精品解析：陕西省咸阳市永寿县渡马九年制学校2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列四组图形中，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似形的定义，掌握相似性的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似形”是解题的关键． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的图形是相似图形， 故选：D． 2. 如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质．熟练掌握菱形对边平行，对角线互相垂直，是解题的关键． 根据菱形对边平行得到，根据，得到． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1、2、3、4 B. 2、3、4、5 C. 3、4、6、9 D. 2、3、4、6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的两条对角线相等且互相垂直平分 D. 菱形的四个内角都是直角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的性质，熟知平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、平行四边形的对边平行且相等，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，不一定互相垂直，原说法错误，不符合题意； C、正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，原说法正确，符合题意； D、菱形的四个内角不一定都是直角，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5. 一元二次方程根的情况是（    ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键． 6. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定条件，已知，判断两个三角形是否相似，需满足两角对应相等或两边成比例且夹角相等，据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有：①或是的平分线；②， ∴不能判定和相似的是C， 故选：C． 7. 把一个小球以的速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：．当时，小球的运动时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把代入函数关系式中求出t的值即可得到答案． 【详解】解：当时，解得或（舍去）， ∴当时，小球的运动时间为， 故选：C． 8. 如图，已知四边形为正方形，E 为对角线上一点，连接， 过 点E 作，交的延长线于点F，，， 则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H，由正方形的性质得到，则由角平分线的性质得到，据此证明四边形是正方形，再利用勾股定理求出，则，可得，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 用配方法将方程变形为，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-4x-1=0， 移项得：x2-4x=1， 配方得：x2-4x+4=5，即（x-2）2=5， 所以m=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可； （2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方． 10. 如图，在矩形中，点在边上，且平分，若，则的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】先证明，再进一步的利用三角形的内角和定理可得答案．本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：矩形中，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 故答案为：． 11. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为_______颗． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了已知频率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：． 故答案为：35． 12. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金比的定义列出等式解答即可求解，掌握黄金比的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形，全等三角形．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，是解决问题的关键． 过点作，使，连接，，得到，．根据菱形的边长为5，得到．根据，得到．得到．得到．推出．得到．得到．即得的最小值为． 【详解】如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为5， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 即． ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，，， ， 所以 ， 即，． 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 16. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， 由平行线截线段成比例可得：， 设， 则， ，， ， 解得：， ∴． 17. 如图，在中，，于点．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，点E即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，线段垂直平分线的尺规作图，如图所示，作线段的垂直平分线交于E，连接，点E即为所求． 【详解】解；由可得，则， 再由即可证明． 18. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，先由正方形的性质得，，结合，证明边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：略． 19. 某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】20 【解析】 【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种棵树每棵桃树的产量就会减少个（即是平均产个），桃树的总共有棵，所以总产量是个．要使产量增加，达到个． 【详解】解：设应多种棵桃树，根据题意，得 整理方程，得 解得，， ∵多种的桃树不能超过100棵， ∴（舍去） ∴ 答：应多种20棵桃树。 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键在于搞懂题意去列出方程即可. 20. 一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，2个白球．这些小球除颜色外都相同． （1）甲从袋子中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为________； （2）将袋中小球摇匀，甲从中随机摸出1个小球，记下颜色后不放回，乙再从中随机摸出1个小球，用列表或画树状图的方法，求两人摸到的小球颜色相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接利用概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人摸到的小球颜色相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4个小球，其中有2个红球，且每个球被摸到的概率相同， ∴甲从袋子中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为， 故答案为；； 【小问2详解】 解：设用A、B表示2个红球，C、D表示2个白球，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两人摸到的小球颜色相同的结果数有4种， ∴两人摸到的小球颜色相同的概率为． 21. 如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．小明在距离树的处，看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，小明的眼睛到地面的距离，爸爸的身高，求树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质与判定，过点作于点，延长交于点，则，先证明四边形和四边形是矩形，得到，，，再证明，可得，求得，进而可求得即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，则， ，，， 四边形，四边形是矩形． ，，， ， ， ， ， ，即， 解得，经检验符合题意． ， 答：树的高度为． 22. 