6.5 角与角的度量课件-2024—2025学年浙教版数学七年级上册

6.5 角与角的度量 年 级：七年级 学 科：数学（浙教版） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 问题情境 下图是某公园新增设的一台滑梯的效果图.若规定滑梯的倾斜角不超过45°属于安全. 请问如何判断这个滑梯是否符合安全标准？ 如图所示是某公园“六一”前新增设的一台滑梯.若规定滑梯的倾斜角不超过45°属于安全.如何判断这个滑梯是否符合安全标准？我们从数学的角度来看这个问题， 这是一个和角有关的问题，涉及角和角的度量。这也是我们今天这节课所要研究的内容。首先我们用数学的眼光从这个现实情境中抽象出研究对象——滑梯与地面所成的角。 我们先来认识什么是角。 2 角的概念 顶点 边 边 （静态） 角是由两条有公共端点的射线所组成的图形. 小学时，我们说角是从一个点引出两条射线所组成的图形。我们看到这两条射线的顶点是同一个我们称为公共端点，所以初中阶段，我们说角是由两条有公共端点的射线所组成的图形● 这里：●两条射线（这是一个角的构成要素），具有共同端点（要素之间的位置关系），●我们把这个公共端点称为顶点，●这两条射线称为边。 3 (动态) 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. 角的概念 始边 终边 顶点 平角 1个平角等于 180° 周角 1个周角等于 360° 注意：没有特殊说明，我们只研究大于0°且小于180°的角 这是从静态的角度来看角，其实，在前面的学习中，我们知道点动成线，线动成面，面动成体，从运动的观点来看●角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形●。在这里，●这条射线的初始位置我们称为始边，●结束位置称为终边。●这个固定的端点称为顶点，●让我们把终边继续旋转下去，●当始边和终边成一条直线上时，所成的角叫平角，1个平角=180度，●当旋转到始边和终边再次重合时，所成的角叫周角，1个周角等于=360度。当然，●在我们初中阶段，没有特殊说明下，我们只研究大于0°且小于180°的角。到了高中，在这样的定义下，我们将继续研究大于180°，甚至是大于360°的，或是度数为负数的角。 4 角的表示 刚才我们认识了角，在这个情境中涉及两个角，我们如何来区分，所以我们需要给这两个角命名，那就要知道角的表示了 5 角的表示 O A B 角用符号“∠”表示，读做“角” 1.用三个大写字母表示. ∠AOB 或∠BOA 1 2.用一个数字或希腊字母（如 α ， β ， γ ）表示. α ∠1 , ∠ α, ∠ β等 3.用角的顶点字母表示. ∠O C 3.在不引起混淆的情况下，用角的顶点字母表示. 1 2 角用符号“∠”表示，读做“角” 我们把角的顶点用大写字母O表示，角两边记为OA，OB，用三个大写字母表示∠AOB或∠BOA,但是角的顶点字母必须放在中间。 此外，如果我们在角内部画弧线，可以用数字或希腊字母表示，记为∠1，∠α，∠β、∠等 此外，我们还可以用角的顶点字母表示，记作∠O ，如果在角的内部，从顶点O再引出一条射线，那么刚才的几种表示方法中有没有你觉得不合适的呢？哦~是啊，在这里出现了不止一个以点O为顶点的角，如果我们都称之为∠O那么就会有歧义 注意，像这样的由两个或两个以上的角组合而成的，一般我们是将其小角用数字或希腊字母分开标注，而这个组合起来的角仍是用∠AOB表示 在这三种表示方法中，有一点特别要注意的是，在字母或数字的前面都有一个小小的角的符号，注意角的符号是这样的哦，而不是小于号哦！在初中阶段，类似表示图形的符号还有很多，在今后的学习中我们会一一来认识它们。 6 角的表示 O A B 角用符号“∠”，读做“角” 1.用三个大写字母表示. ∠AOB 或∠BOA 2.用一个数字或希腊字母（如 α ， β ， γ ）表示. ∠1 , ∠ α, ∠ β等 3.在不引起混淆的情况下，用角的顶点字母表示. C D 1 α β 当角两边变成这样时，能用角O表示吗？嗯，是的，∠O还是不能用 其实，细心的你一定已经发现了，当以O为顶点的角不止一个，我们不能用一个顶点字母标角哦。 7 角的表示 2 β α 1 A C E D B ∠α ∠1 ∠BCE ∠ACB ∠2 ∠BAC ∠β ∠DAB ∠B ∠ABC 将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表： 知道了角的三种表示方法，下面也请同学们自己动手试一试吧。请你将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表。 ●好啦，让我们一起来核对一下答案吧，你做对了吗？嗯，很好。 8 角的度量 如图所示是某公园新增设的一台滑梯的效果图.若规定滑梯的倾斜角不超过45°属于安全.如何判断这个滑梯是否符合安全标准？ B A 思考：如何判断∠A和∠B是否超过45°？ C D E F 学习了角的表示，我们把这个情景中的两个角分别记为角A，角B。要判断这个滑梯是否符合安全标准，我们用数学的思维思考这个问题，也就是我们如何判断这两个角是否超过45°。这就涉及到角的度量，而这里的度量工具就是小学大家都用过的量角器了， 9 再识量角器 80 100 70 110 60 120 50 130 90 40 140 30 150 20 160 10 170 100 80 110 70 120 60 130 50 140 40 150 30 160 20 170 10 仔细观察图中的量角器，并思考下列问题: （1）量角器上的平角被等分成多少个 1°的角？ （2）先估计∠A和∠B的度数，再用量角器量一量， 在测量中你遇到哪些问题？ B A C D E F 让我们来观察一下这个度量工具： ●量角器上的平角被等分成多少个 1°的角？同学仔细观察，这里有180个1度的角，因此这里的每一个刻度单位就是1° 从数学的直观来看，估计角B的度数小于45，而角A的度数估计在45左右，我们还是用量角器来量一量吧。 10 80 100 70 110 60 120 50 130 90 40 140 30 150 20 160 10 170 100 80 110 70 120 60 130 50 140 40 150 30 160 20 170 10 ∠B=35° 角的度量 B A C D E F 我们怎么测量∠B的度数呢，我们首先把量角器的中心与角的顶点O重合，角的一边BF与量角器的零刻度线重合，另一边BE在量角器的内圈所对的刻度线是35，这个角B的度数是35°。 ● 11 80 100 70 110 60 120 50 130 90 40 140 30 150 20 160 10 170 100 80 110 70 120 60 130 50 140 40 150 30 160 20 170 10 A 角的度量 C D 我们继续用这样的方法来测量角A 的度数。呀，你发现了什么？是啊，这里的射线AE不在刻度上，仔细观察，介于46°-47°之间。 这样一来，就说明角的度数光用1°来做单位是不够的，需要用更小的度量单位——分和秒●。相信同学们一定想知道角度单位的由来吧 现在就由老师来给大家讲讲这个故事吧。 12 角的度量 我们继续用这样的方法来测量角A 的度数。呀，你发现了什么？是啊，这里的射线AE不在刻度上，仔细观察，介于46°-47°之间。 这样一来，就说明角的度数光用1°来做单位是不够的，需要用更小的度量单位——分和秒●。相信同学们一定想知道角度单位的由来吧 现在就由老师来给大家讲讲这个故事吧。 13 人们将圆平均分成360份，将其中1份其所对的角作为度量角的单位. 角度的起源 记做：1° 1度 巴比伦人擅长天文学，他们制定角度的灵感，就来源于长期的天文观测。 发现：从春分日到秋分日，太阳划过半个周形成的轨迹，恰好等于180个太阳的直径。 受此启发，他们定义圆周为360度，平角为180度。1度就是一个太阳直径形成角的度数 ，角度的符号小圈，最早就代表太阳. 相传，角度起源于四大文明古国之一的古代巴比伦. 巴比伦人擅长天文学，他们制定角度的灵感，就来源于长期的天文观测。发现：从春分日到秋分日，太阳划过半个周形成的轨迹，恰好等于180个太阳的直径。受此启发，他们定义圆周为360度，平角为180度。1度就是一个太阳直径形成角的度数 ，角度的符号小圈，最早就代表太阳. 14 度分秒来源 =60′ 1° 1′ 1′ =60″ 1″ 把1°的角等分成60份，每一份就是1分，记做1′ 把1′的角等分成60份，每一份就是1秒，记做1″ 把周角等分成360份，每一份就是1度，记做1° 通常我们把1°的角等分成60份，每一份就是1分，记做1′，反过来，1′的角就是1°角的60分之一度；继续再把1′的角等分成60份，每一份就是1秒，记做1″，那么反过来，1″的角等于60分之1分，我们看到度分秒的进制是60进制的，这和时间的进制是一样的   为什么选择60这个数作为进制的基数呢？再让老师来给大家讲讲这其中的故事吧。 古代由于生产和劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。历法需要的精确度较高，时间的单位“小时”，角度的单位“度”都嫌太大，必须要进一步研究它们的小数。要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2,1/3，1/4 ，1/5等都能成为它的整数倍，以1/60作为单位就正好有这个性质。数学上习惯把1度的1/60的单位叫做“分”，1分的1/60的单位叫做“秒”。所以度分秒的进制就是60.   15 角的度量 我们继续用这样的方法来测量角A 的度数。呀，你发现了什么？是啊，这里的射线AE不在刻度上，仔细观察，介于46°-47°之间。 这样一来，就说明角的度数光用1°来做单位是不够的，需要用更小的度量单位——分和秒●。相信同学们一定想知道角度单位的由来吧 现在就由老师来给大家讲讲这个故事吧。 16 80 100 70 110 60 120 50 130 90 40 140 30 150 20 160 10 170 100 80 110 70 120 60 130 50 140 40 150 30 160 20 170 10 C D A 度分秒换算 46.3° ＝46°＋0.3° ＝46°＋0.3×60′ ＝46°＋18′ ＝46°18′ 度、分、秒是角的基本度量单位 回到刚才的这个角的度量，我们可以发现这里的∠A的度数介于46°到47度之间，我们可以用类似于●46.3度来估计这个角的度数，这里由于0.3度不满1度，因此我们可以用更小的单位——分来表示它，而度到分的进制是60，因此0.3度就是0.3×60分，即18分，结合前面的46度，我们就可以把原来用度来表示的角度，转化成用度分来表示，如果此时以分为单位的数仍然不是整数，那么我们就可以把其中的小数部分继续化成更小的度量单位——秒。接下来，让我们来看一个具体的角度， 17 例1 用度、分、秒表示48.32°. =60′ 1° 60′×0.32＝19.2′ 0.2′＝ 1′ =60″ 解：∵0.32°= 60″×0.2＝12″ ∴48.32°=48°19′12″ 度分秒换算 请你将它转化为度分秒的形式，即化成几度几分几秒。●由于0.32度不足1度，我们要把它化成分，我们知道1°=60′，，因此0.32度就是0.32×60分，即19.2分。同样由于0.2′不足1分，我们要把它化成秒，1′=60″，0.2′=60″×0.2＝12″，因此48.32°就等于48°19′12” 我们一起来总结一下，从度化为度分秒时，不足1度乘以60化为分，不足1分乘以60化为秒 同学们来试试看，能不能把120.38°化为度分秒呢？●咱们●核对一下答案吧，你做对了吗？ 18 试一试：用度、分、秒表示120.38°. 解：∵0.38°=60′×0.38＝22.8′ 0.8′＝60″×0.8＝48″ ∴120.38°=120°22′48″ 度分秒换算 同学们来试试看，能不能把120.38°化为度分秒呢？●咱们●核对一下答案吧，相信你一定作对了 19 例2 用度表示30°9′36″ 解：∵36″= 1′ 9.6′＝ ()′×36＝0.6′ ∴30°9′36″=30.16° ()°×9.6＝0.16° 1″ 度分秒换算 刚才是将度转化成度分秒，那么如果我们现在已知的是度分秒，要怎样转化为度呢？●来看具体的例子，30度9分36秒，其中30度已经是以度为单位的，因此只要将分秒化为度即可，一般我们先把秒化分，我们知道1″=60分之一分，●因此36″=36乘以60分之一分=0.6分，加上前面的9分，得到9.6分,再把分化为度，我们知道1′=60分之一度，即9.6′=()°×9.6，得到0.16度，结合最前面的30度，●即30度9分36秒=30.16度 我们一起来总结一下●将度分秒化为度时，先把秒除以60化分，加上原有的分，再把分除以60化度。注意这里运算的顺序哦 ●请你来试试看把这个角化为度为单位的角，我一起来校对一下吧。你做对了吗 20 度分秒换算 试一试：用度表示50°40′30″ 解：∵30″=()′×30＝0.5′ 40.5′＝()°×40.5＝0.675° ∴50°40′30″=50.675° ●请你来试试看把这个角化为度为单位的角，我一起来校对一下吧。相信你一定做的仔细哦 21 角度的计算 例3 计算：180°－(45°17′＋52°57′） ＝180°－98°14′ ＝179°60′－98°14′ ＝81°46′ =60′； 1° 1′ 1′ =60″； 1″ 解：原式＝180°－97°74′ 在前面，我们研究了角的度分秒换算问题，接下来让我们一起来看看与角有关的计算问题， ●请看题。通过观察，我们不难发现，这里存在两种运算，加法和减法，但由于括号改变了运算顺序，因此，我们要先算小括号。这和我们数的运算是一致的。我们知道，角与角之间是可以作和求差的，但是要注意只是同单位才可以相加减，即度与度加减，分与分加减，秒与秒加减，我们将括号里的45°17′和52°57′先相加，即45°′和52相加得到97°，17′和57′相加得到74′，●最终得到97°74′。不难发现，这里的分超出了60，●因此需要先进位，变成98°14′。 到这里，我们观察到这两个角度的单位是没有统一的，那我们是统一化成度，还是度分秒；若统一化成度，需要把需要把98°14′中的14′化成度。14除以60比较麻烦。 所以我们采取从180°那里借一位来用，●把180°写成179°60′，这样一来，度与度相减，分与分相减，●就能得到最终结果：81°46′了。 ●我们也一起来总结一下角度计算时的注意事项：·角度的计算要先统一单位，同单位相加减；注意度分秒是60进位制的。 22 角度的计算 试一试：计算108°18′－56.5° 解法1：原式＝108°18′－56°30′ ＝107°78′－56°30′ ＝51°48′ 解法2：原式＝108.3°－56.5° ＝51.8° 接下来请同学们自己动手试试看吧。 嗯，●再来考考你，你会求这两个角的差吗？呀，火眼金睛的你一定发现了，这；两个角度的单位是不一样的，我们要先统一单位。若结果用度分秒表示，我们把减数56.5°化成56°30′，答案就是51°48′；若结果用度表示，我们把被减数108°18′化成108.3°，就是51.8° ●你答对了吗●？嗯，太棒了。 23 复盘提升 问题：我们研究了角的哪些内容？我们是如何研究的？ 角的概念 角的度量 度分秒换算 角的表示 ∵ ∠A＞45°，∠B＜45° ∴滑梯不符合安全标准 角的大小比较 角的和差…… ，从现实情境中抽象出了几何图形角，从静态和动态两个角度认识了角 ，我们，用量角器度量一个角的度数，并用度分秒表示，了解了角度的历史文化，进行了度分秒的换算，角的表示、比较角的大小等表达现实世界，今后我们还将继续学习角的大小比较、和差等内容，角是一种重要的平面图形，内涵非常丰富，希望同学今后，会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考、用数学的语言表达实现世界。 24 复盘提升 用数学的眼光观察 用数学的思维思考 用数学的语言表达 我们用数学的眼光观察现实世界，从现实情境中抽象出了几何图形角，从静态和动态两个角度认识了角 ，我们会用数学的思维思考，用量角器度量一个角的度数，并用度分秒表示，了解了角度的历史文化，进行了度分秒的换算，用数学的语言，角的表示、比较角的大小等表达现实世界，今后我们还将继续学习角的大小比较、和差等内容，角是一种重要的平面图形，内涵非常丰富，希望同学今后，可以用这样的眼光、思维、语言继续研究数学，解决实现世界中的问题。 25 同学们，再见！ 26 $$