北京市丰台区怡海中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

怡海中学2024-2025学年度第一学期高三年级期中练习 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数z满足，则（    ） A．1-i B．-1-i C．1+i D．-1-i 3．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．在四棱锥中，“”是“平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，，，分别为内角，，的对边，且，则C=（   ） A． B． C． D． 6．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数过定点M，点M在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（   ）（，结果四舍五入取整） A．20天 B．21天 C．22天 D．23天 9．北京市餐饮品牌《南城香》每个门店，当客人点完餐之后，服务人员给10分钟计时沙漏，保证在10分钟之内上完餐。沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为8，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（    ） A．1 B． C．2 D． 10．已知函数，有最大值，并将其记为，则说法正确的是（    ） A．的最小值为，的最大值为2 B．的最大值为，的最小值为 C．的最大值为，的最大值为2 D．的最小值为，的最小值为 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知向量满足，则 . 12．二项式展开式的各二项式系数之和为32,n= ；该展开式中项的系数为 ． 13．在△ABC中，则△ABC的面积为 . 14．设公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则公比 ，数列的前4项的和为 ． 15． 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列结论正确的有 ①． ②． ③．图2中， ④．图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．在△ABC中，角C为锐角且满足． (1)求； (2)若，且的周长为，求的面积． 17．已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直． (1)求l的方程； (2)求的极值． 18．已知四棱锥中,底面是正方形,平面,,是的中点. （1）求证：BC∥面ADE; （2）求面ADE与面ABD所成角的大小; 19．如图所示，M是单位圆与轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠MOP=，平行四边形OMQP的面积为S，函 （1）求函数的表达式及单调递减区间； （2）若在上仅存在两个零点，求t的取值范围. 20．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点． (1)求证：； (2)当点为线段的中点时，求点到平面的距离； (3)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为．若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 21．已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 怡海中学2024-2025学年度第一学期高三年级期中练习 数学答案 1-5 BADCC 6-10 DACAB 11. 12. 5 -5 13. 14. 2 -27 15.①②③ 16．(满分13分） 【解】（1）由已知可得，因为角C为锐角， 可得. （2）因为周长 ， ，所以 ①， 又因为，所以 ②， 由①②得，所以. 17．(满分14分） 【解】（1）解：由函数，可得， 因为曲线在点处的切线l与直线相互垂直， 可得，解得，所以 又因为， 故所求切线方程为，即． （2）解：由（1）可知，， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增， 故的极大值为， 极小值为． 18．(满分14分） 【解】（1）证明： ∵是正方形 ∵∴ （2）∵平面, 平面 ∴ 又∵是正方形∴ ∴两两垂直 ∴以为原点如图建系,设 ∴, , , , , ∴ 又∵平面 ∴平面的法向量 设平面 的法向量 则, ∴ 令,得∴ ∴ ∴面ADE与面ABD所成角的大小 19． (满分14分） 【解】(1)由题意，得,∴ 得四边形的面积， ， 因此， 即函数的表达式为， 令， 得， ∴的增区间为； (2) 20．(满分15分） 【解】（1）证明：连接、， 因为四边形为菱形，则，因为，则为等边三角形， 因为为的中点，故， 因为为等边三角形，为的中点，则， ，平面，平面，则， ，故. 解：因为平面平面，平面平面，，平面，平面 （2）因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ，所以点到平面的距离为. （3）解：设，其中， ， 由题意， 整理可得，因为，解得， 因此，存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，此时. 21．（满分15分） 【详解】（1）由，得函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，得； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由，得， 故欲证，只需证：，即证， 又，，， 不妨设，，等价于，令（）， 等价于（）， ，所以在单调递增，而， 所以，当时，恒成立. 所以， 所以. （3）函数有两个零点，，所以，， 不妨设，， 即，要证：， 需证： 只需证：，只需证：， 只需证：，只需证：， 令，只需证：， 令，， 所以在上单调递减，所以，即， 故. 也可由对数均值不等式（），即， 令（），则，即， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$