如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））． （1）设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）； （2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？ 【答案】（1） （2）通道的宽度为． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用， （1）结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为，可得式，化简即可得； （2）结合图形，利用大面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得． 【小问1详解】 解：结合图形可得：长为，内部两个矩形的宽为，通道宽为， ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴， 解得（不合题意，舍去）． ∴通道的宽度为． 23. 如图，在中，，的中垂线交边于点E，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵的中垂线交边于点E，, ∴，， ， ∵，, ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，中垂线的性质，对顶角的性质，勾股定理． （1）根据的中垂线交边于点E，得到，， ，结合，得到，证明即可． （2）根据，得到，根据，列出比例式，得，求得，勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．连接并延长至点F，使得． 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，， ． 【答案】（1） 证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ 在中，，点D是的中点， ∴ ， ∴ 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键． （1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）过点F作交的延长线于点G．根据勾股定理分别求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点F作交的延长线于点G． ∴． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 25. 如图，在中，，，，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，一元二次方程的应用： （1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段和，根据三角形的面积公式得出方程即可求解； （2）根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动， ∴，， ∴． ∵的面积为， ∴， ∴， ∴解得，， ∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒的面积为． 【小问2详解】 解：∵， 当时，和相似， 即， 解得：； 当时，和相似， 即， 解得：． ∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒和相似． 26. 综合与实践 【问题背景】 如图（1），在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的处． 【问题解决】 （1）填空：的长为______； （2）如图（2），展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长． （3）【拓展探究】如图（3），在沿射线向右平移的过程中，设点的对应点为，则当在线段上截得的线段的长度为1时，直接写出平移的距离． 【答案】（1）3 （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理求出，，连接，证，即可求解； （3）分类讨论：当在内（的左侧）时，连接，根据相似三角形的判定和性质可得，根据平移的性质和等角对等边的性质可得，即可求得；当在射线上（的右侧）时，连接，根据相似三角形的判定和性质可得，，求解可得，即可求得． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得： ∴ 故答案为：3． 【小问2详解】 由（1）得： ∴ 由折叠的性质得： 设，则， 在中， 解得 即， 连接，如图所示： 由平移的性质得：，， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 当在内（的左侧）时，连接， 如图所示： 由平移的性质得：，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 当在射线上（的右侧）时，连接，如图 由平移的性质得：，， ∴， ∴， 即， ∵ 求解得 ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列四组图形中，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1、2、3、4 B. 2、3、4、5 C. 3、4、6、9 D. 2、3、4、6 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的两条对角线相等且互相垂直平分 D. 菱形的四个内角都是直角 5. 一元二次方程根的情况是（    ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 6. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 7. 把一个小球以的速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：．当时，小球的运动时间为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形为正方形，E 为对角线上一点，连接， 过 点E 作，交的延长线于点F，，， 则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 用配方法将方程变形为，则的值是______． 10. 如图，在矩形中，点在边上，且平分，若，则的度数为______． 11. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为_______颗． 12. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 13. 如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 解方程：． 16. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，，求的长． 17. 如图，在中，，于点．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 19. 某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 20. 一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，2个白球．这些小球除颜色外都相同． （1）甲从袋子中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为________； （2）将袋中小球摇匀，甲从中随机摸出1个小球，记下颜色后不放回，乙再从中随机摸出1个小球，用列表或画树状图的方法，求两人摸到的小球颜色相同的概率． 21. 如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．小明在距离树的处，看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，小明的眼睛到地面的距离，爸爸的身高，求树的高度． 22. 如图，某校旁边有一块长为，宽为的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼（其中每个矩形的一边长均为（））． （1）设通道的宽度为，则________（用含的代数式表示）； （2）若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为，请问通道的宽度为多少？ 23. 如图，在中，，的中垂线交边于点E，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点．连接并延长至点F，使得． 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，， ． 25. 如图，在中，，，，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 26. 综合与实践 【问题背景】 如图（1），在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的处． 【问题解决】 （1）填空：的长为______； （2）如图（2），展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长． （3）【拓展探究】如图（3），在沿射线向右平移的过程中，设点的对应点为，则当在线段上截得的线段的长度为1时，直接写出平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $