精品解析：广东省惠州市惠城区惠州中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

惠州中学2023级高二年级上学期期中考试 数学科试卷 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答卷上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则下列结论中正确的是 A. B. C. D. 2. 复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数f(x)＝ 则f(1)－f(3)等于(　　) A. －7 B. －2 C. 7 D. 27 4. 已知，,则 A. B. C. D. 5. 已知空间向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 方程表示的曲线是（　　） A. —个圆 B. 两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆 8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 向量，，共面 10. 已知直线：，下列说法正确的（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 点到直线的最大距离为 D. 直线一定经过第四象限 11. 已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形PAMB周长的最小值为 B. 的最大值为2 C. 若，则的面积为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,14题第一空2分,第二空3分． 12. 已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为______． 13. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为______． 14. 在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数 （2）从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 16. 已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用表示； （2）求的长度； （3）求直线与所成角的余弦值． 17. 已知函数, （1）求的最小正周期; （2）在中,三个角所对的边分别为,若,,,求的面积. 18. 已知点和直线点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程； （3）若（2）中点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州中学2023级高二年级上学期期中考试 数学科试卷 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答卷上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答卷. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则下列结论中正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由得，故，选项为C. 考点：集合间的关系. 2. 复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据虚部的定义得出结果. 【详解】因为复数， 所以的虚部是， 故选：C. 3. 已知函数f(x)＝ 则f(1)－f(3)等于(　　) A. －7 B. －2 C. 7 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，分别求得、的函数值，再作差就可以. 【详解】依题意，，所以，选C. 【点睛】本小题考查分段函数求值问题.对于定义域不同的区间上，函数表达式不同的分段函数，在求值时一定要代入对应的自变量的范围内求.属于基础题. 4. 已知，,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式及其辅助角公式即可求解. 【详解】 ． 故选：C. 5. 已知空间向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据投影向量的公式计算得到答案. 【详解】由题意可知在上的投影向量为， 故选：B. 6. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 7. 方程表示的曲线是（　　） A. —个圆 B. 两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆 【答案】D 【解析】 【分析】方程可化为，去绝对值分，两种情况解决即可. 【详解】方程可化为， 因为， 所以或， 若时，则方程为； 若时，则方程为， 故选：D 8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为圆上的任意一点，构造直线，过点p作，将转化为点p到直线的距离和到原点的距离的比，即，然后利用数形结合法求得的范围求解. 【详解】如图所示： 设为圆上的任意一点， 则点P到直线的距离为， 点P到原点的距离为， 所以， 设圆与直线相切 则圆心到直线的距离：，解得， 所以的最小值为，最大值为， 所以， 即 故的最大值为， 故选：B 【点睛】本题主要考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 向量，，共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】空间向量模的坐标计算可以验证选项A， 向量坐标减法运算验证选项B， 两向量数量积为0验证选项C， 利用向量共面条件验证选项D. 【详解】因为， 所以， ， 所以A正确； ， 故B正确； ， 故C不正确； 由， 所以，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知直线：，下列说法正确的（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 点到直线的最大距离为 D. 直线一定经过第四象限 【答案】BC 【解析】 【分析】化简直线方程，联立方程组，可判定A错误；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；取特殊值可判断D错误. 【详解】解：对于A，由直线：可化简为， 联立方程组，解得，所以直线过定点，故A项错误； 对于B，当时，直线的方程为， 在直线上取两点，则点关于轴对称的点， 点关于轴对称的点， 所以关于轴对称直线为，即，所以B正确； 对于C，因为直线经过定点， 所以当直线时， 点到直线的距离最大，最大距离为，故C项正确； 对于D，当时，直线：经过一、二、三象限，不经过第四象限，故D项错误． 故选：BC． 11. 已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形PAMB周长的最小值为 B. 的最大值为2 C. 若，则的面积为 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，可将四边形PAMB周长转化为，结合勾股定理可求最值；对B，由圆内最长的弦为直径可判断错误；对C，由几何关系先求出，由等面积法可求出，结合面积公式可求；对D，分点是否与原点重合分类讨论，当点不与原点重合时，求出切线长方程和直线方程，联立可求动点轨迹，由点与圆的位置关系可求. 【详解】如图所示，对于选项A，四边形PAMB的周长为， 因为，所以四边形PAMB的周长为，设，当与原点重合时最小，则，则四边形PAMB的周长为，则当t取最小值2时，四边形PAMB的周长最小，为，故A正确； 对于选项B，因为圆M：的直径为2，所以，故B错误； 对于选项C，因为，所以，，由等面积法可得，求得，， ，所以的面积为，故C正确； 对于选项D，当点P与原点重合时，，则，则，则，则；当点P不与原点重合时，设（），则切点弦AB的方程为（利用结论：过圆外一点的切线弦方程为求得），直线MP的方程为，联立两方程，可得，消去m，得动点C的轨迹方程为．又因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,14题第一空2分,第二空3分． 12. 已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆M的一般式方程为：，将点代入即可求解. 【详解】解：设圆M的一般式方程为：， 因为圆M经过点，，， 所以，解得， 得圆M的一般式方程为：， 故圆M的标准方程为：. 故答案为： 13. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离公式可得解. 【详解】， 故，， 设直线与直线所成的角为，则， 故， 点到直线的距离， 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设直线上的一点为，由定义可将坐标原点到直线上的点的“折线距离”表示为，分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，结合一次函数单调性可得最小值； 设圆上点，直线上的一点为，由定义可将所求“折线距离”表示为，分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，结合三角恒等变换知识和正弦型函数最值的求法可求得结果. 【详解】设直线上的一点为，则； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，取得最小值，即坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为； 设圆上点，直线上的一点为， 则； ，，则恒成立； 当时，， （其中，）， 则当时，“折线距离”取得最小值； 当时，， （其中，）， 则当时，“折线距离”取得最小值； 当时，，则， 同上可知：此时“折线距离”最小值为； 综上所述：圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题求解圆上的点到直线上的点的“折线距离”最小值的关键是能够通过分类讨论的方式，结合三角恒等变换的知识，将问题转化为正弦型函数最值的求解问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数 （2）从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图性质可得，根据中位数的定义计算即可； （2）根据古典概型公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据频率分布直方图性质可得：， 所以， 因为共五组，前三组的频率和， 前四组的频率和，所以中位数位于第四组. 设中位数为，则， 根据中位数的定义，可得， 所以； 【小问2详解】 因为第四组与第五组的频率之比为， 故按照分层抽样第四组抽取人数为人，记为，，，；第五组抽取人数为人，记为，， 从人中选出人，共有，，，，，，，，，，，，，，共有种， 其中选出的人来自同一区间的有种，，，，，，，； 则选出的人中来自同一组的概率为． 16. 已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用表示； （2）求的长度； （3）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）0. 【解析】 【分析】（1）根据给定的基底，利用空间向量的线性运算求出. （2）由（1）的结论，利用数量积的运算律求出模. （3）由（2）结合线线角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在平行六面体中，，， . 【小问2详解】 由（1）知，，而， ，则， 因此． 所以的长度为. 【小问3详解】 由（2）知，，，， ，则，即， 所以直线与所成角为，其余弦值为0. 17. 已知函数, （1）求的最小正周期; （2）在中,三个角所对的边分别为,若,,,求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)运用辅助角公式进行化简为的形式,进而求出最小正周期即可; (2)先由,求得,再由用正弦定理,再将代入展开化简即可得,故为等边三角形,再由,即可求面积. 【小问1详解】 解:由题知 , 的最小正周期; 【小问2详解】 由于在中,三个角所对的边分别为,, , , , , , 在中由正弦定理得, , 又有 , , , ,, 中的内角,且, , , 的面积. 18. 已知点和直线点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程； （3）若（2）中点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出所求点的坐标，利用中点坐标，代入对称轴，结合斜率之间的关系，建立方程组，可得答案； （2）设出所求点的坐标，利用题目中的等式，建立方程，结合圆的方程，可得答案； （3）根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式，建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 设，，因为点与点关于直线的对称， 则有线段的中点在直线上， 即，① 又直线直线，且直线的斜率为，则，即，② 联立①②式子解得，故点的坐标； 【小问2详解】 设，由，则， 故，化为. 化简得， 所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径． 【小问3详解】 又因为直线与圆有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径， 则，，解得. 故的取值范围为. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面，所以平面， 平面， 所以， 又已知，且都在面内， 所以平面. （2）存在，的长度为或 【解析】 【分析】（1）通过证明，来证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ， 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， ，，， 设，则， ， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则有，即 不妨令，则，，所以平面的一个法向量为， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得， 解得或， 即或， 故在线段上存在这样的点， 使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $