6.4 线段的和差 课件--2024—2025学年浙教版数学七年级上册

线段的和差 年 级：七年级 学 科：数学（浙教版） 【温故而知新】 比较线段长短的两种方法： 1.度量法——从“数值”的角度比较。 2.叠合法——从“形”的角度比较。 3、上节课我们探究了线段长短的两种比较方法“度量法”和“叠合法”，现在谁长谁短的问题解决了，那究竟长了多少，短了多少，我们又该如何刻画呢？让我们一起通过以下几个活动探究今天的内容。 【学习活动一】 4、这是两条具有公共端点的线段AB和BC，通过测量AB的长为10CM，BC的长为6cm, 如果将线段BC绕着点B顺时针旋转，在旋转过程中点A与点C之间的距离会发生什么变化呢？我们来看一看，通过观察我们发现点A与点C之间的距离是先变大后变小，而且当点C在线段AB的延长线上时，点A与点C之间的距离最大即线段AC长度最长， 【学习活动一】 符号语言 长度 10 + 6 = 16 AB AB - BC = AC 10 - 6 = 4 A C B 如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫做另两条线段的和 如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫做另两条线段的差 定义： A B C BC AC + = 我现在把这个位置画出来，此时，线段AC 的长度是10+6等于16cm,因为10CM表示线段AB的长度，6CM表示线段BC的长度，16CM表示AC的长度,因此，我们也可以用符号语言表示，AB加BC等于AC,既然AC之间有最大值，那么它也存在最小值，通过我们刚刚观察到的AC运动轨迹不难看出当点C在线段AB上时，A与点C之间的距离最小即线段AC长度最短，其直观图形如下，现在AC的长度为10-6等于4cm,，同样我们也可以用符号语言把它表示出来。 如图，点C是线段AB上的一点，请说说图中各线段之间的和差关系。 【学以致用】 A B C AC+CB=AB AB-CB=AC AB-AC=CB 刚刚我们已经认识了什么是线段的和差，那老师给你这样一条线段AB，点C在线段AB上，但不知道他们的具体长度，从图中可以看出上面有三条线段，你能不能直接说出这三条线段之间和差关系呢？结合线段的和差的定义可知PPT 【学习活动二】 例1：已知线段a，b(如图).用尺和圆规作图： （1）a+b （2）a-b a b A C O P 线段OC为所求作的线段. 一看起点， 二看方向， 三看落点。 带着对线段最直观的认识，我们来完成以下例题：已知线段a，b(如图).用直尺和圆规作图：a+b和a-b。我们先来想想如何画一条线段使得它等于a+b呢？能不能用度量法？画图步骤1、画射线OP，2、用圆规在射线OP上截取OA=a ;用圆规在射线AP上截取AC=b；线段OC的长度就是等于线段a,b的长度和，即线段OC就是所求的线段.仿照我们刚才的画法，大家试着完成a-b的操作。从本次作图中可以归纳出用尺规作图画线段和差的技巧是三看即一看起点，二看方向，三看落点。 【学以致用】 已知，直线m上有A，B，C 三点，且线段AB 等于10cm，线段BC 等于4cm，求线段AC 的长。 A B C A B C AC=AB+BC=10+4=14cm AC=AB-BC=10-4=6cm 接着，让我们来完成以下问题，直线m上有A，B，C三点，且线段AB等于10cm，线段BC等于5cm，求线段AC的长。 根据课前问题，我们发现BC可以在AB的延长线上，也可以在线段AB上，由C点的位置决定了线段间的和差关系，从而得出两种不同的答案，当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=10+4=14cm,当点C在线段AB上时，AC=AB-BC=10-4=6cm。 1.在一张透明纸上画一条线段AB。 【学习活动三】 2.对折这张纸，使线段AB的两个端点重合。 3.把纸展开铺平，标明折痕点C。 A B A （B） A B C 既然我们已经研究了线段和差关系，那么大家觉得线段是否有分倍关系呢？请同学们跟我一起进行以下操作探索： 1、在一张透明纸上画一条线段AB。2、对折这张纸，使线段AB的两个端点重合。3、把纸展开铺平，标明折痕点C。我们来看看线段AC和线段BC有怎样的数量关系。 【学习活动三】 定义： 线段上的一个点把一条线段分成两条相等线段，我们把这个点叫做这条线段的中点. 几何语言： ∵ C是线段 AB 的中点 ∴ AC = CB = AB ( 或 AB = 2CA = 2CB ) 反之也成立： ∵ AC = CB = AB ( 或 AB = 2 AC = 2 AB ) ∴ C是线段 AB 的中点 A B C 线段AB 的中点 通过测量可以得出线段AC等于BC。因此，我们把这个特殊的点C叫做线段AB的中点，也叫做线段AB的二等分点，即线段上的一个点把一条线段分成两条相等线段，我们把这个点叫做这条线段的中点.几何语言表示如下：PPT 类似地，将线段三等分的点叫做线段的三等分点，将线段四等分的点叫做线段的四等分点，以此类推。 【学以致用】 例2：如图，点P是线段AB 的中点，点C、D 把线段AB 三等分,若线段CP=1.5cm，求线段AB 的长。 A B C P D 解： ∵ 点P是线段AB 的中点 ∵ 点 C、D 是线段AB 三等分点 ∴ CP=AP －AC ∴ AB=6PC=9(cm)　　　 设AB= x ∴ x=6PC=6×1.5=9(cm)　　　　 11、带着以上经验，我们一起来研究以下例题： 根据点P是线段AB的中点，我们可以知道AP与AB之间的数量关系， C、D是线段AB三等分点同样可以得出AC与AB之间的数量关系，从而得出CP和AB之间的数量关系。具体解答过程如下：看PPT。在本题的解答过程中，我们也可以用方程思想求解，思路与上面一致，其解答过程如下：看PPT。 【知识拓展】 变式1：如图，若点P 在线段AB上，E、F 分别是AP 和BP 的中点. (1)若AP＝8，BP＝6，求线段EF 的长； B A P E F (2)若AP＝a，BP＝b，求线段EF的长； 在上题的基础上，老师对题目稍作改变：聪明的你能够解决吗？根据题目所给信息，P在线段AB上，E、F分别是AP和BP的中点，根据中点的定义可以找到EP与AP及PF与PB的数量关系，结合图形可得EF等于EP+PF=1/2AP+1/2PB=7，若我把AP＝8，BP＝6，改为AP＝a，BP＝b，这道题又该怎么解答呢？结合以上经验可知EF等于EP+PF=1/2AP+1/2PB=1/2（a+b）。 【拓展提高】 变式2：如图，若点P在线段AB 的延长线上， E、F 分别是AP 和BP 的中点.线段AP＝a，BP＝b，求线段EF 的长； B A P E F 在上题的基础上，老师对题目再做改变，聪明的你能够解决吗？结合题目信息： E、F分别是AP和BP的中点，依据中点的定义不难找到EP与AP及PF与PB的数量关系，因为点P在线段AB的延长线上，所以EF等于EP-PF=1/2AP+1/2PB=1/2（a-b）。 【梳理新知】 线段的和，差 线段的中点 从一般到特殊 从一般到特殊 从特殊到一般 线段的倍、分 线段的和、差、倍、分计算 数形结合 方程思想 分来讨论 两点间距离的最值问题 本节课，我们从两点间距离的最值问题引出课题内容线段的和、差并进行探究，通过画线段的和差及折纸活动探索线段的倍分关系，体现了从一般到特殊，又从特殊到一般的数学思想方法，而在几何问题解答中则采用了数形结合、方程思想和分类讨论等数学思想方法。 谢谢观看 Lavf58.20.100 $$