精品解析：新疆喀什市2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷

喀什市2024-2025学年第一学期中质量监测试卷 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ） A. 150 B. 110 C. 70 D. 20 2. 从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、…、57进行编号，然后从随机数表第一行第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（ ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注：表中的数据为随机数表第一行和第二行） A. 24 B. 36 C. 42 D. 52 3. 抛掷一枚质地均匀骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（ ） A. 为对立事件 B. 为互斥不对立事件 C. 不是互斥事件 D. 是互斥事件 4. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，且，则（ ） A B. 16 C. 4 D. 6. 如图，空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 在空间中，单位向量唯一 C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D. 若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 8. 若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ） A. 2 B. C. 或 D. 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分） 9. 在平行六面体中与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 10. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.005 B. 估计这200名学生竞赛成绩的平均数为80 C. 估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件与事件是互斥事件，则 B. 若事件与事件是对立事件，则 C. 把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 D. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 三、填空题（共3题，每小题5分，共15分） 12. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的中位数为______． 13. 数据20，21，22，23，24的方差是______. 14. 若，则____________，若与互相垂直，则实数____________. 四、解答题（共77分） 15. 在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． （1）求第一次取到红球的概率； （2）求两次取到的球颜色相同的概率． 16. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； （3）景区工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 17. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率． 18. 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. （1）证明：； （2）求； （3）求FH的长. 19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． （1）证明：平面PAD； （2）若，求二面角的余弦值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 喀什市2024-2025学年第一学期中质量监测试卷 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ） A. 150 B. 110 C. 70 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质和抽样比计算即可. 【详解】由于分层抽样比为，则200个人中，中卷录取人数为. 故选：D. 2. 从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01、02、…、57进行编号，然后从随机数表第一行的第7列和第8列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（ ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297 7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676 （注：表中的数据为随机数表第一行和第二行） A 24 B. 36 C. 42 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】利用随机数表法可得结果. 【详解】从随机数表第一行第列和第列数字开始往右依次选：、、、， 选出的第4个同学的编号为24. 故选：A． 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（ ） A. 为对立事件 B. 为互斥不对立事件 C. 不是互斥事件 D. 是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件之间的关系，可得答案. 【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确. 故选：D. 4. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，结合选项，即可作答. 【详解】直线的斜率，所以直线的一个方向向量为， 故选：A. 5. 已知空间向量，，且，则（ ） A. B. 16 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的关系计算未知数，然后求解即可. 【详解】由题可知，解得， 所以. 故选：A. 6. 如图，空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，再由，可得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：A. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 在空间中，单位向量唯一 C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D. 若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误； 对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D，若空间中四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确. 故选：D. 8. 若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ） A. 2 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量夹角余弦值的坐标运算，结合的坐标得到关于的表达式，即可求出的值. 【详解】因为向量，且与的夹角余弦为， 所以， 解得， 故选：D. 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分） 9. 在平行六面体中与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用相等向量的定义,结合平行六面体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在平行六面体中，与相等的向量有3个， 分别是，，． 故选：BC． 10. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.005 B. 估计这200名学生竞赛成绩的平均数为80 C. 估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由频率分布直方图知，每组的频率依次为. 估计这200名学生竞赛成绩的平均数为，B错误； 对于C，成绩在的频率最大，因此这200名学生竞赛成绩的众数为75，C错误； 对于D，总体中成绩落在内的学生人数为，D正确. 故选：AD 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件与事件是互斥事件，则 B. 若事件与事件是对立事件，则 C. 把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 D. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念一一判断即可. 【详解】对A，事件与事件互斥，则不可能同时发生，所以，故A正确； 对B，事件与事件是对立事件，则事件即为事件，所以，故B正确； 对C，“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生， 即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故C错误； 对D，事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，所以为对立事件，故D正确； 故选：ABD 三、填空题（共3题，每小题5分，共15分） 12. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的中位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】将数据从小到大排列后，按中位数的定义求解即可. 【详解】解：将数据从小到大排列为：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84. 所以中位数为：. 故答案： 13. 数据20，21，22，23，24的方差是______. 【答案】2 【解析】 【分析】求出这组数据的平均数，利用方差公式求解. 【详解】由题，这组数据的平均数为， 则这组数据的方差为. 故答案为：2. 14. 若，则____________，若与互相垂直，则实数____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：直接根据空间向量的坐标运算和数量积坐标公式即可；空2：根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】空1：，则； 空2：， 若与互相垂直，则， ，. 故答案为：；. 四、解答题（共77分） 15. 在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． （1）求第一次取到红球的概率； （2）求两次取到的球颜色相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式求解. 【小问1详解】 两次取球的基本事件为，，共20个， 所以第一次取到红球的概率. 【小问2详解】 两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件， 由（1）可知两次取到红球的概率， 两次取到黑球的概率， 所以两次取到的球颜色相同的概率. 16. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； （3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】（1） （2）83.33 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数； （3）分布求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由图知：，可得. 【小问2详解】 由， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得. 所以满意度评分的分位数为83.33. 【小问3详解】 因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设； 从这6人中随机抽取2人，则有： ， ，共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则有，共有8个基本事件， 所以. 17. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率． 【答案】（1）．（2） 【解析】 【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，求出，，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：，由此能求出结果． （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为，由此能求出结果. 【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”， 则P（A），P（B）， ∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为： P（A）＝P（A）P（）+P（）P（B）（1）． （2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为： P（）＝P（）P（）＝（1）（1） 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 18. 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. （1）证明：； （2）求； （3）求FH的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到直线垂直； （2）利用空间向量夹角余弦公式进行求解； （3）求出的坐标，由公式计算出. 【小问1详解】 如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故； 【小问2详解】 因为，所以 因为，且， 所以； 【小问3详解】 因为是的中点，所以， 又因，所以，，即. 19. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． （1）证明：平面PAD； （2）若，求二面角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （2）根据，，，证明，，由，建立空间直角坐标系，写出点的坐标及向量的坐标，求出平面的法向量，即可求出结果； 【小问1详解】 取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 ，，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， 所以，，， 设平面BDM的法向量为，所以即 令，则，．所以平面BDM的一个法向量为， 易知为平面PDM的一个法向量， 所以， 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $