河北省2024-2025学年高三上学期11月阶段调研检测二数学试题

绝密★启用前 河北省2025届高三年级11月阶段调研检测二 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知全集U=AUB={xeNIx2-10x≤0，An(CuB)={1,3,5,71,则集合B= A.12,4,6,8 B.12,4,6,8,9,10 C.0,2,4,6,8,10 D.{0,2,4,6,8,9,10 2.函数y=√g(x-1)的定义域为 A.xlx>1 B.{xx≥2 C.{xx>10} D.{xlx≥1I 3.若事件A,B发生的概率分别为P(A),P(B),(P(A)>0,P(B)>0),则“P(BIA)=P(B)"是 “P(AIB)=P(A)”的( )条件 A,充分不必要 B.必要不充分 C.充分且必要 D.既不充分又不必要 4.球0是棱长为1的正方体的外接球，则球0的内接正四面体体积为 A合 B. 6 c方 D.6 4 5.某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为 0.4,可判断这组数据的众数为 A.1 B.2 C.3 D.4 6已知>1>0，且片+ =1,则4x+y的最小值为 A.13 B.15+5,5 2 C.14 D.9+6⑤ 7.已知函数f八x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数，f(2x+4)=f(2x),则一定正确的是 A.f(x)的周期为2 B.f(x)图象关于直线x=1对称 C.(x+1)为偶函数 D.f八x+3)为奇函数 二·数学第1页（共4页） 8.已知函数代)=2i如(r-号)(u>0)在区间(（号，m)上有且仅有一个零点，当u最大时在 区间[-100m,100π]上的零点个数为 A.466 B.467 C.932 D.933 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若(2x-1)3=agx+a7x7+a6x+…+a2x2+a1x+a0,则 A.a0=1 B.a5=-8 C.a1+a2+ag+·+a7+ag=0 D.a1-a2+a3-a4+…+a1-ag=-6561 10.已知平面内点A(-1,0),B(1,0),点P为该平面内一动点，则 A.|PA+|PB=4,点P的轨迹为椭圆 B.PA|-|PB引=1，点P的轨迹为双曲线 C.PA|·|PB|=1,点P的轨迹为抛物线 D.a =2,点P的轨迹为圆 11.如图，圆锥S0的底面直径和母线长均为6，其轴截面为△SAB,C为底面半圆 弧AB上一点，且AC=2CB,SM=λS元，S=S8(0<A<1,0<4<1),则 A当A=时，直线AM与BC所成角的余弦值为 且当人-分时，四面体WN的体积为2福 C.当a=号且AM/面OC时，A=方 D.当MLSB时，A=号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2双曲线C:若-卡=1(@>0，b>0)的左焦点为，右顶点为B,点F到渐近线的距离是点B到 渐近线距离的2倍，则C的离心率为 13.已知数列{a.}满足a。=(-1)(2n-1),其前100项中某项正负号写错，得前100项和为-50， 则写错的是数列中第 项 14.如右图所示，△ABC中，D,E是线段BC的三等分点，F是线段AC 的中点，BF与AD,AE分别交于M,N,则平面向量M用向量C, CB表示为 ·数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a2-2b=2 cacosB-bc. (1)求角A的大小： (2)若6+c=5,△M8C的面积为3，求△ABC的周长 16.(15分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AD⊥AB,AD=AB= 2BC,△SAB为等边三角形且垂直于底面ABCD. (1)求证：SD⊥AC; (2)求平面SBC与平面SDC夹角的正弦值， 7.(15分)已知函数f)=nx+子+ax(aeR). (1)当a=1时，求f(x)的图象在点(1,2)处的切线方程； (2)当a=0时，求f(x)的单调区间： (3)若函数H(x)=x[/八x)-]+2r单调递增，求实数a的取值范围. ·数学第3页（共4页） 8（分)相阙C号+片=1a>6>0)左右顶点分别为AB,且A8=4,离心率e-号 (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与抛物线y2=4x相切，且与G相交于M、N两点，求△MNB面积的最大值. 19.(17分)(1)在复数范围内解方程x3=1; (2)设eC,eC且3≠0，证明： (3)设复数数列{3n}满足：名|=1，且对任意正整数n,均有4z1+2z2a+1+z=0.证明：对任 意正锅数m,均有+妈*+<29 .·数学第4页（共4页）河北省2025届高三年级11月阶段调研检测 数学参考答案与解析 1.【答案】D2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 【解析】因为正四面体可以补形为正方体，可知右图中正四面体和正方体有 同一外接球，正方体棱长为1，则体积为1，可得正四面体体积为正方体体 积去样回个角上的四面体体积，即1-4×石-行战选C 5.【答案】B 【解析】不妨设五个点数为x1≤x2≤x3≤x≤x,由题意平均数为2，方差为0.4， 知(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+（x4-2)2+(x5-2)=2.x1+x2+x3+x4+x5=10. 可知五次的点数中最大点数不可能为4,5,6 五个点也不可能都是2，则五个，点数情况可能是3,3,2,1,1，其方差为 日个2+8-22-22+0-2+0-2少=号=08，不合题志 5 若五个点数情况为3,2,2,2,1，其方差为 3-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(1-2)=2=0.4,符合题意，其众数为2. 5 5 故选B. 6.【答案】A 【解析小：x>1,x-1>0,又y>0,且+=1， x-1'y 4+y=4(-)+y*4=[4-0+]+）+4=9+六+》 x-1 ≥9+2，y.4x=D=13, Vx-1 y 当且仅当占4，》，解得x==3时等号成立，故4+y的最小值为13.故选A x-11 7.【答案】D 【解析1f(2x+1)为奇函数，得f八2x+1)+f(-2x+1)=0,即f八x+1)+f(-x+1)=0, 则f八x+1)为奇函数，故C错误； 且八x)图象关于点(1,0)中心对称，故B错误； f(2x+4)=f(2x)可知，函数f八x)周期为4，故A错误； f(x)=f八x+4),又f八x)图象关于点(1,0)中心对称，知f八x)=-f八2-x), 所以f(x+4)=-八2-x),得f(x)关于点(3,0)对称，则f八x+3)关于点(0,0)对称， 所以八x+3)为奇函数，故D正确.故选D 8.【答案】B 【解析【法-】由题意，函数x)=2sim(or-哥)(w>0),可得函数的周期为T-2m 数学答案第1页（共12页 国为xe(号m）,可得a做-号e(-号om-骨)， 又由函数y=2si加(wr-号)(w>0)在区间（号，m)上有且仅有一个零点， k-)m≤-号< -1≤号-< 且满足 ,且w≤3， m<wm-号≤(k+1)mo ,语≥m-晋可得w≤3，即 1s号-号 「- 3 当k=0时， ,解得 ,所以3 4 <w<1; 3<w≤3 0≤号-< r1≤w<4 当k=1时 ,解得{4一7，所以 4 个 <ω≤ 3 1<w-3≤2 l3<w≤3 1≤号-2 r4≤w<7 当k=2时， 解得{7一10，此时解集为空集， 2<w-3≤3 3 <w 3 能上可得，实数a的取值花周为（兮）U(学，子1。 所以ol-写得)=2sn(子- e)=2m(子-)=0-子-号=6m(tez解得x=+kez) 令-10m≤39+号≤10m-10-7s4≤10-7-107-g≤6e10X7-号 3 3 3 3 二70≤6g-23,共有467个零点故选B 3 【法三】由题意，函数x)=2sim0r-(w>0),可得函数的周期为T=2红 因为e(m),可设=-则1e(肾-号m-引 又函数y=2simr-号）(o>0)在区间（写，m)上有且仅有-个零点， 活≥m-号可得0<@≤3，所以-号<罗-号<则向y=2国象性质， 号<-<0 0<w<1 可知 ,1 0<wm-号≤m 得1w≤4，即3<w<1 3<w≤3’ ≤-< 3 r1≤w<3 或者 ,得{4 1,即 4 l3<w≤3 <w≤3 T<wπ-3≤2π0 数学答案第2页（共12页）】 所以w最大为了，得)=2im(子-号). )=2(3-号)=-0-子-号=6m(keZ),解得x-3+号（kez). 7 +号≤10m-10-7≤100-1007≤s107-号 令-100m≤7 33 01≤ke6g,共有467个零点.故选B 9.【答案】AC 【解析】令x=0,则(0-1)8=a=1,故A正确； 由二项式定理ax3=C(2x)3(-1)5=-448x3,则a=-448,故B错误； 令x=1,则(2-1)"=ag+a+a6+…+a2+a1+a0=1, 则a1+a2+a3+…+a7+ag=0,故C正确； 令x=-1,则(-2-1)°=ag-a,+a6-…+a2-a1+a0=6561,又ag=1, 所以ag-a1+a6-…+a2-a1=6560,得a1-a2+a3-a4+…+a,-ag=-6560,故D错误. 故选AC. 10.【答案】AD 【解析】由椭圆的定义知A正确： 线段AM的长度与线段BM的长度的差为1<|AB|=2,则M的轨迹应为双曲线靠近B点 的一支，故B错误； 设点P(x,y),由1PAI·1PB1=1得√(x+1)+y·√(x-1)+y=1, 整理得(x2+2x+1+y2)(x2-2x+1+y2)=1,即x+y+2x2y2-2x2+2y2=0, 当y=0时，x-2x2=0,得x=0或x=±√2 故曲线与x轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误； 由=2得x++=2,整理得 IPBI √(x-1)2+y☑ 2+2x+1+y2=4(-2x+1+y)32-10+3y+3=0(x-号)2+y-9 即轨连是以(？，0)为圆心，号为半径的国，故D正确故选AD 11.【答案】ACD 【解析】由题意可知△SAB是边长为6的等边三角形，SA=SB=SC,AC=3√3，BC=3. A=时，M为SC的中点，取L=2得MN∥BC,LAMN为直线AM与BC所成角或其补角， 90+9-27 4+4 又w:3Aw3,些号4w20复罗1 /10 2×9 在△1BC中，AB=6,C=3,得S%版=×3x35-9 2 S01△C,且S0=3,则回面体S1BC的作积为写×299x35-号 一数学答案第3页（共12页）》 A==7,N为SC的中点，N为SB的中点，故四面体sN体积为四面体SBC体积的四 分之一，得四西体S1N体积为日，故B错误； 对于CD选项： 【法-】当=号时，取SV的中点P,则AP∥ON, 过P作PM∥CN交SC于M, 此时M为SC的中点，所以面APM∥面ONC, 得AM/面ONC,所以入=2，故C正确： 当=)时，ANLSB, 在面SCB内过N作NM⊥SB交SC于M, 则SB⊥面AMN,AMC面AMN, 故此时得到的AM⊥SB, △SCB中，SC=SB=2CB=6, 由余孩定理得eoCSB=名，SV=NB=3,∠SW=90, 24 得SW=兰则A=石-号故D正确故选ACD 【法二】则以O为坐标原点，过，点0与AB垂直的直线为x轴，分别以OB、OS所在直线为y 轴和：轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得 s0.0,3540-3.0).8403.0,c3520 =03,3)d=33 S=S元，S=uS(0<A<1,0<u<1) 得s=(35,2,-35).=0,3,-3）, d=不+d=(03,3)+2,3A)=(352+335-3 对于C=号，则5=(0,2，-25).0N=0+=(0,25), 设平面0NC的一个法向量为n=(x,y,2), n·0m=02y+v3:=0 则 2+=0可取m=(1v,-2. 4W/西0C时，得n=0,(2.号+3,3v3-3w5)(-1n5,-2)=0 解得=2故C正确， 对于D,SB=(0,3,-33), 第4页（共12页） =不+5=033)+(+2-35)=(32+3,3-35) 由15B得，（号+3,3v5-35A)·03,3)=0,A=手故D正 故选ACD. 12.【答案】2 13.【答案】38 【解析】an=(-1)"(2n-1),则其前100项和为-1+3-5+7-9+11-…+195-197+199 =(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-197+199)=2×50=100. 某项正负号写错后得前100项和为-50，说明某正项写成了负数，又100-(-50)=150， 150÷2=75,故写错的数为75，令a。=(-1)(2n-1)=75,解得n=38.故写错的是数列中 第38项。 14.【答案1品-品 【解析【法-】AD与BF交于M,可设Ci=xC店+yCi=C=xC店+2yCx+2y=1, 威=xi+yd-⑦+ydi2+2y=1 解得x=3y=4,得Ci=成+4 同理得C=}+号Cd, 所以m=-c成=(g+号c-(ci+di-cd-ca 【法二】过，点E作EG∥BF交AC于点G, BE2FG AF3 AN EC1CCFG2NE' 得Av=g(兮-C=5-号。 M 同理过点D作BF的平行线可得， aM=而=（号成-Cd)=2成-C, m-不-=（兮成--（兮店--品成 【法三】设A=AA正，B=uB求，则B+A=B,得B+入A尼=uB, 又因为花=成-A=子C-,㎡=2BC+2, 所以Bi+A(子8配-)=u(2B武+B)→(1-A)B+8配=B屁+片B 故1-人发，登=分解得A=号=行 3 4 则不=证=兮成-=成- 同理可得-子而=号-d)=成-寻， 数学答案第5页（共12页 m--d-(兮成-d)-(兮-=d-成 【法四】特殊三角形法 设△ABC是底为12，高为2的等腰三角形建立如图所 示的平面直角坐标系， M 得A(0,2),B(-6,0),C(6,0),D(-2,0),E(2,0), F(3,1), 得直线AD:y=x+2,AE:y=-x+2,BF:y=)x+ 12 3, 解得M-是号青， 得=0.d=(-6,2).=(-12.0. 接m=AG+r成，（品高=(-6A,2)+(~12.0, 解得A=04=品所以丽=-高C成 3 3 15. 解：(1)2a2-2b=2 cacosB-bc,由余弦定理得，2(a2-b2)=c2+a2-b2-bc, .b2+c2-a2=bc, …2分 ∴.c0sA= 2+c2-a21 2be 3分 又A∈(0，T),… 4分 81等 5分 (2)因为△M0c的面积为.即时n1=号×6xe×m号-3， ∴.bc=6. 8分 由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=25-18=7.…11分 解得a=√7. 所以△ABC周长为5+7. 13分 16.解：(1)【法一】证明：如图所示，取AB中点0，△S4B为等边三 角形，∴.S0⊥AB, 又'，面SAB垂直于底面ABCD,交线为AB, 得S0⊥面ABCD,… 2分 又ACC面ABCD→SO⊥AC. 底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AD=AB=2BC, AD=AB,AO=BC,∠DAO=∠ABC=90°， 所以△DAO≌△ABC,∠BAC=∠ADO,∠AD0+∠AOD=90°， 所以∠BAC+∠AOD=90°，得OD⊥AC,…4分 又S0∩OD=0,得AC⊥面SOD,SDC面SOD,所以SD⊥AC.