边形． 【解答】解：所示的图形中，属于多边形是选项C，其它选项都不是多边形． 故选：C． 【点评】本题主要考查了多边形的定义，理解多边形的定义，根据定义进行正确判断． 2．下列平面图形中，属于八边形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．平面内不在同一条直线上的八条线段首尾顺次相接组成的图形叫八边形，据此解答． 【解答】解：A、是六边形，故此选项不符合题意； B、是四边形，故此选项不符合题意； C、是八边形，故此选项符合题意； D、是圆，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了多边形．理解多边形的定义，能够根据多边形的定义进行正确判断是解题的关键． 3．下列选项中的图形，不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【解答】解：图形不是凸多边形的是A． 故选：A． 【点评】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键． 4．如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第二个、第四个． 【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个． 故选：A． 【点评】本题主要考查了多边形的定义，理解多边形的定义，根据定义进行正确判断． 5．下列说法中错误的是（　　） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【分析】在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【解答】解：A、多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故A不符合题意； B、四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故B不符合题意； C、多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故C不符合题意； D、各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的定义． 6．（2024秋•宁乡市月考）若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形． A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【解答】解：可能为3或4或5边形． 故选：C． 【点评】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 题型二 多边形的对角线 解题技巧提炼 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）. 1．从十边形的一个顶点出发可以画出的对角线有（　　） A．7条 B．4条 C．6条 D．2条 【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，可知n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，据此求解即可． 【解答】解：从n边形的一个顶点出发可以引（n﹣3）条对角线， ∴从十边形的一个顶点出发可以画出7条对角线． 故选：A． 【点评】本题主要考查了多边形的对角线的定义，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是需要熟记的内容． 2．（2024春•蓬莱区期末）过多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】设多边形的边数是x，根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得x﹣3＝6，再解方程即可． 【解答】解：设多边形的边数是x，由题意得：x﹣3＝6， 解得：x＝9， 故选：C． 【点评】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线． 3．（2024秋•凉州区校级月考）过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．据此解答即可． 【解答】解：∵从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n﹣2）， ∴过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是5﹣2＝3（个）， 故选：A． 【点评】本题主要考查多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 4．（2023秋•沈北新区期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2021个三角形，那么这个多边形是（　　） A．2022边形 B．2023边形 C．2024边形 D．2025边形 【分析】n边形从一个顶点出发引出的条对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，由此即可得到答案． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， ∴n﹣2＝2021， ∴n＝2023， ∴这个多边形是2023边形． 故选：B． 【点评】本题考查多边形的对角线，关键是掌握n边形从一个顶点出发引出的条对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形． 5．（2024秋•墨玉县月考）若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】设此多边形有n条边，则从一个顶点引出的对角线有（n﹣3）条，根据“一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍”列出方程，解方程即可． 【解答】解：设此多边形有n条边，由题意，得： n＝2（n﹣3）， 解得n＝6． 故这个多边形的边数是6． 故选：A． 【点评】此题考查多边形的对角线，解题关键在于理解题意找出等量关系列出方程． 6．一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成5个三角形．则这个多边形 有 　 　条边． 【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数，再求出对角线． 【解答】解：设多边形有n条边， 则n﹣2＝5， 解得：n＝7． 所以这个多边形的边数是7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解． 7．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求代数式（m﹣k）n． 【分析】根据题意得出m，n的值，进而得出k的值进而得出答案． 【解答】解：据题意得， m﹣3＝7，n＝3， 解得：m＝10 k（k﹣3）＝k， 解得：k＝5， 所以（m﹣k）n＝（10﹣5）3＝125． 【点评】此题主要考查了多边形的对角线，正确得出m，n的值是解题关键． 8．一个边数为 的多边形中所有对角线的条数是边数为 的多边形中所有对角线条数的6倍，求这两个多边形的边数. 【分析】n边形的对角线有 条，2n边形的对角线有 条，根据题意可列出方程，再解方程求解即可. 【解答】解：由多边形的性质，可知 边形共有 条对角线. 由题意，得 . 解得 . ∴ . ∴这两个多边形的边数分别为12和6. 【点评】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 9．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求（n﹣m）t的值． 【分析】根据题意，由多边形的性质，分析可得答案． 【解答】解：依题意有n＝4+3＝7， m＝6+2＝8， t＝63÷7＝9 则（n﹣m）t＝（7﹣8）9＝﹣1． 【点评】本题考查正多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n﹣3）条对角线，一共有条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．这些规律需要学生牢记． 题型三 正多边形及其性质 解题技巧提炼 正多边形必备的两个条件： (1) 各个角都相等；(2) 各条边都相等. 1．（2023秋•献县校级期中）如图所示图形是正多边形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案． 【解答】解：A．是等腰三角形，故A不符合题意； B．是圆角矩形，故B不符合题意； C．是正五边形，故C符合题意； D．是一般六边形，不是正多边形，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了多边形，掌握正多边形的定义是解题的关键． 2．（2023秋•夏邑县月考）位于许昌襄城首山之上的文峰塔建成于明嘉靖三十年，为外十三层、内七层楼阁式建筑，平面呈正八边形．下列图形为正八边形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由正多边形的定义，即可选择． 【解答】解：A、图形是正六边形，故A不符合题意； B、图形是六边形，故B不符合题意； C、图形是七边形，故C不符合题意； D、图形是正八边形边形，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查正多边形的概念，关键是掌握此概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 3．（2023秋•高碑店市期末）下列是正多边形的是（　　） A．六条边都相等的六边形 B．四个角都是直角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．三条边都相等的三角形 【分析】正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形．要满足两个条件：角都相等，边都相等． 【解答】解：根据正多边形的概念，各条边都相等，各个角都相等的多边形是正多边形，所以选项D是正确的． 选项B只满足了四个角都是直角的四边形，而四条边不一定相等，有可能是矩形，不满足条件． 选项A和C只满足了各条边相等．而角不一定，所以不正确． 故答案选：D． 【点评】本题考查正多边形的概念．解题的关键是概念中的两个条件都需要满足． 4．（2024秋•滨海新区校级月考）如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【分析】分为三种情况，画出图形，解答即可． 【解答】解：如图1，剩余图形是四边形； 如图2，剩余图形是五边形； 如图3，剩余图形是六边形； 综上所述，剩余的部分是四边形或五边形或六边形． 故选：D． 【点评】本题考查了多边形，能画出符合的所有情况是解此题的关键． 5．（2024秋•九台区期中）一个正八边形的边长为5．则它的周长为 ． 【分析】根据正八边形边长相等，用边长乘以8即可得出答案． 【解答】解：∵正八边形的边长为5， ∴周长为：5×8=40． 故答案为：40． 【点评】本题考查多边形，掌握正多边形的性质是解题的关键． 6．（2024春•道里区校级月考）已知正六边形的周长是36cm,则这个多边形的边长等于  cm. 【分析】根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案． 【解答】解：∵正六边形的周长是32cm, ∴这个多边形的边长为36÷6=6cm， 故答案为：6． 【点评】本题考查正多边形的定义，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 题型四 圆的认识 解题技巧提炼 平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫作圆.固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径. 1．（2023秋•桥西区期末）下列图形为圆的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆的定义分析即可． 【解答】解：根据题意得，A图形为圆． 故答案为：A． 【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”是解题的关键． 2．车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（　　） A．直径 B．周长 C．面积 D．半径 【分析】依据圆的周长的概念，即围成圆的一周的曲线的长度就是圆的周长，即可进行选择． 【解答】解：车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的周长． 故选：B． 【点评】考查了圆的认识，解答此题的主要依据是：圆的周长的概念． 3．（2023秋•大同区校级期末）能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【分析】根据圆的定义即可解答． 【解答】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心， 故选A． 【点评】本题考查了圆的认识，熟悉圆的定义是解题的关键． 4．（2023秋•南岗区校级期中）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（　　） A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米 【分析】根据确定圆的条件确定答案即可． 【解答】解：∵两脚间的距离是3厘米， ∴圆的半径为3厘米，周长为6π厘米，面积为9π平方厘米， 故选：A． 【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解张开的圆规的两脚间的距离为圆的半径，难度不大． 5．（2024•建邺区校级开学）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径，可对①进行判断；根据到定点距离等于定长的点都在以定点为圆心，以定长为半径的圆上，可对②进行判断；根据半径确定了，圆的大小确定了，但是圆的位置不能确定，可对③进行判断；综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径， ∴同一圆上的点到圆心的距离相等， 故①正确； ②∵到定点距离等于定长的点都在以定点为圆心，以定长为半径的圆上， ∴如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆， 故②正确； ③∵半径确定了，圆的大小确定了，但是圆的位置不能确定， ∴③不正确， 综上所述：正确的是①②， 故选：A． 【点评】此题主要考查了对圆的认识，正确的理解圆的有关概念是解决问题的关键． 6．（2023•潍坊开学）圆片向右滚动一周后的位置如图，这个圆片的直径大约是（　　）cm． A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定 【分析】由圆周长公式，即可解决问题． 【解答】解：由图可以看出圆的周长大约是3.15cm，由圆周长公式C＝πR，得到圆片的直径大约是1cm． 故选：B． 【点评】本题考查圆的周长，关键是掌握圆周长公式． 7．（2023秋•香坊区校级期中）有一个周长是62.8米的圆形草坪，准备在草坪的圆心安装一个自动旋转喷灌装置进行喷灌，选择射程为（　　）的装置比较合适． A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 【分析】设圆的半径为r米，利用圆的周长公式得到2πr＝62.8，然后计算出r的值后进行判断． 【解答】解：设圆的半径为r米， 根据题意得2πr＝62.8， 解得r≈10（米）， 所以选择射程为10的装置比较合适． 故选：B． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 题型五 扇形面积的计算 解题技巧提炼 扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2 1．（2023秋•鹿寨县期末）一个扇形的半径是3，扇形的圆心角120°，那么这个扇形面积是（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案， 【解答】解：由题意得：r＝3，n＝120， ∴这个扇形面积， 故选：B． 【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 2．（2024•东营）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（　　）cm2． A．π B．75π C．125π D．150π 【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【解答】解：由题知， （cm2）， （cm2）， 所以山水画所在纸面的面积为：（cm2）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 3．（2024•红河州二模）如图，扇形AOB的半径OA为2，∠AOB＝90°，连接AB，则弧AB与线段AB围成的区域（阴影部分）的面积是 　 ． 【分析】由图可知阴影部分与三角形AOB组成扇形AOB，代入题目中数据先求出扇形AOB与三角形AOB的面积即可． 【解答】解：∵扇形AOB的半径OA为2，∠AOB＝90°， ∴， ∴扇形AOB的面积：， ∴阴影部分面积＝扇形AOB的面积﹣三角形面积＝π﹣2， 故答案为：π﹣2． 【点评】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算，掌握扇形和三角形的面积计算公式是解题关键． 4．（2023秋•新城区校级月考）如图，把一个圆分成了四个扇形，已知圆的半径为6cm，求扇形甲与扇形丙的面积之和．（结果保留π） 【分析】利用360°×百分比求出扇形乙的圆心角，再利用扇形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：扇形乙的圆心角的度数为360°×35%＝126°， 扇形甲、丙的度数之和为：360°﹣126°﹣60°＝174°． 因为圆的半径为6cm， 所以扇形甲、丙的面积之和为：． 【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形的圆心角度数的计算公式和扇形的面积公式是解题的关键． 5．（2023秋•兴庆区校级月考）将一个半径为10cm的圆分成3个扇形，其圆心角的比1：2：3，求： ①各个扇形的圆心角的度数． ②各个扇形的面积． 【分析】①三个圆心角的度数之和为360°，据此进行解答； ②根据扇形的面积公式进行解答． 【解答】解：①设三个圆心角的度数分别是x、2x、3x，则 x+2x+3x＝360°， 解得x＝60°． 故这三个扇形的圆心角分别是：60°、120°、180°； ②圆心角为60°的扇形面积为：； 圆心角为120°的扇形面积为：； 圆心角为180°的扇形面积为：． 【点评】本题考查了扇形的面积的计算，认识平面图形，掌握周角的定义和扇形的面积即可解答该题，属于基础题． 6．（2024春•临淄区期中）如图，把一个圆分成甲，乙，丙，丁四个扇形． （1）求甲，乙，丙三个扇形的圆心角的度数； （2）若圆的半径为1cm，求扇形丁的面积． 【分析】（1）每个扇形的圆心角度数等于360°乘以各自所占圆的百分比，由此即可计算； （2）求出扇形丁的圆心角度数，即可求出扇形丁的面积． 【解答】解：（1）扇形甲的圆心角度数＝360°×25%＝90°； 扇形乙的圆心角度数＝360°×30%＝108°； 扇形丙的圆心角度数＝360°×20%＝72°． （2）∵扇形丁的圆心角度数是360°﹣90°﹣108°﹣72°＝90°，圆的半径是1cm， ∴扇形丁的面积（cm2）． 【点评】本题考查圆心角，扇形面积的计算，关键是掌握扇形圆心角的度数等于360°乘以扇形所占圆的百分比；扇形面积的计算公式． 7．（2023秋•嘉峪关校级期末）如图，一根5m长的绳子，一端拴在90°的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），求小羊在草地上可活动区域的面积．（结果保留π） 【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°的大扇形和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围． 【解答】解：如图，大扇形的圆心角是90°，半径是5m． 所以大扇形的面积为π×52（m2）， 小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°， 半径是5﹣4＝1（m）， 则小扇形的面积为π×12（m2）． 所以小羊在草地上的可活动区域的面积为（m2）． 【点评】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可． 8．（2023秋•章丘区校级期末）如图，圆O的直径为10cm，两条直径AB、CD相交成90°角，∠AOE＝40°，OF是∠BOE的平分线． ①求∠COF的度数； ②求扇形COF的面积． 【分析】①由平角的定义得到∠BOE＝140°，由角平分线的定义得到∠BOF∠BOE＝70°，于是得结论； ②根据扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：①∵∠AOB＝180°，∠AOE＝40°， ∴∠BOE＝140°， ∴OF是∠BOE的平分线， ∴， ∵两条直径AB，CD相交成90°角， ∴∠COF＝90°﹣70°＝20°； ②扇形COF的面积． 【点评】本题主要考查了垂直定义，圆心角的定义，扇形的面积公式，熟练掌握扇形的计算公式是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级上册数学《第4章 基本平面图形》 4.3 多边形和圆的初步认识 知识点一 多边形及其相关概念 ◆1、多边形的定义：三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形. ①组成多边形的线段在“同一平面内” ②线段必须“不在同一直线上”且线段条数不少于3条 ③首尾顺次相连 ④封闭图形 ◆2、多边形相关的概念 (1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. (2)外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 举例：如图，在多边形ABCDE中， ①点A，B，C，D，E是多边形的顶点； ②线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边； ③∠A，∠B，∠C，∠D， ∠E是多边形的内角. (3)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. ▲n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数） ◆3、正多边形 正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 【解读】正多边形必备的两个条件： (1) 各个角都相等； (2) 各条边都相等. 【注意】若一个多边形的各个角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形. 知识点二 圆和扇形及其相关概念 ◆1、圆的定义：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫作圆.固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径. ◆2、圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧(简称弧). 记作 .读作“圆弧AB”或“弧AB”. ◆3、扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形. 顶点在圆心的角叫作圆心角. 知识点三 圆心角的度数和扇形的面积 扇形的圆心角与周角的比等于扇形面积与圆的面积的比. 题型一 多边形及其相关的概念 解题技巧提炼 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 1．下列图形中，属于多边形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列平面图形中，属于八边形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列选项中的图形，不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．下列说法中错误的是（　　） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 6．（2024秋•宁乡市月考）若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形． A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 题型二 多边形的对角线 解题技巧提炼 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）. 1．从十边形的一个顶点出发可以画出的对角线有（　　） A．7条 B．4条 C．6条 D．2条 2．（2024春•蓬莱区期末）过多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2024秋•凉州区校级月考）过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023秋•沈北新区期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2021个三角形，那么这个多边形是（　　） A．2022边形 B．2023边形 C．2024边形 D．2025边形 5．（2024秋•墨玉县月考）若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6．一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成5个三角形．则这个多边形 有 　 　条边． 7．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求代数式（m﹣k）n． 8．一个边数为 的多边形中所有对角线的条数是边数为 的多边形中所有对角线条数的6倍，求这两个多边形的边数. 9．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求（n﹣m）t的值． 题型三 正多边形及其性质 解题技巧提炼 正多边形必备的两个条件： (1) 各个角都相等；(2) 各条边都相等. 1．（2023秋•献县校级期中）如图所示图形是正多边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•夏邑县月考）位于许昌襄城首山之上的文峰塔建成于明嘉靖三十年，为外十三层、内七层楼阁式建筑，平面呈正八边形．下列图形为正八边形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•高碑店市期末）下列是正多边形的是（　　） A．六条边都相等的六边形 B．四个角都是直角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．三条边都相等的三角形 4．（2024秋•滨海新区校级月考）如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 5．（2024秋•九台区期中）一个正八边形的边长为5．则它的周长为 ． 6．（2024春•道里区校级月考）已知正六边形的周长是36cm,则这个多边形的边长等于  cm. 题型四 圆的认识 解题技巧提炼 平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫作圆.固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径. 1．（2023秋•桥西区期末）下列图形为圆的是（　　） A． B． C． D． 2．车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（　　） A．直径 B．周长 C．面积 D．半径 3．（2023秋•大同区校级期末）能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 4．（2023秋•南岗区校级期中）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（　　） A．半径是3厘米 B．直径是3厘米 C．周长是3π厘米 D．面积是3π厘米 5．（2024•建邺区校级开学）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（2023•潍坊开学）圆片向右滚动一周后的位置如图，这个圆片的直径大约是（　　）cm． A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定 7．（2023秋•香坊区校级期中）有一个周长是62.8米的圆形草坪，准备在草坪的圆心安装一个自动旋转喷灌装置进行喷灌，选择射程为（　　）的装置比较合适． A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 题型五 扇形面积的计算 解题技巧提炼 扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2 1．（2023秋•鹿寨县期末）一个扇形的半径是3，扇形的圆心角120°，那么这个扇形面积是（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 2．（2024•东营）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（　　）cm2． A．π B．75π C．125π D．150π 3．（2024•红河州二模）如图，扇形AOB的半径OA为2，∠AOB＝90°，连接AB，则弧AB与线段AB围成的区域（阴影部分）的面积是 　 ． 4．（2023秋•新城区校级月考）如图，把一个圆分成了四个扇形，已知圆的半径为6cm，求扇形甲与扇形丙的面积之和．（结果保留π） 5．（2023秋•兴庆区校级月考）将一个半径为10cm的圆分成3个扇形，其圆心角的比1：2：3，求： ①各个扇形的圆心角的度数． ②各个扇形的面积． 6．（2024春•临淄区期中）如图，把一个圆分成甲，乙，丙，丁四个扇形． （1）求甲，乙，丙三个扇形的圆心角的度数； （2）若圆的半径为1cm，求扇形丁的面积． 7．（2023秋•嘉峪关校级期末）如图，一根5m长的绳子，一端拴在90°的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），求小羊在草地上可活动区域的面积．（结果保留π） 8．（2023秋•章丘区校级期末）如图，圆O的直径为10cm，两条直径AB、CD相交成90°角，∠AOE＝40°，OF是∠BOE的平分线． ①求∠COF的度数； ②求扇形COF的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$