…6分 【法二】取AB中点O,为等边三角形且垂直于底面，交线为AB, 则SO⊥AB,得SO⊥面ABCD,… 2分 第6页（共12页 又因为AD∥BC,AD⊥AB,AD=AB=2BC, 可设AB=2, 则以O为坐标原点，过点O与BC平行的直线为y轴，分别以OB、 $0所在直线为x轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 得S(0,0,3),A(-1,0,0),C(1,1,0),D(-1,2,0)…4分 得AC=(2,1,0),S⑦=(-1,2，-3)， 所以AC·S0=(2,1,0)·(-1,2,-5)=-2+2=0, 得SD⊥AC. …6分 (2)【法-】由(1)知S0L面ABCD, 不妨设AD=AB=2BC=2,则S0=√5， 以O为坐标原点，过点O与BC平行的直线为y轴，分别以OB、 S0所在直线为x轴和x轴建立如图所示的空间直角坐标系， 得S(0,0,3),B(1,0,0),C(1,1,0),D(-1,2,0)…8分 s8=(1,0,-3),SC=(1,1,3),S=(-1,2,-3); 设平面SBC的一个法向量为n=(x,y,z), w5-00 ）「x-3z=0 可取n=(3,0,3)；… 10分 设平面CD的一个法向量为m=(x1,y1,a), 则 m·S0=0m「x1+y-3a1=0 即 m·s=0 -x1+2y1-3a1=0 可取m=(1,2,W3).… 12分 设平面SBC与平面SDC夹角为6， 则cos0=|cos<m,n>|= m·n 3×1+3×3 √6 m×n √9+3·1+4+34， 14分 所以平面SBG与平面SDC夹角的正弦值为40 15分 【法二】不妨设AD=AB=2BC=2, △SAB为等边三角形且垂直于底面ABCD,交线为AB, 底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AD⊥AB, 所以AD⊥面SAB,…8分 又AD∥BC,得BC⊥面SAB, BCC面SBC,得面SBC⊥面SAB,交线为SB, 取SB的中点O,则A0⊥SB, 等边△SAB边长为2，则A0=3, 10分 AD∥BC,则AD∥面SBC, 则D点到面SBC的距离等于A点到面SBC的距离为√3， 因为AD⊥面SAB,BC⊥面SAB,△SAD,△SBC均为直角三角形，AD=AB=2BC=2, 数学答案第7页（共12页）】 得SD=22,SC=5,CD=5. 12分 作DE⊥SC,可得DE=26 14分 5 所以平面sSBC与平面SDC夹角的正弦值为，5 10 15分 26 4 17.解：(1)当a=1时，函数fx)=xlnx++x(x>0), 得∫(x)=nr+2-3,则f(1）=1,…2分 2分 所以f八x)的图象在点(1,2)处的切线方程为y=x+1.…4分 (2)因为当a=0时，(x)=xnx+上(x>0), re)=l+1-)=士+是>0 5分 所以r(x)=lc+1-在(0，+)上单调递增，又了)=0， 故当xe(0,1)时，f(x)<0,fx)单调递减， 当x∈(1，+∞)时f(x)>0,f(x)单调递增，…7分 综上所述：(x)单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+∞).…9分 (3)由)=lx++a,且(x)=x/x)-]+2x, 得x)=hx++a-宁]+2r=c+a2-号+2hr+1单调递增， 所以H(x)≥0在(0，+0)上恒成立，…10分 又H(x)）=2xnr+x+2ax-x+2=2xlnc+2ar+2 2 由题意Hr(x)≥0恒成立，得2xlnr+2ar+2≥0. 即xnx+上+a≥0恒成立，得ax≥-xnr-→a≥-lnx-恒成立，…12分 设g)=-l-得g()=-是+是2 x x3, (0,2) 迈 (2,+) g'(x) + 0 g(x) 极大值-n2-号 所以当x=2时，g()最大为h反 14分 所以u≥-lx-恒成立，得a≥-h万-2 数学答案第8页（共12页）】 综上，若函数H(x)=x[/(x)-]+21nr单调递增，则实数a的取值范围为[-血v2-)， 2 +). 15分 18.解：(1)由题意AB=4,得2a=4,a=2. 又C的离心率为号得二-号所以e=2。 则62=a2-c2=4-2=2, 得椭圆C的方程为子+号=1.… 4分 (2)【法一】由题意当直线1斜率不存在时，直线1方程为x=0, 易得MN=22,此时Saa=2×22×2=22。 5分 当直线1斜率存在时，方程可设为y=x+m,与抛物线y2=4x联立得 (kx +m)2=4xkx2+2kmx+m2=4x 整理得2x2+(2hm4)x+m2=0 由△=(2hm-4)2-4k2m2=0=km=1… 6分 [y=kx +m 联立花得1+2张)x+4m+2m-4=0.汉m 整理得(1+2k2)x2+4x+2m2-4=0 且4=16-4(1+2)(2m2-4)>0=4k-m2>-24-0>-2 得51 4 …8分 -4 设M(),N().则+1+2F西 2m2-4 1+2k2 得|MN|=√个+？ ，二42-42m4:1+g 16-4(2m2-4)(1+2k2) V1+22 1+2k2 (1+22)2 =V√1+2 16-8m+32K-221+ 2-m2+4k (1+2k2)2 (1+2k2)7 10分 又点B到直线y=c+m距离为2k+m 4…… 12分 V1+R saw=之221+ 2-m2+4K2k+m=万 (2-m”+4k)(2k+m) N (1+2k2)2√+ (1+2k2)7 =√2 2-m2+4)(4K+4+m】-2 24k2+8-2m2-m+16k (1+22)7 (1+2k2)7 8(2k+362+1)-2+1 8(2k+1)(k2+1)-2+1 =√2 (1+2k2)2 =√2 (1+2k2)2 =2 （+1)-E2金 8k+8k-1 1+2k2 8R+8=2, ΓNk(1+2k2) 2k+k 第9页（共12页）】 8k6+4K4+4K-1 =24 4k-1 (2h2+1)(2k2-1) 2k+ 2°+=2/4+ (2k2+1) =5√-+ 15分 由二次函数性质知当=1（满足，）时。 士2+4取得最大值为10， 16分 综上所述，得△MNB的面积的最大值为√I0. 17分 【法二】由题意知直线1斜率不为0，故方程可设为x=my+n, 与抛物线y2=4x联立得y2=4my+4n→y2-4my-4n=0, 直线1与抛物线相切得△=(4m)2+16n→m2+n=0,…6分 (x =my +n 联立花+芳-1得(m+2)y+2my+n-4=0, + 42 且4=4m2n2-4(m2+2)(n2-4)>0曰-n2+2m2+4>0.…7分 设M(x1,y,）,N(x2,y2） 则+受号 。。0.000t040000.0000.000.040:000000000.0000080。。。00000400 8分 又x=my+n与x轴交于点(n,0), 则saw=宁n-21×1-⅓l=2n-21VG,+为P-4 =ln-24 2m四y-4-4-n,24/6m87+2=21n-2 2m2-n2+4 m2+2 m2+2 2(m2+2) (m2+2) 12分 又m2+n=0, SAMN =2In-21 -2n-n2+4 (-n+2)2 =2-n2-2n+4=2√-(n+1)+5,…15分 当n=-1(此时m2=1,符合-n2+2m2+4>0)时，2√-(n+1)+5取得最大值为√10. 综上所述，得△MNB的面积的最大值为√1O. ……17分 【法三】由题意可设直线的切点为(x,y), 则切线方程为yoy=2x+2x0… 5分 当切点为原点时，易得Sw三7×22×2=22… 6分 rx 当切点不是原点时，联立 →2+2(2+242-4=0 Yo Lyoy =2x +2xo 整理得(x0+2)x2+4xx0+2x-4x0=0 △=16x-4(x0+2)(2x6-4x)>0,得0<x<1+5 8分 设M(x1,y),N(x2,y32） 数学答案第10页（共12页）】